[PDF] Partie 1 : Fonction dérivée DÉRIVATION – Chapitre 2/2





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Fun With Fourier Series

18-Jul-2017 The reader may wonder how Equation (1.1) is even possible. The first few values of sin(n)/n are the dots on the graph in Figure 2. 1. 2.



calculus_cheat_sheet_derivatives.pdf

2 sin. 11. x y. x y y x. -. +. = + e . Remember. ( ). y y x. = here so products/quotients of x and y will use the product/quotient rule and derivatives of 



Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) =

dérivées dans le but de déterminer certaines limites de quotients L'aire du triangle OAD est (cos . sin )/2 ; celle du secteur OAC est /2 et enfin.





TS. Évaluation 3 -Correction 1 ( 3 points ) Déterminer les fonctions

] par la fonction f : x ?? ? f(x) = sin2(x) cos(2x). 1° Démontrer que la dérivée f de la fonction f est définie sur [??. 4. ; ?.



Partie 1 : Fonction dérivée

DÉRIVATION – Chapitre 2/2 Premières formules d'opération sur les fonctions dérivées : ... Partie 2 : Fonction dérivée d'une fonction polynôme.



Fonctions trigonométriques

x la dérivée de la fonction cosinus est donc la dérivée de la fonction sin. 2 x



Exercice : 6-1** (identifiant : etufonction-b-6-1) 6-1** () – énoncé 6-1

sin2 x. 6. y = 8x3 - 12x2. 7. y = 3x - x2 - 2 x2. 8. y = sin2 x f(x) = -?. — Dérivée : Vx ? Df f (x) = 2 sin x. 1 - 2 cos x.







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Si a et b sont deux réels quelconques alors : • la fonction x ?? ? sin(ax + b) est dérivable sur R et sa fonction dérivée est la fonction x ?? ? a cos(ax 



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Dérivées des fonctions usuelles f ' (x) = – sin x (2) La fonction x x est représentée par une droite de coefficient directeur (pente) égal à 1



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NOMBRES - Curiosités théorie et usages Dérivées - Formulaire Retour Page Principale y' = 3 sin2 (x) · cos (x) y' =– 3 sin (x) · cos2 (x) =



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DÉRIVÉES USUELLES ET DIFFÉRENTIELLES DÉRIVÉES FONDAMENTALES Fonction Dérivée 1 Dérivée 2 Différentielle -sin(x) dy = -sin(x) dx y = arcsin(x)



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(6) On peut démontrer cette derni`ere plus simplement en observant que cos(a) = sin(?/2 ? a) si bien qu'avec le théor`eme sur la dérivée des fonctions 



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Tableau des dérivées élémentaires et 1 Dérivation des fonctions élémentaires Fonction Df Dérivée f (x) = ?sin x R f(x) = tan(x) R? {? 2



[PDF] Dérivation des fonctions

Nombre dérivé Dérivabilité à gauche/à droite Interprétation graphique Fonctions à valeurs complexes 2 Dérivabilité sur un intervalle Opérations

  • Quelle est la dérivée de sin 2x ?

    y = cos xy' = - sin xy = tg xy' = 1/cos2 x = 1 + tg2 xy = cot xy' = -1/sin2 x = -(1 + cot2 x)y = a.sin (k x)y' = a.k.cos (k x)

  • Comment dériver un Sin ?

    Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur et, pour tout réel x, on a sin'(x) = cos(x) et cos'(x) = –sin(x).

  • Quelle est la dérivée de ax ?

    La dérivée de x² est 2x, donc la dérivée de 2x² est 2 x 2x = 4x.
Partie 1 : Fonction dérivée 1

DÉRIVATION - Chapitre 2/2

Partie 1 : Fonction dérivée

Définition : La fonction qui à tout réel associe le nombre dérivé de en est appelée

fonction dérivée de et se note ′. Notation : La fonction dérivée se note : ' ou Formules de dérivation des fonctions usuelles :

Fonction Dérivée

=0 =cos ′ =-sin =sin ′ =cos

Méthode : Dériver les fonctions usuelles

Vidéo https://youtu.be/kiemuwNkQhY

Calculer la dérivée de chacune des fonctions : =100 ; =-5 ; ℎ

Correction

=100→ =0 =-5→′ =-5 =4 1 2 Premières formules d'opération sur les fonctions dérivées :

Fonction Dérivée

2 Méthode : Calculer des fonctions dérivées

Vidéo https://youtu.be/uTk3T_GfwYo

Dans chaque cas, calculer la fonction dérivée de la fonction :

1)

=3 2) +5 3) =5

4)

=3

Correction

1) ′

=3

2)

5 =2+0=2

3) ′()=5

′=5×3 =15

4) ′

3

=3×2+ =6- Partie 2 : Fonction dérivée d'une fonction polynôme

1) Fonction polynôme de degré 2

Soit une fonction polynôme du second degré définie par =5 -3+2. Pour déterminer la fonction dérivée ', on applique la technique suivante : Définition : Soit une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par On appelle fonction dérivée de , notée ', la fonction définie sur ℝ par =2+. Méthode : Déterminer la fonction dérivée d'une fonction polynôme du second degré

Vidéo https://youtu.be/5WDIrv_bEYE

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a) =4 -6+1 b) -2+6 c) ℎ =-3 +2+8 d) ++1 e) =5 +5 f) +7 3

Correction

a) =4 -6+1 donc ′()=2×4-6=8-6 b) -2+6 donc ()=2×-2=2-2 c) ℎ =-3 +2+8 donc ℎ′ =2× -3 +2=-6+2 d) +1+1 donc ′ =2+1 e) =5 +5 donc ′ =2×5=10 f) +7 donc ′ =-2+7

2) Fonction polynôme de degré 3

Soit une fonction polynôme du troisième degré définie par : =2 -3 +5-1. Pour déterminer la fonction dérivée ', on applique la technique suivante :

Définition : Soit une fonction polynôme du troisième degré définie sur ℝ par

On appelle fonction dérivée de , notée ', la fonction définie sur ℝ par =3 +2+.

