[PDF] [PDF] Équations différentielles 1 Définitions 2 Le probl`eme de Cauchy

View - Download [PDF] Équations différentielles 1 Définitions 2 Le probl`eme de Cauchy

Previous PDF

Next PDF

Universit´es Paris 6 et Paris 7M1 MEEFAnalyse (UE 3)

2014-2015

Chapitre 10 :´Equations diff´erentielles

1 D´efinitions

D´efinition 1Soitgune application deU?R×Rn×RndansRp. On appelle solution de l"´equation diff´erentielleg(t,y,y ?) = 0toute application d´erivable?:D→E, o`uDest une partie de R, v´erifiant :(t,?(t),??(t))?Uetg((t,?(t),??(t)) = 0pour toutt?D. Cette situation est trop g´en´erale pour que les r´esultatsci-dessous aient une formulation simple, eton se restreint d´esormais aux ´equations sous forme r´esolue:

D´efinition 2On appelle ´equation sous forme r´esolue toute ´equation diff´erentielle de la forme

y ?=f(t,y), o`uf: Ω→Rnest d´efinie sur unouvertΩdeR×Rn. On appelle solution de cette ´equation diff´erentielle toute application d´erivable?:I→

Rn, o`uIest unintervalle

de R, v´erifiant :(t,?(t))?Ωet??(t) =f(t,?(t))pour toutt?I.

D´efinition 3Soity

?=f(t,y)une ´equation diff´erentielle sur un ouvertΩdeR×Rn, soient

1:I1→Rnet?2:I2→Rndeux solutions de cette ´equation diff´erentielle. SiI1?I2et

si, pour toutt?I

1, on a?1(t) =?2(t), on dit que la solution?2est un prolongement de la

solution?

1. SiI1?=I2, on dit que c"est un prolongement strict.

D´efinition 4Soienty

?=f(t,y)une ´equation diff´erentielle sur un ouvertΩdeR×Rn, et ?:I→ Rnune solution de cette ´equation diff´erentielle. L"application?est appel´ee solution maximale de l"´equation diff´erentielle si elle n"admet pasde prolongement strict.

Remarque 1Tous les r´esultats suivants se g´en´eralisent sans difficult´e au cas des ´equations

diff´erentielles d´efinies sur un ouvert Ω de

R×Cn, mais il est fondamental que la variablet

varie dans

Ret non dansC.

Exercice 1

´Equation int´egraleMontrer que sif: Ω→

Rnest continue, si?:I→Rn

v´erifie : (t,?(t))?Ω pour toutt?I, et si on choisitt0?I, alors?est solution dey?=f(t,y) si et seulement elle est continue et v´erifie pour toutt?I: ?(t) =?(t 0) +? t t 0 f(s,?(s))ds.

2 Le probl`eme de Cauchy

Soient (E) l"´equation diff´erentielley?=f(t,y) d´efinie sur un ouvert Ω deR×Rnet (t0,y0)

un point de Ω : un probl`eme naturel est leprobl`eme de Cauchy, qui est de trouver toutes les solutions?de (E) satisfaisant la condition initiale?(t

0) =y0.

D´efinition 5SoientΩun ouvert de

R×Rnetf: Ω→Rn. On dit quefest localement lipschitzienne par rapport `aysi tout point(t

0,y0)?Ωadmet voisinageVtel qu"il existe une

constante positivekv´erifiant : ?(t,y

1)?V ,?(t,y2)?V ,?f(t,y1)-f(t,y2)??k?y1-y2?,

la norme ´etant l"une quelconque des normes (toutes ´equivalentes) sur

Rn. En particulier, toute

fonction de classeC

1est localement lipschitzienne par rapport `ay.

