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EQUATIONS DIFFERENTIELLES

OLIVIER DEBARRE

Table des mati

eres

1. Le theoreme de Cauchy{Lipschitz 1

2. Demontrer le theoreme de Cauchy{Lipschitz 3

3. Appliquer le theoreme de Cauchy{Lipschitz 8

4.Equations dierentielles autonomes 11

5. Stabilite des solutions 14

References 17

1.Le theoreme de Cauchy{Lipschitz

Uneequation dierentielle(du premier ordre) s'ecrit (1) _x=f(t;x) ou f:I !Rn est une fonction continue, avec ouvert (non vide) deRnetIintervalle ouvert (peut-^etre inni) deR.

Unesolutionde l'equation (1) est un couple (J;

), ouJest un sous-intervalle non vide et non reduit a un point deIet :J! est une application derivable qui verie _ (t) =f(t; (t)) pour touttdansJ. Une solution estmaximalesi elle n'est pas la restriction d'une solution denie sur un intervalle strictement plus grand. Les resultats principaux de la theorie portent sur l'existence et l'unicite des solutions. On va chercher des solutions locales de l'equation (1). Remarquons qu'une solu- tion veriant (t0) =x0ne peut s'eloigner trop vite dex0. En eet, si le cylindre

C= [t0;t0+]B(x0;r)

1

2 OLIVIER DEBARRE

est contenu dansI et que

M= sup

(t;x)2Ckf(t;x)k toute solution :J! de (1) reste dansB(x0;r) sur le sous-intervalle de I

0= [t00;t0+0];avec0= min(;rM

sur lequel elle est denie, a savoirI0\J(c'est une consequence de l'inegalite des accroissements nis). On dit que (2)C0=I0B(x0;r) est uncylindre de securite. On dit quefestk-lipschitzienne enxsur ce cylindre si (3)kf(t;x1)f(t;x2)k kkx1x2k pour touttdansI0et tousx1etx2dansB(x0;r). C'est le cas par exemple (pour un reelkconvenable) sifest de classeC1et queret min(;rM ) sont nis. Theoreme 1(Cauchy{Lipschitz).Sifestk-lipschitzienne enxsur un cylindre de securite comme ci-dessus, l'equation (1) admet une unique solution :I0! veriant la condition initiale (t0) =x0. Il est important d'avoir une estimation explicite de la taille de l'intervalle sur laquelle la solution existe qui soit independante dek. Nous verrons dans le theoreme

2 une variante de ce resultat lorsque

=Rn, souvent pratique pour les applications. Le theoreme 1 est souvent applique en faisant l'hypothese flocalement lip- schitzienne enx. Cela signie que pour tout (t0;x0) dansI , il existe un voisinageI0det0dansI, un voisinageUdex0dans et une constantektels que l'inegalite (3) soit valable pour touttdansI0et tousx1etx2dansU. C'est le cas par exemple sifest derivable par rapport axsurI et que la derivee partielle @f=@x:I !Rnest une fonction continue. Le theoreme de Cauchy{Lipschitz fournit alors l'existence et l'unicite d'une solu- tion locale avec condition initiale xee. Notons que par un argument de compacite 1, pour tout [t1;t2]Iet tout compactK , il existe une constantektelle qu'on ait l'inegalite (3) sur [t1;t2]K(sans que cela bien s^ur nous permette d'agrandir la

taille de l'intervalle sur laquelle la solution construite est denie).1. Pour chaque (t;x)2[t1;t2]K, on obtient un voisinageI0t;xdetdansIet un voisinage de

xdans , qui contientB(x;2rt;x), sur lesquels on a une inegalite (3) avec une constantekt;x. Le compact [t1;t2]Kest recouvert par un nombre ni deI0t i;xiB(xi;rti;xi). Soitrle plus petit des r ti;xi, soitkle plus grand deskti;xiet soitMun majorant dejfjsur [t1;t2]K. Soientt2[t1;t2] etx1;x22K, avec (t;x1)2I0t i;xiB(xi;rti;xi). Six22B(xi;2rti;xi), on a la majoration (3) avec k; sinon,kx1x2k rti;xiret on a la majoration (3) avec 2M=r.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES 3

Exercice 1.Montrer que pour toute condition initiale, il existe une solution de l'equation dierentielle _x= sintx denie surR. Exercice 2.Determiner des solutions maximales de l'equation dierentielle _x=x2 Montrer qu'il existe une innite de solutions maximales avec la m^eme condition initiale.