Méthode : Déterminer la fonction dérivée d'une fonction polynôme du troisième degré

Vidéo https://youtu.be/1fOGueiO_zk

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a) -3 +2-5 b) =5 +2 +2-7 c) ℎ =-2 -3 -7+8 d) +1 e) =4 +1 f) +7

Correction

a) -3 +2-5 donc ′ =3× -2×3+2=3 -6+2 b) =5 +2 +2-7 donc ′ =3×5 +2×2+2=15 +4+2 4 c) ℎ =-2 -3 -7+8 donc ℎ ()=3× -2 -2×3-7=-6 -6-7 d) +1 donc ′ =-3 +2×=-3 +2 e) =4 +1 donc ()=3×4 =12 f) +7 donc ′ =-3 +7 Partie 3 : Opérations sur les fonctions dérivées

1) Produit et quotient de fonctions dérivées :

Méthode : Calculer les dérivées de sommes, produits et quotients de fonctions

Vidéo https://youtu.be/1fOGueiO_zk

Vidéo https://youtu.be/OMsZNNIIdrw

Vidéo https://youtu.be/jOuC7aq3YkM

Vidéo https://youtu.be/-MfEczGz_6Y

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a)

3

+4

5-1

b) c) ℎ

Correction

a) avec =3 +4 → ()=6+4 =5-1 →′ =5

Donc : ′

6+4

5-1

3

+4 ×5 =30 -6+20-4+15 +20 =45 +34-4

Fonction Dérivée

1 5 b) 1 avec =2 +5 → ()=4+5

Donc : ′

1

1#)

c) ℎ avec =6-5 → ()=6 -2-1 → =2-2

Donc : ℎ′

1 #)#)-1#) *$)#*$4#-$4 *$4#-$,

2) Dérivées de fonctions composées

Fonction Dérivée

cos -sin sin cos Méthode : Calculer les dérivées de fonctions composées

Vidéo https://youtu.be/Py4f2YAwebA

Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

1)

=3cos

2+

2)

=-4sin-3- O

Correction

1)

=3cos

2+

2)

=-4sin-3- O donc : donc : =-3×2sin

2+

=-4× -3 cos-3- O =-6sin

2+

=12cos-3- O 6 Partie 4 : Application à l'étude des variations d'une fonction

Théorème :

- Si′()≥0, alors est croissante. Méthode : Étudier les variations d'une fonction polynôme du second degré

Vidéo https://youtu.be/EXTobPZzORo

Vidéo https://youtu.be/zxyKLqnlMIk

Soit la fonction définie sur ℝ par =2 -8+1. a) Calculer la fonction dérivée de . b) Déterminer le signe de ' en fonction de x. c) Dresser le tableau de variations de .

Correction

a) =2×2-8=4-8. b) Étude du signe de la dérivée :

On commence par résoudre l'équation

()=0.

Soit : 4-8=0

4=8

5 =2. La fonction ' est une fonction affine représentée par une droite dont le coefficient directeur 4 est positif. Donc ' est croissante. Elle est donc d'abord négative (avant =2) puis positive (après =2). c) On dresse le tableau de variations en appliquant le théorème : 2 =2×2 -8×2+1=-7. -∞ 2 +∞ -7 7

Partie 5 : Extremum d'une fonction

La fonction admet un maximum au point

où la dérivée s'annule et change de signe.

La fonction admet un minimum au point où

la dérivée s'annule et change de signe. Théorème : Soit une fonction dérivable sur un intervalle ouvert .

Si la dérivée ′ s'annule et change de signe en un réel alors admet un extremum en

Méthode : Déterminer un extremum d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/zxyKLqnlMIk

Soit la fonction définie sur ℝ par =5 -10+1. a) Calculer la fonction dérivée ' de . b) Déterminer le signe de ' en fonction de . c) Dresser le tableau de variations de .

d) En déduire que la fonction admet un extremum sur ℝ. On précisera la valeur où il est

atteint.

Correction

a) ′ =10-10 b) Étude du signe de la dérivée :

On commence par résoudre l'équation

()=0.

Soit : 10-10=0

10=10

$4 $4 =1. 8

La fonction ' est une fonction affine représentée par une droite dont le coefficient directeur

10 est positif.

' est croissante. Elle est donc d'abord négative (avant =1) puis positive (après =1).

c) On dresse alors le tableau de variations : 1 =5×1 -10×1+1=-4 d) On lit dans le tableau de variations que la fonction admet un minimum égal à -4 en = 1. -∞ 1 +∞ -4quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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