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EQUATIONS DIFFERENTIELLES - PROBLEME DE CAUCHY

Resume de cours de calcul dierentiel 2 L3 de B. Calmes, Universite d'Artois (version du 18 avril 2016) Tous les evn consideres sont toujours surRet de dimension nie, sauf mention expresse du contraire.

1.Forme generale

Nous allons etudier des equations reliant des fonctions et leurs derivees suc- cessives. Nous imposerons donc que ces fonctions soient denies sur un intervalle IR, de longeur non vide. La raison est premierement qu'il faut que la continuite et la derivabilite aient un sens, ce qui contraint a se placer sur une union nie (pour eviter les cas pathologiques) d'intervalles d'interieur non vide disjoints, et pour une telle union, il sut de trouver les solutions sur chaque intervalle (composante connexe) la composant pour obtenir les solution sur l'union. Comme d'habitude, une fonction est diteCksur un intervalle si elle estCksur son interieur et si elle estCka gauche ou a droite selon le cas aux bornes.

1.1.Denition.Une equation dierentielle surIpour les fonctionsI!E, ouE

est un evn, est la donnee d'une fonction f:U!E0 ouUest une partie deIEn+1etE0est un autre evn. On dit qu'une fonction x:I!Eestsolutionde cette equation dierentielle si sesnderivees (noteesx(i)) existent et satisfont a (t;x(t);x0(t);:::;x(n)(t))2U8t2I ft;x(t);x0(t);:::;x(n)(t)= 0:(1.1) On dit qu'elle estd'ordrensifn'est pas independante de sa derniere variableE. Quitte a changerEenF=EnetE0enF0=En1E0, on peut toujours se ramener a une equation d'ordre 1. En eet, sig:I(En)2!En1E0est donnee par ses composantes g i(t;y;z) =ziyi+1pouri= 1;:::;n1, etgn(t;y;z) =f(t;y1;:::;yn;zn) alorsgest une equation dierentielle d'ordre 1 et x7!y= (x;x0;:::;x(n1)) realise une bijection des solutions de l'equation ( 1.1 ) vers celles deg(t;y;y0) = 0 de bijection inversey7!y1. Il est immediat de verier qu'une solution de l'une est envoye sur une solution de l'autre.

2.Le probleme de Cauchy

Partons d'une equation d'ordre 1

(2.1)g(t;x;x0) = 0 denie surI, avecx:I!E. 1 2

EQUATIONS DIFFERENTIELLES - PROBLEME DE CAUCHY

2.1.Probleme(de Cauchy).Etant donne unt02Iet unv02E, existe-t-il une

solutionxde(2.1)telle quex(t0) =v0? Et si oui, est-elle unique? En fait, nous n'allons pas repondre au probleme en toute generalite, mais tout de m^eme dans une grande generalite. Nous nous contenterons d'une equation de la forme (2.2)x0=f(t;x) c'est-a-dire ou la fonctiongde (2.1) est de la formeg(t;x;x0) =x0f(t;x), ou f:U!E, avecUun ouvert deRE.

2.2.Remarque.Sif:U!EestCk, alors toute solution de (2.2) estCk+1.

2.3.Denition.Une telle applicationf:U!Eest dite :

|lipschitzienne par rapport a la seconde variables'il existe un reel positifK tel que8(t;x)2U, on ait (2.3)kf(t;y)f(t;x)k Kkyxk: |localement lipschitzienne par rapport a la seconde variablesi tout point de Uest contenu dans un voisinage ouvertVUtel que la fonctionfjVest lipschitzienne. |lipschitzienne par rapport a la seconde variable, localement par rapport a la premiere variable, si le voisinage ouvertVdu point precedent peut ^etre choisi de la formeV= (IE)\UavecIun intervalle ouvert.

2.4.Lemme.Pour quefsoit localement Lipschitzienne par rapport a la seconde

variable, il sut quefsoit dierentiable par rapport a cette variable et que l'appli- cation \dierentielle"U! L(E)donnee par(t;x)7!D(ft)(x)soit continue.

On a alors le theoreme suivant.

2.5.Theoreme(Cauchy-Lipschitz).Etant donne une telle applicationcontinue

f:U!Elocalement lipschitzienne par rapport a la seconde variable, et un point (t0;v0)deU. Alors il existe un intervalleJcontenantt0dans son interieur, tel que l'equation dierentielle(2.2)admette une solutionx:J!Everiantx(t0) =v0. De plus, sur tout intervalleJcontenantt0, il existe au plus une telle solution.

2.6.Lemme.SoitJun intervalle deRcontenant un reelt0. Pour qu'une fonction

continuex:J!E, de graphe inclus dansU, soit solution de(2.2)et verie x(t0) =v02E, il faut et il sut qu'elle verie l'equation integrale (2.4)x(t) =v0+Z t t

0f(u;x(u))du

pour toutt2J.

2.7.Remarque.Une fonction continue solution de (2.4) est automatiquementC1.

L'unicite armee en n du theoreme

2.5 est une cons equencedes deux lemmes suivants.

