[PDF] Equations différentielles Etude mathématique et numérique

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SuP Galilée

L"école d"ingénieurs de

l"Institut GaliléeSpécialité MACS 1ère année Equations différentiellesEtude mathématique et numérique

L. Halpern

INSTITUT GALILEE, 99 avenue Jean-Baptiste-Clément 93430 VILLETANEUSE . Janvier 2016 2

Table des matières

2 Equations du premier ordre réelles scalaires

7

2.1 Notion d"existence, unicité, stabilité

11

2.1.1 Unicité locale : solutions- approchées. . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2.1.2 Existence locale : méthode de Cauchy-Lipschitz

15

2.1.3 Stabilité

18

2.1.4 Solutions maximales

20

2.1.5 Etude des solutions globales

21

2.2 Des équations intégrable explicitement

2 2

2.2.1 Equations différentielles linéaires

22

2.2.2 Equations séparables

24

2.2.3 Equations homogènes

2 4

2.2.4 Equations de Bernouilli

25

2.2.5 Equations de Ricatti

25

2.3 Autres démonstrations : Picard et Newton

25

3 Extension aux systèmes et équations d"ordre supérieur

26

3.1 Définitions

26

3.2 Résultats d"existence et d"unicité pour les systèmes

27

3.3 Variation par rapport à un paramètre

28

3.4 Cas des équations différentielles linéaires

28
5 6

Chapitre 2

Equations du premier ordre réelles

scalaires Nous considérons ici uniquement des équations sous forme normale, c"est-à-dire définies comme suit. Soit (2.1)(t;y)!f(t;y) une fonction définie et continue dans une partieDdeR2. Unesolutionde l"équation différen- tielle (ordinaire) du premier ordre (2.2)y0=f(t;y) sur un intervalleIdeRest une fonction réelle (2.3)t!y(t) définie, continue et dérivable dansItelle que (2.4)

8t2I;(t;y(t))2D

8t2I; y0(t) =f(t;y(t))

Lescourbes intégralessont l"ensemble des points(t;y(t))satisfaisant (2.4),i.e.telles quela

pente de la tangenteau point(t;y(t))est égale àf(t;y(t)). Il y a en général une infinité de

solutions au problème. Pour sélectionner unesolution, il faut se donner plus d"informations : la

condition initialey0, c"est-à-dire qu"on cherche la solution de (2.4) qui vérifie de plus (2.5)y(0) =y0

Les équations (

2.4 ) et ( 2.5 ) constituent leproblème de Cauchy1. A chaque donnée de Cauchyy0correspond une et une seule solution. Les courbes de la figure suivante sont obtenues

de 3 façons différentes.1. Louis-Augustin Cauchy (1789-1857), professeur à l"Ecole Polytechnique, a établi les fondations de l"analyse

rigoureuse telle que nous la connaissons aujourd"hui. Il a donné le premier théorème d"existence de solutions

d"équations différentielles (parmi bien d"autres choses, comme par exemple les calculs de la variable complexe)

7

00.20.40.60.811.21.41.61.82

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t yFigure2.1 - Deux courbes intégrales dey0=y(1y)(y0= 1ety0= 2) et champ de vecteur tangent 1.

A vecMaple1with(DEtools, DEplot):2ode := diff(y(t), t) = y(t)*(1y(t));3ivs := [y(0) = 1, y(0) = 2]4#les dessins5DEplot(ode, y(t), t = 0 .. 2, ivs, linecolor = blue)6#la solution générale7dsolve(ode)8# la solution qui vaut 1 en 09ics := y(0) = 110sol1 := dsolve({ics, ode})11sol1 := y(t) = 112# la solution qui vaut 2 en 013ics := y(0) = 214sol2 := dsolve({ics, ode})15sol2 := y(t) =2/(2+exp(t))2.Calcul à la m ain

dyy(1y)=dt

Décomposition en éléments simples

dyy +dy1y=dt

Identificationd(ln(y))d(ln(1y)) =dt

Regroupementd

lny1y =dt 8

Intégrationlny1y

=t+

Exponentiation

y1y=et+

Explicitationy=et+(1y)

Explicitationy(1 +et+) =et+

Division + Changement de constantey=Cet1 +Cet=11=Cet+ 1

Changement de constantey=1De

t+ 1 sol1 !D= 0;sol 1 = 1 sol2 !D= 1;sol 2 =1e t+ 1 3.

Calcul n umériquea vecle script matla b1clear all;close all2%s olutione xacte3t=(0:.01:2);4y0=2;5yy2=y0*exp(t)./(1y0+y0*exp(t));6hold on7plot(t,yy2,"g",0,y0,"*g","Linewidth",1);8plot(t,ones(length(t),1),"k")9f=@(t,y) y.*(1y);10pause11

12%s chemad "Euler13te=(0:0.2:2);14h=te(2)te(1);15ye(1)=y0;16forj =1:length(te)117ye(j+1)= ye(j)+h*f(te(j),ye(j));18end19plot(te,ye,"mo","Linewidth",2);20pause21%s chemao de45d em atlab22

23[tt,yy]=ode45(f,[0 2],2);24hold on25plot(tt,yy,"b*","Linewidth",2);

9

26hold off27xlabel("t")28ylabel("y")29axis([0.1 2.10.1 2.1])Remarque 1.ode45 is based on an explicit Runge-Kutta (4,5) formula, the Dormand-Prince

pair. It is a one-step solver : in computingy(tn), it needs only the solution at the immediately preceding time point,y(tn1). In general, ode45 is the best function to apply as a first try for most problems.http://fr.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html On dit que le problème de Cauchy estbien posésur l"intervalleIs"il existe une et une seule fonctiont7!y(t)satisfaisant aux équations (2.4),(2.5), et dépendant des données(f;y0) de façon continue. Si on intègre l"équation différentielle on obtient (2.6)y(t) =y0+Z t 0 f(s;y(s))ds forme équivalente en général et qui peut être utile.