Exercice 3.Resoudre le systeme dierentiel_x=x2y2

_y= 2xy en posantz=x+iy. Lorsque l'applicationfn'est plus localementk-lipschitzienne enx, il peut ne pas y avoir unicite des solutions. En revanche, il y a toujours existence (theoreme de Cauchy{Peano{Arzela, [D], p. 127). Exemples 1.(1) Les fonctionst7!0 ett7!tjtjsont solutions de la m^eme equation dierentielle _x= 2pjxjet prennent la m^eme valeur en 0. (2) Les fonctionst7!0 ett7!t3sont solutions de la m^eme equation dierentielle _x= 3x2=3et prennent la m^eme valeur en 0.

2.Demontrer le theoreme de Cauchy{Lipschitz

Il y a plusieurs facons de demontrer le theoreme de Cauchy{Lipschitz. La methode du point xe.La premiere remarque est que resoudre l'equation (1) avec la donnee initiale (t0) =x0equivaut a resoudre l'equation integrale (t) =x0+Z t t 0f(s; (s))ds ou est une fonction continue a valeurs dans . L'ensembleXdes applications continues deI0dansB(x0;r) muni de la distancede la convergence uniforme est un espace metrique complet, et on cherche un point xe de l'applicationT:X!X denie par T:

7!x0+Z

t t 0f(s; (s))ds (on verie, et c'est la que le choix du cylindre de securite intervient, queT( ) est bien encore dansX). Pour appliquer un theoreme de point xe, on veut montrer queTest contractante. Or on calcule kT(

1)(t)T(

2)(t)k kjtt0j(

1; 2)

4 OLIVIER DEBARRE

qui n'est pas susant, puisque l'on ne sait rien surk. En revanche, on verie faci- lement par recurrence surm kTm(

1)(t)Tm(

2)(t)k kmjtt0jmm!(

1;

2)(k0)mm!(

1; 2) de sorte que l'applicationTmest bien contractante pourm0. Elle admet donc un unique point xe, etTaussi. Notons que le choix de0, c'est-a-dire celui deI0, est conditionne par le fait que l'on veut que l'applicationTenvoieXdans lui-m^eme. Lorsque =Rn, on peut prendrer= +1et la m^eme demonstration s'applique avec0=, sous reserve que fsoitk-lipschitzienne enxsur [t0;t0+]Rn. On a donc demontre le resultat suivant. Theoreme 2.SoitIun intervalle ouvert, soitk:I!R+une fonction continue et soitf:IRn!Rnune fonction continue veriant kf(t;x1)f(t;x2)k k(t)kx1x2k pour toutx1;x2dansRnet touttdansI. Pour toute condition initiale, il existe une solution de l'equation (1) denie surI. Avec les notations precedentes,festk-lipschitzienne enxsur [t0;t0+]Rn, aveck= maxt2[t0;t0+]k(t). Ce theoreme s'applique en particulier auxequations dierentielles lineaires, c'est-a-dire aux equations pour lesquellesf(t;x) =A(t)(x), ouA:I!Mn(R) est une fonction continue. Exercice 4.Montrer que pour toute condition initiale, il existe une solution de l'equation dierentielle _x=tpx 2+t2 denie surR. La methode des solutions approchees.On appellesolution"-approcheeune fonction :J! de classeC1par morceaux qui verie k_ (t)f(t; (t))k " pour tout pointtdansJen lequel est derivable. On peut construire de telles solutions par la methode d'Euler (ou methode de la tangente) : partant de (t0) =x0 et d'une subdivision de l'intervalleJ, on prolonge sur l'intervalle de la subdivision qui contientt0en une fonction ane de deriveef(t0;x0) et ainsi de suite sur les autres intervalles. Si le pas de la subdivision esth, la fonction ainsi construite est kh(M+ 1)-approchee. Pour montrer qu'une suite de solutions approchees converge vers une (vraie) solution, on utilise le lemme suivant, tres pratique, sur les inequations dierentielles.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES 5

Lemme 1(Gronwall).Soitg: [t0;t1[R+!R+une fonction continue. Soit : [t0;t1[!Rune fonction derivable veriant (4) _(t) =g(t;(t)) et soit : [t0;t1[!Rnune fonction derivable veriant k_ (t)k< g(t;k (t)k)pour toutt2[t0;t1[;k (t0)k (t0) Alors (5)k (t)k< (t) pour toutt2]t0;t1[. On peut appliquer ce lemme dans la situation suivante. Supposons qu'il existe une fonction continueg:IR+!R+telle que, pour tout (t;x) dansI , on ait kf(t;x)k< g(t;kxk)

Soient

une solution de (1) etune solution de (4) veriantk (t0)k=(t0) pour unt0dansI. Alors, k (t)k< (t) pour toutt > t0dansI. D emonstration du lemme.En utilisant des developpements limites, on constate que (5) est veriee pourtt0>0 assez petit. Si la conclusion est fausse, il existe un plus petitt22]t0;t1[ en lequel on ak (t2)k=(t2). On a alorsk (t)k< (t)quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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