2.8.Lemme(de Gronwall).Soit:I!R+une fonction continue sur un interalle

I, et soitt02I. Supposons qu'il existeL;K0tels que (t)L+KZ t t

0(u)du8t2I

Alors pour toutt2I, on a(t)LeKjtt0j. En particulier, siL= 0, alors= 0.

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2.9.Lemme.Sous les hypotheses du theoreme de Cauchy-Lipschitz2.5 , six1etx2

sont deux solutions de(2.2)denies sur un m^emeintervalleJet si elles concident en un pointt0deJ, alors elles sont egales. On rappelle le theoreme suivant, qui est a la base de la preuve du theoreme de

Cauchy-Lipschitz

2.5

2.10.Theoreme(du point xe).SoitAun ferme non vide d'un evn completE(non

necessairement de dimension nie), et soith:A!Aune fonctionk-lipschitzienne pour un certaink <1. Alorshpossede un unique point xe, et pour toutx02A, la suite denie par recurrence parxn+1=h(xn)converge vers ce point xe. Pour la preuve de Cauchy-Lipschitz, on va denir une suite de fonctions x

0(t) =x0etxn+1(t) =v0+Z

t t

0f(u;xn(u))du

autrement ditxn+1=h(xn) ouh:A!Aenvoiegsurv0+Rt t

0f(u;g(u))du. puis

on montre par le theoreme du point xe que cette suite converge vers une fonction veriant donc 2.4 . Le probleme est de verier les hypotheses de ce theoreme sur un fermeAd'un evn complet a denir. Dans un evn, on noteB(a;r) (resp.B(a;r)) la boule ouverte (resp. fermee) centree enaet de rayonr. On choisit d'abord un voisinage ouvertVde (t0;v0) sur lequelfestK-lipschitzienne, dans lequel on choisit un produit de boules fermeesB(t0;r)B(v0;) avecr; >0. La fonction fetant continue, elle est bornee sur un tel compact. SoitMun majorant dekfk.

Soitg:B(t0;r)!B(v0;) une fonction continue. Alors

kh(g)(t)v0k Z t t

0kf(u;g(u))kdurM

Donc quitte a reduirerpour avoirrM, on a donc bien deni une fonction h:A!AouA=C0(B(t0;r);B(v0;)). Calculons alors kh(g1)(t)h(g2)(t)k Z t t

0kf(u;g1(u))f(u;g2(u))kdu

KZ t t

0kg1g2kKrkg1g2k1

ou encore kh(g1)h(g2)k1Krkg1g2k1 Donc, quitte a reduire encorerpour avoirKr <1, nous obtenons bien une fonction h:A!A,k-lipschitzienne, ouAest le fermeC0(B(t0;r);B(v0;)) inclus dans l'espace vectoriel normeE=C0(B(t0;r);E) (muni de la norme1). Cet espaceE est complet, c'est bien connu. Cela acheve donc la demonstration.

2.11.Theoreme.Parmis les paires(J;x)avecJun intervalle etx:J!Esatis-

faisant a l'equation dierentielle et ax(t0) =v0, il en existe une(Jmax;xmax)qui est maximale : pour toute paire(J;x), on aJJmaxetx= (xmax)jJ. L'intervalle J maxest alors ouvert dansI. SoitJmaxl'union de tous les intervallesJcontenantt0dans leur interieur et sur lesquels il existe une solution valantv0ent0. Alors c'est un intervalle, comme sur chaque telJ, la solution est unique, on peut denir une solution surxmaxsurJmax comme etant la seule qui se restreint sur toutJa l'unique solution deJ. Reste a 4

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montrer que ceJmaxest ouvert. S'il ne l'etait pas, il aurait une borne fermee, disons t

1et supposons qu'elle soit la borne superieure. Alorst12J1pour un certainJ1

et on aurait donc une valeurx(t1). Par application du probleme de Cauchy en ce t

1avec la valeurxt1on pourrait prolonger la solution a un ouvert contenantbet

donc dest > b.

2.12.Theoreme(Cauchy-Lipschitz global).SoitIun intervalle,f:IE!E

une fonction continue et lipschitzienne par rapport a la seconde variable localement en la premiere variable, alors la solution maximale est globale, c'est-a-dire denie surItout entier. On refait la preuve en utilisantEtout entier au lieu deB(v0;), et en sautant la partie qui sert a ce quehsoit bien denie, puisque cette fois-ci, c'est le cas sur toutC0(I;E). Par ailleurs, en supposant que la solution maximale (valantv0en t

0) soit denie sur un intervalle ouvertJstrictement inclus dansI, il y a donc une

borne deJmaxdansI(et hors deJmax, qui est ouvert). Appelons-lat1. On choisit une bouleB(t1;r) de rayon non nul sur laquelle la fonctionfestK-lipschitzienne, avecKr <1 (quitte a reduirer). On se place alors en un pointt2dansJmaxet a distance< rdet1. Alors comme dans la n de la preuve mais en prenantt2comme point de base, il existe une solution sur [t2;t1] (ou [t1;t2] selon quet1est la borne superieure ou inferieure deJmax) valantx(t2) ent2, et par recollement on prolonge donc la solution maximale jusqu'at1, hors deJmax, ce qui est impossible.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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