[PDF] Cours de mathématiques Chapitre 4 : Dérivabilité

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Cours de mathématiques

Terminale S1

Chapitre 4 : Dérivabilité

Année scolaire 2008-2009

mise à jour 22 novembre 2008

Fig.1 - Jean Dausset

Fig.2 - halliday

Fig.3 - Johann Radon

Il y a des gens connus et des gensimportants

-Idée de Dominique Barbolosi 1

Table des matières

I Chapitre 4 : Fonctions dérivables3

I.A Nombre dérivé, fonction dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.B Tangente et approximation affine localement au voisinagedea. . . . . . . . . . . 3

I.C Dérivabilité et continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.D Dérivées successives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.E Règles de dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.E.1 Dérivées des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.E.2 Dérivées et opérations sur les fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.E.3 Dérivée d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.E.4 Deux exemples de fonctions composées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.F Applications de la dérivation (étude de fonction). . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.F.1 sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.F.2 Extremum local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.G Exemple : étude de la fonction tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Le document s"inspire des nombreux livres de Terminale S desdifférentes éditions. Les figures

de ce document ont été réalisées avec métapost et les macros de J-M Sarlat. L"environnement

bclogo, utilisé pour la réalisation de ce document , est téléchargeable ici : 2 I Chapitre 4 : Fonctions dérivablesI.A Nombre dérivé, fonction dérivée

Définition 1:

fest une fonction définie sur un intervalleIetaest un réel deI.fest dérivable enasi et seulement si l"une ou l"autre des deux propositions équivalentes est réalisée : - la fonctionh?-→f(a+h)-f(a) ha une limite finielen 0, ou encore que la fonctionx?-→f(x)-f(a) x-aa pour limitelquandxtend versa. - pour tout réelhtel quea+h?I,f(a+h) =f(a) +hl+hε(h) aveclimh→0ε(h) = 0. Le nombrelest appelé nombre dérivé de la fonctionfenaet est notéf?(a).

Remarques :

- Le nombref(a+h)-f(a)h(h?= 0) est appelé taux de variation defentreaeta+h. - SoitA(a;f(a))etM(a+h;f(a+h)), le quotientf(a+h)-f(a) h(h?= 0) est le coefficient directeur de la droite(AM). Lorsquefest dérivable en tout point d"un intervalleIinclus dans l"ensemble de définition def, on dit quefest dérivable surI.

Définition 2:

fest une fonction dérivable sur un intervalleI. La fonction dérivée defsurIest la fonction f ?qui à toutadansIassocief?(a). I.B Tangente et approximation affine localement au voisinagedea

•: siCfest la courbe représentative defdans

un repère. Une équation de la tangenteTàCf au pointAd"abscisseaest : y=f?(a)(x-a) +f(a)

•: Pour tout réelhtel quea+h?I,

f(a+h) =f(a)+f?(a)h+hε(h)etlimh→0ε(h) = 0

On remarque graphiquement ci-contre que,

lorsquehtend vers 0,Mse "rapproche" dePet doncf(a)+f?(a)hest une approximation affine def(a+h), pourhproche de 0. aa+hA M f(a)f(a+h) f(a) +h.f?(a)P xy +1 +1 3

I.C Dérivabilité et continuité

Proposition 1:

fest une fonction définie sur un intervalleI,aest un réel deI.

Sifest dérivable ena, alorsfest continue ena.

Démonstration

On suppose quefest dérivable ena, c"est à dire, pourh?= 0tel quea+h?I, f(a+h) =f(a) +f?(a)h+hε(h)aveclimh→0ε(h) = 0.

Orlimh→0f?(a)h= 0etlimh→0hε(h) = 0donclimh→0f(a+h) =f(a), ce qui justifie quefest continue

ena. Remarque: La réciproque de la propriété est fausse : la fonction racine carrée est continue en 0, mais elle n"est pas dérivable en 0.

De même, la fonction valeur absolue est conti-

nue en 0, mais n"est pas dérivable en 0. Je vous invite à regarder, dans les deux cas, la raison pour laquelle la fonction n"est pas déri- vable en 0 en étudiant et interprètant graphi- quementlimx→0f(x)-f(0) x x?-→⎷xx?-→ |x|

I.D Dérivées successives

Définition 3:

fest une fonction dérivable sur un intervalleI. Sa fonction dérivéef?s"appelle la fonction dérivée première (ou d"ordre 1) def.

Lorsquef?est dérivable surI, sa fonction dérivée est notéef??;f??est appellée dérivée

seconde (ou dérivée d"ordre 2) def.

De manière récurrente, pour tout entier natureln≥2, on définit la fonction dérivéen-ième

(ou d"ordren) comme étant la fonction dérivée de la fonction d"ordren-1,f(1)=f?et pour toutn≥2,f(n)=f(n-1)?. Exemple 1:f:x?-→cosxest dérivable surRet on af?(x) =-sinx,f??(x) =-cosx, f (3)(x) = sinx,f(4)(x) = cosxet ainsi de suite...

