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Universit´e de Cergy-Pontoise 2008-2009

Calcul Diff S6 M

Equations diff´erentielles

1 Quelques pr´erequis

SoientIun intervalle deRetUun ouvert d"un espace de BanachE. On consid´ere une fonctionf:I×U→E. Nous allons rappeler quelques d´efinitions. •L"applicationfest ditek-lipschitzienne par rapport `a sa seconde variable, si et seulement si il existe une constantek >0 telle (On dit parfois quefest uniform´ement lipschitzienne par rapport `a sa seconde variable). •L"applicationfest dite localement lipschitzienne par rapport `a sa seconde variable si et seulement si pour tout (t0,y0)?I×U, il existeε >0,r >0 etk (qui d´ependent det0ety0) •Pour toutt?I,y?→f(t,y) est lipschitzienne par rapport `a sa seconde variable si et seulement si pour toutt?I, il existek(t)>0 tel que (On dit parfois queflipschitzienne par rapport `a sa seconde variable). Signalons aussi un outil qui nous simplifiera les d´emonstration dans ce cours Lemme 1.1 Lemme de GronwallSoientfetgdeux fonctions continues par morceaux sur un intervalleI`a valeurs r´eelles. On suppose qu"il existe deux constantesK >0,L >0ett0?Itels que pour toutt?I,f(t)≥0,g(t)≥0et t t

0f(s)g(s)ds????.

Alors pour toutt≥t0,

L?????

t t

0g(s)ds?????

1

Preuve:

On introduit la fonction d´efinie pour toutt?Ipar

F(t) =K+L?????

t t

0f(s)g(s)ds????Kexp?

L?????

t t

0g(s)ds?????

On va montrer queFatteind son maximum ent0etF(t0) = 1. Pour cela on d´erive simplementFet on constate que sous nos hypoth`eses,F?(t)≥ SoitIun intervalle deRetUun ouvert d"un espace de BanachE. Soit f:I×U→Eune fonction continue. On cherche si il existe une fonctiony d´efinie sur un intervalleJ?I`a valeurs dansU, d´erivable telle que ?t?J,y?(t) =f(t,y(t)) On appelle r´esoudre l"´equation diff´erentielley?=f(t,y), trouver tous les couples (y,J) o`uJest un intervalle etyune fonction d´efinie surJv´erifie l"´equation. Si on se donnet0?Iety0?U, on appelle r´esoudre le probl`eme de Cauchy associ´e `a cette ´equation trouver tous les couples (y,J) tels queJest un intervalle etyune fonction d´efinie surJv´erifie l"´equation et y(t0) =y0.

2 Th´eor`emes de Cauchy-Lipshitz

Dans toute cette partieIest un intervalle deRetUun ouvert d"un espace de BanachE. On consid´eref:I×U→Eune fonction continue. Soitt0?I ety0?U, on cherche `a r´esoudre le probl´eme de cauchy associ´e `a l"´equation diff´erentielley?=f(t,y) et au couple (t0,y0). On remarque tout d"abord queyest solution sur un intervalleJsi et seulement si,yest une fonction continue et ?t?J,y(t) =y0+? t t

0f(s,y(s))ds

PourJ?Iun intervalle ouvert contenantt0, on s"int´eresse alors `a l"application ?:C0(J,E)-→C0(J,E) y?-→(t?→y0+? t t

0f(s,y(s))ds)

Si on munitC0(J,E) de la norme uniforme, il s"agit alors d"un espace de Banach. Une fonctiony?Eest alors solution si et seulement si il s"agit d"un point fixe 2 de?etyest `a valeurs dansU. On va obtenir diff´erents suivants les hypoth`eses de lipschitzianit´e surf. Th´eor`eme 2.1On suppose quefest localement lipschitzienne au voisinage de (t0,y0). Alors il existeε >0tel que si on poseJ=]t0-ε,t0+ε[,?admet un unique point fixeyqui prend ses valeurs dansU. On montre simplement que l"on peut choisirεassez petit etV?Uun voisinage ouvert dey0tels que l"application?est contractante et est stable sur E

0={y?C0(J,V),y(t0) =y0}.

