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U.F.R. de Mathématiques

Licence de Mathématiques

S6, M66, année 2013-2014

Probabilités, fiche de T.D. n

o5

Ex 1.Unicité de la limite en probabilité

On veut vérifier que la limite en probabilité est unique modulo l"égalité presque-sûre.

Pour cela on supposera queYnconverge en probabilité versYetversY?.

1) Justifier pour toutε >0l"inégalité :

|Y-Yn|>ε2 +P? |Yn-Y?|>ε2

2) En déduire la valeur deP(|Y-Y?|> ε)et conclure.

Ex 2.Convergence en probabilité et bornitude stochastique Montrez que siYnconverge en probabilité vers une variable aléatoireY, alors la suite (Yn)n≥1eststochastiquement bornée, c"est-à-dire : ?ε >0,?c >0,?n≥1, P(|Yn|> c)< ε. Ex 3.Convergence en probabilité et opérations Soient(Xn)n≥1,(Yn)n≥1,XetYdes variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé(Ω,F,P). On suppose queXnetYnconvergent en probabilité versXetY respectivement.

1) Montrer queXn+Ynconverge en probabilité versX+Y.

2) Montrer queXnYnconverge en probabilité versXY.Indication: commencer par

montrer que pour toutδ >0, il existe un réelcet un entiern0tels que pour toutn≥n0,

P(|Yn|> c)< δ.

Ex 4.Convergences p.s. ou en probabilité et image continue Soient(Yn)n≥1etYdes variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé.

1) On suppose queYnconverge en probabilité vers une constantecet quegest une

fonction définie au voisinage decet continue au pointc. Montrez queg(Yn)converge en probabilité versg(c). On commencera par préciser la définition deg(Yn).

2) Même question pour la convergence presque-sûre.

3) On suppose maintenant queYnconverge en probabilité versYet quegest

continue surR. Montrez queg(Yn)converge en probabilité versg(Y).Indication: on pourra commencer par examiner le cas plus simple oùgestuniformémentcontinue sur R. Pour passer au cas général, on pourra utiliser la bornitude stochastique.

4) Même question pour la convergence presque-sûre.

Ex 5.Convergence en probabilité de gaussiennes

Soit(Yn)n≥1une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé,

gaussiennes de loiN(c,σn), où la constantecne dépend pas den. Montrez queYn converge en probabilité verscsi et seulement siσntend vers0.

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Ex 6.Soitp?]0,1[et(Xi)i?N?une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètrep. On pose, pourn?N?, Y n=XnXn+1etUn=Y1+···+Yn.

1) Quelle est la loi deYn(n?N?)?

2) Pour quels couples(n,m)les variablesYnetYmsont-elles indépendantes?

3) Calculer l"espérance et la variance deUn(n?N?).

4) Montrer que pour toutε >0,

lim n→+∞P? ???Unn -p2???≥?? = 0.

Ex 7.Hasard et compensations exactes

On considère une épreuve ayantrissues élémentaires équiprobables (r= 2pour le lancer d"une pièce,r= 6pour celui d"un dé, ...). On répète cette épreuve dans des conditions identiques. On noteAnl"événement :au cours desnrpremières épreuves, chacune desrissues distinctes se produit exactementnfois. On dira queAnest une compensation exacte.

1) Calculerpn=P(An).

2) Donner un équivalent depnquandntend vers l"infini en utilisant la formule de

Stirling.

3) En déduire que sir≥4, presque sûrement il n"y aura plus jamais de compensa-

tion exacte au delà d"un certain nombre d"épreuves. Ex 8.Une armée de singes dactylographes peut elle taper par hasardDon Quichotte? Montrer que dans le jeu de pile ou face infini, la séquencepfffpapparaît presque sûrement une infinité de fois. Généraliser. Ex 9.

Soit(Xk)k≥1une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé,

indépendantes et de même loi. Montrez que Y n=1n n k=1X k1 +|Xk| converge presque-sûrement quandntend vers l"infini vers une constantec?[-1,1].