I.E Règles de dérivation

I.E.1 Dérivées des fonctions usuelles

Voici un tableau que l"on complètera plus tard dans l"année. 4 f(x)f?(x)fest dérivable sur l"intervalle

λ0]- ∞;+∞[

x1]- ∞;+∞[ xn(n?Netn≥2)nxn-1]- ∞;+∞[

1/x-1/x2]- ∞;0[ou]0;+∞[⎷x1

2⎷x]0;+∞[

cosx-sinx]- ∞;+∞[ sinxcosx]- ∞;+∞[ I.E.2 Dérivées et opérations sur les fonctions

Proposition 2:

uetvsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIetkest un réel. Alorsku,u+vet uvsont dérivables surIet : (ku)?=ku?;(u+v)?=u?+v?;(uv)?=u?v+uv?

Si, de plusvne s"annule pas surI, alors1

vetuvsont dérivables surIet :?1 v? =-v?v2et?uv? ?=u?v-uv?v2

Corollaire :

Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de leur domaine de définition. Exercice 1:Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

1.fest la fonction définie sur[0;+∞[par :f(x) = (x-1)⎷

x

2.fest la fonction définie surR\ {-1;0}par :f(x) =4x2+x+ 2

x2+x

Solution :

1.fest dérivable sur]0;+∞[, etf(x) =u(x)v(x)avecu(x) =x-1etv(x) =⎷x

On a alorsu?(x) = 1;v?(x) =1

2⎷xetf?=u?v+uv?

f ?(x) = 1×⎷ x+ (x-1)×12⎷x=⎷x+x-12⎷x

2.fest dérivable surR\{-1;0}, etf(x) =u(x)

v(x)avecu(x) = 4x2+x+2etv(x) = x 2+x

On a alorsu?(x) = 8x+ 1;v?(x) = 2x+ 1etf?=u?v-uv?

v2 f ?(x) =(8x+ 1)(x2+x)-(4x2+x+ 2)(2x+ 1) (x2+x)2. 5

I.E.3 Dérivée d"une fonction composée

Théorème 1

gest une fonction dérivable sur un intervalleJ.uest une fonction dérivable sur un intervalle

I, et pour toutxdeI,u(x)appartient àJ.

Alors la fonctionfdéfinie parf(x) =g◦u(x) =g(u(x))est dérivable surIet pour toutx deI, f ?(x) =u?(x)×g?(u(x)). Démonsration: Pour touta?I, pour tout réelhnon nul tel quea+h?I, f(a+h)-f(a) Oruest dérivable ena, d"oùlimh→0u(a+h)-u(a) h=u?(a). De plus,uest dérivable ena,uest donc continue ena, ce qui donne :limh→0u(a+h) =u(a). On a égalementu(a)?Jetgest dérivable surJ, d"où :limX→u(a)g(X)-g(u(a))

X-u(a)=g?(u(a)).

On obtient alorslimh→0g(u(a+h))-g(u(a))

u(a+h)-u(a)=g?(u(a)). Donclimh→0f(a+h)-f(a)h=u?(a)×g?(u(a)) etg◦uest dérivable enaet(g◦u)?(a) =u?(a)×g?(u(a)). Remarque: On retrouve ainsi une propriété vue en première : sig(x) =f(ax+b), alorsg?(x) = af ?(ax+b). Exercice 2:Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

1.fest la fonction définie surR\ {0}par :f(x) = sin?1

x?

2.fest la fonction définie surRpar :f(x) = cos(x2).

Solution :

1.fest dérivable surR\ {0}. Pour toutx?R\ {0},f(x) =g◦u(x)oùu(x) =1xet

g(x) = sinx. u ?(x) =-1 x2etg?(x) = cosx.

On a alorsf?(x) =-1

x2cos?1x?

2.fest dérivable surR. Pour tout réelx,f(x) =g◦u(x)oùu(x) =x2etg(x) =

cosx. u ?(x) = 2xetg?(x) =-sinxetf?(x) =-2xsin(x2). 6

I.E.4 Deux exemples de fonctions composées

Proposition 3:

uest une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalleI.

Alors la fonctionfdéfinie surIparf(x) =?

u(x)est dérivable surI, et pour toutxde

I:f?(x) =u?(x)

2?u(x)

Dém :f(x) =g(u(x))oùg(x) =⎷

xetg?(x) =12⎷x gest dérivable sur]0;+∞[; pour toutxdeI,u(x)>0, donc la fonctionf=g◦uest dérivable

surIet d"après la propriété sur la dérivée d"une fonction composée, on obtient :f?(x) =u?(x)×

g ?(u(x)) =u?(x)

2?u(x).

Proposition 4:

uest une fonction dérivable sur un intervalleIetnest un entier naturel non nul. Alors la fonctionfdéfinie parf(x) = [u(x)]nest dérivable surIet pour toutxdeI: f ?(x) =n[u(x)]n-1×u?(x) Dém :f(x) =g(u(x))oùg(x) =xn. Pour tout réelx,g?(x) =nxn-1. Alors pour tout réelx,f?(x) =u?(x)×g?(u(x)) =u?(x)×n[u(x)]n-1=n[(u(x)]n-1×u?(x). Remarque: Cas oùn <0etune s"annule en aucun point deI:

On af(x) = [u(x)]n=1

[u(x)]-n. Puisque-n >0, on peut appliquer la formule de la dérivée de l"inverse d"une fonction et on obtient :f?(x) =-([u(x)]-n)? ([u(x)]-n)2 et ?[u(x)]-n??=-nu?(x)×[u(x)]-n-1doncf?(x) =nu?(x)[u(x)]-n-1 [u(x)]-2n=nu?(x)[u(x)]-n+1.