Th´eor`eme 1 (Cauchy-Lipschitz)SoientΩun ouvert de

R×Rnetf: Ω→Rnune

application continue et localement lipschitzienne par rapport `ay. Pour tout(t

0,y0)?Ω, il

existe une unique solution maximale?de l"´equation diff´erentielley ?=f(t,y)satisfaisant la condition initiale?(t

0) =y0. Elle est d´efinie sur un intervalleouvertIcontenantt0.

1 Il faut noter que l"intervalleId´epend de l"´equation et de la condition initiale (t0,y0), et qu"on ne peut pas le prescrire `a l"avance sans hypoth`eses suppl´ementaires.

Exemple 1Consid´erons la fonctionf:

R2→Rd´efinie par :f(t, y) =y2qui est de classe C

1et ne d´epend pas det: on dit que l"´equationy?=y2estautonome. Elle admet la fonction

nulley

0:t?→0 comme solution surR(donc maximale), donc si une solution?:I→Rde

l"´equation v´erifie?(t

0) = 0 avect0?I, le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz pour la condition

initialey(t

0) = 0 montre que?est identiquement nulle. Par cons´equent, les solutions non

identiquement nullesy:I→

Rv´erifient :

-y ?(t) y2(t)=-1 pour toutt?I , et en int´egrant on en d´eduit qu"il existe une constantecv´erifiant :1 y(t)=c-tpour tout t?I, donc :y(t) =1 c-tetIne contient pasc: les solutions maximales autres quey0ne sont donc pas d´efinies sur Rtout entier mais uniquement sur des intervalles ]- ∞, c[ ou

]c,+∞[ et elles "explosent" au pointc, alors que l"´equation est parfaitement r´eguli`ere.

Exemple 2Consid´erons l"´equation diff´erentielley ?= 2?|y|. La fonctionf: (t,y)?→2?|y| est continue et localement lipschitzienne par rapport `a lavariableysur chacun des deux demi-plans Ω +=?(t,y)?R2/y >0?et Ω-=?(t,y)?R2/y <0?, mais pas surR2tout entier. Comme ci-dessus, on montre que ses solutions maximales sont :?(t) = (t+c) 2pour t?]-c,+∞[ dans Ω +et?(t) =-(t+c)2pourt?]- ∞,c[ dans Ω-, avecc?R. Par tout point (t

0,y0) de Ω+(respectivement Ω-), il passe une unique solution maximale d´efinie sur

l"intervalle ouvert ]-c,+∞[ (respectivement ]-∞,-c[). On notera que ces solutions tendent vers 0 lorsquettend vers-cmais que le point (-c,0) n"appartient ni `a Ω +, ni `a Ω-.

D"autre part, on a : 0 = 2?

|0|, ce qui correspond `a la solution maximale?0(t) = 0 pour toutt? R. Si l"on r´esout maintenant l"´equation surR2tout entier, par tout point du plan passent une infinit´e de courbes int´egrales d´efinies sur

R, donc maximales. Elles sont obtenues

en raccordant, sur des intervalles arbitraires, les solutions dans Ω -et Ω+avec?0. Pour d´emontrer le th´eor`eme 1, on commence par prouver sa version locale en utilisant le

r´esultat de l"exercice 1 et le th´eor`eme du point fixe dans l"espace des fonctions continues :

Lemme 1Sous les hypoth`eses du th´eor`eme 1, il existe un r´eelδ >0(qui d´epend det

0ety0)

et une unique solution?

1: ]t0-δ , t0+δ[→Rndey?=f(t,y)v´erifiant :?1(t0) =y0.

Le lemme de Zorn permet ensuite de montrer l"existence et l"unicit´e des solutions maxi- males, obtenues en raccordant "le plus possible" toutes cessolutions locales.

Exercice 2

`A l"aide du lemme 1, montrer que ces solutions maximales sontd´efinies sur des intervallesouverts. Exercice 3SoientEun espace vectoriel de dimension finie et Ω un ouvert de

R×E. Soit

f: Ω→Eune application de classeC ravecr?1. Soityune solution de l"´equation diff´erentielley ?=f(t, y). Montrer par r´ecurrence que la fonctionyest de classeCr+1.

