[PDF] TS. Évaluation 3 -Correction 1 ( 3 points ) Déterminer les fonctions

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TS. Évaluation 3 -Correction|

1( 3 points )Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

1°f(x) =x3(12x)2

f=UV2avecU(x) =x3etV(x) = 12x f

0=U0V2+U2V:V0avecU0(x) = 3x2etV0(x) =2

f

0(x) = 3x2(12x)2+x32(12x):(2)

f

0(x) =x2:(12x)[3(12x)4x] =x2:(12x)(310x)fonctiondérivée

V nn:V n1V0V

22:VV0U:VU

0:V+U:V02°f(x) = 4sin(5 + 3x)

f= 4:sinUavecU(x) = 5 + 3x f

0= 4:(cosU)U0avecU0(x) = 3

f

0(x) = 4:(cos(5 + 3x))3f0(x) = 12:cos(5 + 3x)fonctiondérivée

sinU(cosU)U0k:Vk:V

03°f(x) =4(x4+ 4)4

f= 4:1V

4= 4:V4avecV(x) =x4+ 4

f

0= 4:(4):V5V0avecV0(x) = 4x3

f

0(x) =16x4+ 454x3

f

0(x) =64:x3(x4+ 4)5fonctiondérivée

V nn:V n1V0k:Vk:V

02( 2 points )

1°Résoudre sur?, l"équationsin(2x) = sinx+4

sin(2x) = sinx+4

2x=x+4

[2] ou 2x=x4 [2] x=4 [2] ou 3x=34 [2] sin(2x) = sin x+4 x=4 [2] ou x=4 23
()x=4 23
xy 4 4 +23
=1112 4 23
=512

2°Résoudre l"inéquation2sin(x)p360surI= ];],puissurJ= [0 ; 2[.

2sin(x)p360()sin(x)6p3

2 surI= ];],S=i ;3 i [23 ;surJ= [0 ; 2[,S=h 0 ;3 i [23 ; 2xy 323
0 2p3 2

3( 5 points )Soitfla fonction définie sur4

;4 par la fonctionf:x7!f(x) = sin2(x)cos(2x).

1°Démontrer que la dérivéef0de la fonctionfest définie sur4

;4 par :f0(x) = sin(2x)

14sin2(x)

.Rappel :sin(2x) = 2:sin(x):cos(x)etcos(2x) = 12sin2(x) f=U2:cosVavecU(x) = sin(x)etV(x) = 2x f

0= 2:U:U0cosVU2sinVV0avecU0(x) = cos(x), etV0(x) = 2

f

0(x) = 2:sin(x):cos(x)|{z}

sin(2x)cos(2x)sin2(x)sin(2x)2 = sin(2x)cos(2x)sin(2x)2:sin2(x) = sin(2x)0 B @12:sin2(x)|{z} cos(2x)2:sin2(x)1 C A f0(x) = sin(2x)

14sin2(x)Remarque :f(x) = sin2(x)12sin2(x)= sin2(x)2sin4(x)

doncf0(x)= 2sin(x)cos(x)24sin3(x)cos(x) = 2sin(x)cos(x)14sin2(x) =sin(2x)

14sin2(x)

2°Étudier le signe def0(x)et dresser le tableau de variation def.

f

0(x) = sin(2x)

14sin2(x)

=sin(2x)

12sin(x)

1 + 2sin(x)

Pour toutx20 ;2

, on a16cos(x)61 =)cos(x) + 1>>>0 f

0(x)est donc sur l"intervalle0 ;2

du signe de l"expressioncos(x)12

Sur l"intervalleI=4

;4

Pourx2I, on a

2x22 ;2 etsin(2x)>>>0()062x62 ()06x64 ()x20 ;4

12sin(x)>>>0()sin(x)612

()x24 ;6

1 + 2sin(x)>>>0()sin(x)>12

()x26 ;4 xy 6 6 4 41
2 12 f4 p2 2 2cos2 = 0 f6 =12 2cos3 =18 f(0) = (0)2cos(0) = 0f6 =12 2cos3 =18 f4 p2 2 2cos2 = 0x sin(2x)

12sin(x)

1+2sin(x)f

0 (x)f (x) 4 60
6 4 0++ +++0 0+++ +00+0 001 81
8 001 81
8 00

3°On noteCfla courbe représentative defsur4

;4 et on noteRle point de coordonnées0 ;4

On donne sur l"annexe les points suivants :A4

; 0P8 ;8 etQ8 ;8 a)Donner l"équation de la tangenteTAàCfau pointA, d"abscisse4 . Vérifier que le pointPest surTA. Une équation de la droiteTA, est de la forme :y=f04 x4 +f4 avecf04 = sin2

14sin24

=1etf4 = 0

Équation réduite deTA:y=x+4

8 =8 +4 doncP8 ;8

2TA:y=x+4

b)Démontrer puis que la droite(RQ)d"équation :y=x+4 est tangente àCfen un pointBà préciser.

SoitR0 ;4

etQ8 ;8

Le coefficient directeur de la droite(RQ):yQyRx

QxR=8 4 8 0= +1 est égal àf04 = sin2

14sin24

= +1 etf4 = 0donc la droite(RQ)est tangente àCfau pointB 4 ; 04°a)Étudier la position relative deCfet de la droiteDd"équationy=18 D"après le tableau de variation defles points deCfd"abscisses respectives,6 et6 sont deux maxima relatifs puisquela dérivée s"annule en changeant de signeet donc pour toutx24 ;4 f(x)618 C fest toujours en dessous deD b)Tracerles droitesD,TAet(BQ)puis la courbeCfsur l"annexe.

Annexe de l"exercice3.y

8 6 6x8 8 4OPQ 1 4 BAD T AC fquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] dérivée de tan u

[PDF] dérivée arctan

[PDF] dérivée cotangente

[PDF] primitives usuelles

[PDF] primitive sin(ax+b)

[PDF] dérivée de f(ax+b) exemple

[PDF] dérivé sin 2x

[PDF] dérivée de sin(wt)

[PDF] dérivée sin u

[PDF] dérivée de cos(wt+phi)

[PDF] dérivée de cos(wt)

[PDF] coefficient directeur d'une fonction polynome du second degré

[PDF] polynome unitaire de degré 3

[PDF] polynome constant

[PDF] signe d'un polynome de degré 2