On obtient égalementf?(x) =nu?(x)[u(x)]n-1.

Exercice 3:Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

1.fest la fonction définie surRparf(x) = (x2+ 3x+ 1)3.

2.gest la fonction définie surRparg(x) =?

x2+ 2x+ 3.

Solution :

1.fest une fonction polynôme, elle est donc dérivable surR.

On af(x) = [u(x)]noùu(x) =x2+ 3x+ 1etu?(x) = 2x+ 3.

On a alorsf?(x) = 3×(2x+ 3)(x2+ 3x+ 1)2.

2. Commex2+ 2x+ 3>0surR, la fonctionfest dérivable surR.

On ag(x) =?

u(x)oùu(x) =x2+ 2x+ 3etu?(x) = 2x+ 2

On a alorsf?(x) =u?(x)

2?u(x)=2x+ 22⎷x2+ 2x+ 3=x+ 1⎷x2+ 2x+ 3.

7 I.F Applications de la dérivation (étude de fonction)I.F.1 sens de variation

Théorème 2

fest une fonction dérivable sur un intervalleI.

1. Si pour toutxdeI,f?(x)>0sauf peut-être en quelques points oùf?(x)s"annule

alorsfest strictement croissante surI.

2. Si pour toutxdeI,f?(x)<0sauf peut-être en quelques points oùf?(x)s"annule

alorsfest strictement décroissante surI.

3. Si pour toutxdeI,f?(x) = 0alorsfest constante surI.

Ex:fest la fonction définie surRparf(x) =x3.fest dérivable surRetf?(x) =x2pour tout réelx. Pour toutx?R?,f?(x)>0etf?(0) = 0, doncfest strictement croissante surR.

I.F.2 Extremum local

Proposition 5:

fest une fonction dérivable sur un intervalleI,cest un point deI. Dire quef(c)est unmaximum local(resp.minimum local) signifie que l"on peut trouver un intervalleJinclus dansIet contenantc, tel que, On appelle extremum local, un maximum ou un minimum local.

Sur l"exemple ci-contre,fprésente un maxi-

mum local enx1sur l"intervalle[c1;c2]et un minimum local enx2sur[c2;c3] c1c3c2x1x

2f(x1)

f(x2)xy +1 +1 8

Théorème 3

fest une fonction dérivable sur un intervalleIouvert,cest un point deI.

1. Sif(c)est un extremum local, alorsf?(c) = 0.

2. Sif?s"annule encen changeant de signe, alorsf(c)est un extremum local.

Remarque: Lorsquef(c)est un extremum local, la tangente à la courbe représentantfen

A(c;f(c))est horizontale.

I.G Exemple : étude de la fonction tangente

La fonction tangente, notéetan, est définie pour tout réelxtel quex?=π

2+kπaveck?Z, par

tanx=sinx cosx. Par la suite, on noteDl"ensemble de définition de la fonctiontan.

Proposition 6:

Pour toutxdeD,tan(x+π) = tanx.

Dém :Six?D, alorsx+π?D, ettan(x+π) =sin(x+π) cos(x+π)=-sinx-cosx= tanx. La fonctiontanest périodique de périodeπ.

Proposition 7:

Pour toutxdeD,tan(-x) =-tanx

Dém :Six?D,-x?Dettan(-x) =sin(-x)

cos(-x)=-sinxcosx=-tanx. La fonction tangente est alors impaire, sa courbe représentative admet donc l"origine pour centre de symétrie. On peut ainsi se contenter d"étudier la fonction tangente sur?

0;π

2?

Proposition 8:

La fonction tangente est dérivable en tout réelxdeDettan?x= 1 + tan2x=1cos2x. Dém :Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables surDetcosx?= 0surD, donc la fonction tangente est dérivable surD. (tan) ?(x) =cos2x+ sin2x cos2x= 1 + tan2x=1cos2x. 1 Tableau de variation et représentation graphique

1Voir le TP Info 5 bis

9

Pour toutx??

0;π2?

,(tan)?(x)>0donc la fonction tangente est strictement croissante sur

0;+π

2? lim x→π

2sinx= 1etlim

x→π2x<π

2cosx= 0+donc

lim x→π

2x<π

2tanx= +∞.

Dans un repère orthogonal(O;-→i ,-→j), on trace la courbe qui représente la fonction tangente

sur?

0;π

2? , puis par symétrie par rapport àO, on obtient la courbeΓsur? -π2;π2? . Enfin, on applique àΓles translations de vecteurskπ-→iaveck?Z.

D"où la représentation graphique suivante :

xy +1 +1 x?-→tan(x)

23π2-π2-3π2

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