3´Equations d"ordre sup´erieur

Dans cette section, on consid`ere uniquement des ´equations scalaires : ce qui suit se

g´en´eralise aux fonctions `a valeurs vectorielles, mais les notations deviennent plus compliqu´ees.

D´efinition 6Une ´equation diff´erentielle scalaire d"ordrenest une ´equation de la forme

(E n) :y(n)=f(t, y , y?, ... , y(n-1)), o`ufd´efinie sur un ouvertΩdeR×Rnet `a valeurs 2 r´eelles. Une solution de cette ´equation est une fonctionnfois d´erivable?:I→Ro`uIest un intervalle de

R, v´erifiant pour toutt?I:

(t,?(t),? ?(t),...,?(n-1)(t))?Ωet?(n)(t) =f(t,?(t),??(t),...,?(n-1)(t)). A une telle ´equation, on associe le syst`eme d"ordre 1 : (S ?1=y2... y ?n-1=yn y?n=f(t, y1, y2, ... , yn).

Si?:I→

Rest solution de (En), alors (?, ??, ... , ?(n-1)) :I→Rnest solution de (S

1). R´eciproquement, si (?1, ?2, ... , ?n) :I→Rnest solution de (S1), alors la fonction

1estnfois d´erivable, et c"est une solution de (En). Grˆace `a cette correspondance, on peut

reformuler le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz pour les ´equations d"ordren:

Th´eor`eme 2SoitΩest un ouvert de

R×Rnet soitf: Ω→Rune fonction de classe C

1. Pour tout point(t0,y0, y?0, ...y(n-1)

0)?Ω, il existe une unique solution maximale?de

y (n)=f(t, y , y?, ... , y(n-1))v´erifiant :?(k)(t0) =y(k)

0pour0?k?n-1. Elle est d´efinie

sur un intervalle ouvertIcontenantt 0. Le probl`eme de Cauchy pour une ´equation d"ordrenest donc la donn´eeen un mˆeme pointdes valeurs de la fonction et de sesn-1 premi`eres d´eriv´ees successives. Il ne faut surtout pas confondre cette question avec leprobl`eme de Dirichlet, qui consiste `a r´esoudre une

´equation diff´erentielle en se donnant des "conditions auxlimites". Ainsi, pour une ´equation

d"ordre 2, le probl`eme de Cauchy consiste `a trouver les solutions?v´erifiant?(t

0) =y0et

?(t0) =y?0, alors que le probl`eme de Dirichlet sur le segment [a,b] consiste `a trouver les solutions?sur [a,b] v´erifiant?(a) =y

1et?(b) =y2: il n"admet pas toujours une unique

solution!

4´Equations `a variables s´eparables

Il s"agit des ´equations scalaires de la forme (E) :y?=h(t)g(y), o`u la fonctionh:I→R est continue etg:J→Rest localement lipschitzienne. Pour toutc?Jtel queg(c) = 0, la fonction constante? c:t?→cest solution de (E) surI. Le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz permet donc d"affirmer que si?:I

0→Jest une solution non constante de (E) avecI0?I,

la fonctiong◦?ne s"annule nulle part. Elle est donc `a valeurs dans un intervalleJ

0?Jsur

lequelgne s"annule pas et o`u on peut r´ecrire (E) sous la formey ?/g(y) =h(t). SoitGune primitive de 1/get soitHune primitive deh: l"´equation (E) ´equivaut donc `a la constance de la fonctionG◦?-H, c"est `a dire qu"on a :G(?(t)) =H(t) +cpour toutt?I

0, avec

c? Rfix´e. Si l"on sait r´esoudre l"´equationG(y) =c, on obtient ainsi les solutions de (E). Exercice 4R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes. a)y ?=-ty2 b)t3y?+y3= 0.