On choisit tout d"abord le domaineVet unε0tel quefestk-lipschitzienne sur J

0=]t0-ε0,t0+ε0[×V. On montre ais´ement que pour toutt?J0, et touty1,

y

2? {y?C0(J0,V),y(t0) =y0},

t t

0|f(s,y1(s))-f(s,y2(s))|ds????,

Si on se fixe alorsε >0 tel quekε <1 etε < ε0, on obtient le r´esultat voulu. On conclut avec le th´eor`me du point fixe surE0. Th´eor`eme 2.2On suppose queU=Eet quefestk-lipshitzienne par rapport `a sa seconde variable. Alors il existe une unique solution au probl`eme de Cauchy d´efinie surI. On montre que pour toutJ?Iun intervalle born´e, il existe un entiern >0 tel que?nest contractante. Soit doncJ=]a,b[ tel quet0?J. On note comme dans la d´emonstration pr´ec´edente que pour toutt?J, ety1,y2?C0(J,E),

On montre alors par r´ecurrence que

J´etant born´e on obtient l"existence de l"entiernattendu. On conclut en utilisant le corollaire du th´eor`eme du point fixe. Signalons que si on suppose que pour toutt?I,x?→f(t,x) estk(t)- Lipschitzienne, alors on montre suivant les m´ethodes pr´ec´edentes, que siy1et y

2sont des solutions alors

t t

0k(s)|y1(s)-y2(s)|ds????.

3 Si on suppose par exemple ques?→k(s) est continue par morceaux surIon peut alors utiliser le lemme de Gronwall pour en d´eduire t t

0k(s)ds????.

Ce r´esultat implique l"unicit´e au probl`eme de Cauchy et la continuit´e de l"application qui `a une donn´ee initiale associe une solution. En TD on pourra pr´evoir des exercices introduisant la notion de solution maximale et signaler l"existence d"un th´eor`eme de Cauchy-Lipshitz portant sur les solutions maximales.

3 Etude des ´equations lin´eaires

Dans cette partie on s"int´eresse `a des fonctionsfdu type f(t,y) =A(t)y+B(t), o`u pour touttfix´e,A(t) est un op´erateur lin´eaire continue deEdansEet o`u les applicationst?→A(t) ett?→B(t) sont continues deRdansE. Pour tout intervalleIborn´e,fest alors clairement lipschitzienne surI×Eet d"apr´es les th´eor`emes pr´ec´edents, le probl`eme de Cauchy admet une unique solu- tion surR. SoitIun intervalle deR. SoientA?C0(I,L(E,E)) etB?C0(I,E) deux applications. On noteS ?C1(I,E) l"ensemble des solutions au probl`eme ?t?I,y?(t) =A(t)y(t) +B(t), et on noteS0l"ensemble des solutions au probl`eme (dit homog`ene) ?t?I,y?(t) =A(t)y(t).

On obtient ais´ement les r´esulats suivant

Proposition 3.1L"ensembleSest un espace affine de directionS0. Pour toutt0?Ifix´e, les applications deEdansSouS0qui au couple(t0,y0) associe les solutions au probl`eme de Cauchy sont des bijections respectivement affine et lin´eaire. On appelle r´esolvante cette derni`ere application. Si de plusA est born´e alors ces deux applications sont des hom´eomorphismes. Preuve:Siy1ety2sont solutions si on notek(t) =?A(t)?, alors on montre facilement que t t

0k(s)|y1(s)-y2(s)|ds????,

Par le lemme de Gronwall, on en d´eduit que pour toutt?I, ?t t

0k(s)ds?

Ce qui permet de conclure.

4 D´efinition 3.2SoitA? L(E,E). On appelle exponentielle deA, l"op´erateur not´eeAd´efini par e A=n? n=01n!An.

On montre les r´esultats suivants

Proposition 3.3Pour toutλ?Ret toutA,B? L(E,E),

e

λIdE=eλ.IdE,

e

λIdE+A=eλ.eA,

e

A+B=eA◦eB.

On peut alors d´ecrire la r´esolvante.

Proposition 3.4Sit?→ A(t)est une primitive deAalors la r´esolvante(t0,y0)?→

R(t0,y0)v´erifie

R(t0,y0)(s) =eA(s)-A(t0)y0.

Dans le cas o`uEest un espace de dimension finien, on en d´eduit queS0est aussi un espace vectoriel de dimensionn. Si (y1,..,yn) est une base deS0on peut chercher des solutions deSde la forme t?→n? k=1λ k(t)yk(t).

Un simple calcul nous donne alors que

?t?I,n? k=1λ ?k(t)yk(t) =B(t). Ce syst`eme est inversible pour touttet on peut alors trouver une solution parti- culi`ere deS. On appelle cette m´ethode "variation des constantes". 5quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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