Ex 10.Escargot aléatoire

Soit(Xi)i?N?une suite de variables aléatoires, définies sur le même espace probabilisé

(Ω,F,P), indépendantes et de même loi, de carré intégrable (EX21<+∞). On définit

par récurrence la suite de variables aléatoires positives(Rn)n≥1par R

1=|X1|, Rn=?R

2n-1+X2n, n≥2.

1) Montrer que la suite(n-1/2Rn)n≥1converge presque sûrement vers une limite

constanteτque l"on exprimera en fonction deEX21. 2

Probabilités M66 2013-14OM1M

2M 3M 4 M 5 M 6 R 1=X1R 2R 3R 4R5 R 6 M k-1Mk=XkMk-1Mk=XkFigure1 - Construction de l"escargot aléatoireE6

2) Pour illustrer graphiquement cette convergence, on prend lesXide même loi

uniforme sur[0,1]et on construit dans un repère orthonormé du plan la suite(Mn)n≥1 de points aléatoires par la récurrence suivante. On pose d"abordM1= (X1,0), puis connaissantMn-1on obtientMncomme l"unique point tel queMn-1Mn=Xnet que

l"angle(------→Mn-1Mn,-----→Mn-1O)ait pour mesure+π/2. En d"autre termes, on construitMntel

que le triangleOMn-1Mnsoit rectangle enMn-1, de côtés de l"angle droitOMn-1=Rn-1 etMn-1Mn=Xnet en tournant toujours dans le sens trigonométrique. On trace ainsi la ligne polygonaleEnde sommetsM1,M2,...,Mn(l"escargot aléatoire, cf. figure 1). On fixe unε >0. Montrer que presque sûrement,Enest inclus dans le disque de centreOet de rayon(1 +ε)?n/3pour toutnassez grand (cf. figure 2 p. 3). -6-4-20246 -8-6-4-2 0 2 4 6O M

200Figure2 - Escargot aléatoireE200(simulation)

3

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Ex 11.Borel-Cantelli et les retours à l"origine Soit(Xn)une suite de v.a.r. indépendantes telles que :

P(Xi= +1) =p P(Xi=-1) = 1-p=q0< p <1p?=12

On pose :

S n=n i=1X iAn={Sn= 0} L"événementAnest un retour à zéro. On pose A:={ω?Ω ;la suiteSn(ω)repasse une infinité de fois en0}=∩k≥1?j≥kAj.

1) Prouver queP(A) = 0.

2) En utilisant la loi forte des grands nombres, donner une conclusion plus précise

permettant de retrouver le résultat précédent.

Ex 12.Loi de Cauchy et LFGN

Le but de cet exercice est d"étudier la convergence des moyennes arithmétiques d"une suite de v.a. indépendantes et de même loi de Cauchy. Toutes les variables aléatoires in-

tervenant dans l"énoncé sont supposées définies sur le même espace probabilisé(Ω,F,P).

1) SoitXune variable aléatoire réelle suivant la loi de Cauchy de densité :

f:R→R+, t?→1π(1 +t2). Pour tout entiern≥1, exprimezP(X > n)à l"aide d"une intégrale. Déduisez-en la minoration : ?n≥1, P(X > n)≥12πn.

2) Soit(Xk)k≥1une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que

X. On pose

A:={ω?Ω ;Xk(ω)> kpour une infinité d"indicesk}.

Expliquez pourquoiP(A) = 1.

3) Déduire de ce qui précède que la suite(Xk)k≥1ne vérifie pas la loi forte des grands

nombres.Indication: en posant comme d"habitudeSn:=X1+···+Xn, exprimezXnn en fonction deSnn etSn-1n-1et raisonnez par l"absurde en supposant queSnn converge p.s. vers une certaine variable aléatoireY(pas forcément constante).

4) Ce résultat est-il contradictoire avec la loi forte des grands nombres?

Ex 13.Soit(Xk)k≥1une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé(Ω,F,P), d"espérance nulle et vérifiant : ?i,j?N?,E(XiXj) =? ?1sii=j,

0sii?=j.

On poseSn:=X1+···+Xn. Montrer que pour toutα >1, S nn

αp.s.----→n→+∞0.

Nota bene.Vous avez bien lu, il n"y a pas d"erreur dans l"énoncé, on ne suppose pas les X kindépendantes. 4quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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