5´Equations lin´eaires

D´efinition 7On appelle ´equation diff´erentielle lin´eaire toute ´equationy?=f(t,y)d´efinie

surI× RnavecI?R, o`uf:I×Rn→Rnest de la forme :f(t,y) =a(t)(y) +b(t)avec a(t)?L( Rn,Rn)etb(t)?Rnpour toutt?I. L"´equationy?=a(t)(y)est appel´ee l"´equation homog`ene associ´ee, et la fonctiont?→b(t)est le second membre. 3 En notantA(t) la matrice dea(t) dans la base canonique,B(t) les coordonn´ees deb(t) etY(t) celles dey(t), l"´equation s"´ecrit donc :Y ?(t) =A(t)Y(t) +B(t) pourt?I. On parle aussi desyst`eme diff´erentiel. Th´eor`eme 3On consid`ere une ´equation diff´erentielle lin´eairey ?=a(t)(y)+b(t)surI×Rn. SiIest un intervalle ouvert et si les applicationsaetbsont continues surI, les hypoth`eses du th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz sont satisfaites surI×

Rnet les solutions maximales sont

d´efinies surItout entier. Les solutions du syst`eme homog`ene forment unespace vectoriel de dimensionnet les solutions de l"´equation avec second membre forment un espace affine dirig´e par cet espace vectoriel. En admettant le fait que les solutions maximales sont d´efinies surItout entier, les exercices suivants d´emontrent ce th´eor`eme `a partir du th´eor`emede Cauchy-Lipschitz.

Exercice 5On noteS

Hl"ensemble des solutions dey?=a(t)y. Montrer queSHest un sous-espace vectoriel deC

1(I,Rn) et que pour tout pointt?I, l"applicationevt:SH→Rn

d´efinie parevt(?) =?(t) est un isomorphisme.

On en d´eduit que les fonctions?

1, ... , ?n:I→Rnforment une base deSHsi et

seulement si il existet

0?Itel que les vecteurs?1(t0), ?2(t0),..., ?n(t0) forment une base

de Rn, et que dans ce cas les vecteurs?1(t), ?2(t),..., ?n(t) forment une base deRnpour toutt?I.

Exercice 6On noteSl"ensemble des solutions dey

?=a(t)y+b(t). Montrer queSest un sous-espace affine deC

1(I,Rn) dirig´e parSH.

Ce dernier r´esultat est leprincipe de superposition, et on le retient souvent en disant que

la solution g´en´erale de l"´equation avec second membre est la somme d"une solution particuli`ere

et de la solution g´en´erale de l"´equation homog`ene.

5.1 M´ethode de variation des constantes

SoitI?Run intervalle ouvert, et soienta:I→L(Rn,Rn) etb:I→Rndeux applications continues. On consid`ere les ´equations lin´eaires surI× Rn: (E) :y ?=a(t)(y) +b(t) et (H) :y?=a(t)(y).

Supposons qu"on ait r´esolu (H), et soit?

1, ... , ?n:I→Rnune base deSH. Les solutions

de (H) sont donc les fonctions de la forme :c

1?1+···+cn?no`uc1,..., cnsont des constantes

quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

[PDF] lemme de gronwall exercices corrigés

[PDF] théorème des bouts

[PDF] calculer l'angle d'un triangle rectangle

[PDF] égalité de pythagore exercice

[PDF] égalité de pythagore triangle rectangle

[PDF] égalité de pythagore 4ème

[PDF] égalité de pythagore 3eme

[PDF] démonstration par l'absurde exemple

[PDF] démonstration par l'absurde exercices corrigés

[PDF] démonstration par contraposée

[PDF] montrer qu'une fonction est surjective

[PDF] comment montrer qu'une fonction est injective ou surjective

[PDF] comment montrer qu'une application est bijective

[PDF] fonction injective surjective bijective exercice

[PDF] montrer qu'une application linéaire est surjective