Il peut arriver que la solution puisse être calculée explicitement. Par exemple une équation

linéaire, ou encore une équation de Bernoulli, comme ty

0+y=y2lnt

On peut réécrire l"équation comme

t y0y 2+1y = lnt

Déjà on voit que l"on ne peut définir éventuellement une solution que surR+. La bonne idée

est de poseru= 1=y tu0+u= lnt

qui est une équation linéaire qu"on peut résoudre explicitement par variation de la constante :

~u(t) =(t)t; ~u0(t) =0(t)t+(t) t~u0(t) + ~u(t)lnt=t20(t)ln(t)

0(t) =ln(t)t

2 (t) =Zln(t)t 2dt=Z ln(t)d(1t ) = ln(t)(1t )Z (1t

2)dt=ln(t) + 1t

~u(t) = ln(t) + 1 La solution générale de l"équation linéaire est donc u(t) =at+ ln(t) + 1 10 et donc y=1at+ lnt+ 1:

Traçons par exemple sans précaution en matlab la courbe intégrale poura= 1.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-500

-400 -300 -200 -100 0 100
200
300
400

500Figure2.2 - Equation de Bernoulli1a=1;2x=0:0.001:13y=1./(a*x+log(x)+1);4plot(x,y,"b","Linewidth",2)2.1 Notion d"existence, unicité, stabilité

2.1.1 Unicité locale : solutions- approchées

Nous allons utiliser une méthode constructive qui fait appel au plus ancien schéma d"approxi-

mation : le schéma d"Euler. Nous nous placerons ici dans le cas simplifié oufest lipschitzienne

par rapport ày.Figure2.3 - Rudolf Lipschitz,

1832-1903Définition 1(Fonctions lipschitziennes).La fonc-

tion', définie dans une partieBdeRnet continue, est dite lipschitzienne de constante de LipschitzLsi (2.7)8y12B;8y22B;j'(y1)'(y2)j6Ljy1y2j (y 1 ,!(y 1 ))(y 2 ,!(y 2 ))penteLFigure2.4 - Représentation 11

Figure2.5 - Fonction lipschitzienne sur

R(rouge) et sa dérivée (bleu)Figure2.6 - FonctionNON lipsc hitzienne surR(rouge) et sa dérivée (bleu) Exercice 1.Si'0est continue par morceaux et bornée en valeur absolue parL, alorsfest lipschitzienne de constante de Lipschitz L.

Une fonction f dérivable sur un intervalle réel est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée

est bornée. Définition 2.La fonction(t;y)!f(t;y), définie dansDet continue, est dite lipschitzienne par rapport àyde constante de LipschitzLsi Nous définissons maintenant la notion de solution- approchée: Définition 3(solutions- approchées).SoitIun intervalle deR,"un nombre réel strictement positif. Une fonctionu, définie surI, à valeurs dansR, telle queu0soit continue par morceaux, est une solution- approchéesi (2.9)

8t2I;(t;u(t))2D

8t2I;tnon point de discontinuité deu0;ju0(t)f(t;u(t))j6"

12 Figure2.7 - Illustration de la régularité dans la

définition avecmaple. En rougeu0, en vertu1> eq1 := piecewise(1 > x, x^2+1, `and`(x >1, x < 1), 3, `and`(x> 1, x < 2), 1/x)

2> eq2 := int(eq1, x)3> plot([eq1, eq2], x =2 .. 3)Nous allons établir maintenant l"inégalité fondamentale de comparaison entre 2 solutions-

approchées: Proposition 1(Comparaison des solutions- approchées).Soitfune fonction définie sur une partieDdeR2, à valeurs dansR, continue et lipschitzienne par rapport ày. Soitu1une solution1- approchée etu2une solution2- approchée, définies sur le même intervalleIdeR. (2.10)Si il existet02I;ju1(t0)u2(t0)j6; (2.11)alors pour toutt2I;ju1(t)u2(t)j6eL(tt0)+"L (eL(tt0)1) avec"="1+"2, et oùLest la constante de Lipschitz associée àf.00.20.40.60.811.21.41.61.821 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 solution exacte solution approchee 1 solution approchee 2Figure2.8 - Deux solutions- approchées 13 La démonstration s"appuie sur les deux résultats suivants Théorème 1(Théorème de la moyenne).Soientfetgdeux fonctions continues par morceaux sur un intervalle[a;b]deR,gpositive ou nulle. Si (2.12)8x2[a;b];m6f(x)6M; alors (2.13)8x2[a;b];mZ b a g(x)dx6Z b a f(x)g(x)dx6MZ b a g(x)dx Théorème 2(Lemme de Gronwall).Soient', etWtrois fonctions continues par morceaux sur l" intervalle[0;a],positives ou nulles sur[0;a], telles que (2.14)W(x)6'(x) +Z x 0

W(s) (s)ds;

sauf aux points de discontinuité. Alors, sauf aux points de discontinuité, on a (2.15)W(x)6'(x) +Z x 0 '(s) (s) exp Zx s ()d ds; De cette estimation de base on peut déduire un résultat d"unicité locale: Théorème 3(Unicité locale).Supposonsfcontinue, lipschitzienne par rapport àydans le domaineD. Soit(t0;y0)un point deD. Siy(t)(définie sur un intervalleIcontenantt0),et~y(t) (définie sur un intervalle~Icontenantt0) sont deux solutions de (2.4) avec la même condition initialey(t0) = ~y(t0) =y0, alorsyet~ycoincident surI\~I.quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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