Polynômes et nombres entiers
4 Apr 2015 On appelle ad le coefficient dominant du polynôme et a0 le coefficient constant. Si ad = 1
Cours de mathématiques - Exo7
Enfin P = Q si et seulement si a = 0 b = ?
A 7. POLYNÔMES
DEF : - les polynômes de degré 0 et le polynôme nul sont dits constants. - P est appelé un monôme si degP = valP (un seul coefficient non nul).
POLYNÔMES
Théorème (Identification des coefficients) Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux. Définition (Polynôme constant polynôme
Chapitre 12 : Polynômes
7 Feb 2014 Un polynôme à coefficients dans K est un objet mathématique formel s'écrivant ... le polynôme constant 1.
Chapitre 3 Les polynômes
Les éléments ci ? K s'appellent les coefficients du polynôme P. – Le coefficient c0 (respectivement cd) s'appelle le coefficient constant (respectivement
Chapitre 11 : Polynômes I. K[X]
Le polynôme nul est le polynôme P = 0 dont tous les coefficients sont nuls. Un polynôme constant est un polynôme dont seul le premier coefficient peut-être
Chapitre 3 - Racines dun polynôme
Théor`eme 3.11 (d'Alembert-Gauss) Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une racine complexe. Corollaire 3.12 Les polynômes irréductibles dans C[X]
Polynômes
4.2 Ordre de multiplicité des racines d'un polynôme 17. 5 Factorisation On dit que P est un polynôme constant si deg(P) ? 0. On identifiera l'ensemble ...
Chapitre 2 - Arithmétique des polynômes
Tout polynôme divise 0 mais 0 ne divise que le polynôme nul. • 1 (et d'une mani`ere générale tout polynôme constant non nul) divise tous les polynômes.
[PDF] Polynômes - Exo7 - Cours de mathématiques
– La multiplication par un scalaire ?·P équivaut à multiplier le polynôme constant ? par le polynôme P L'addition et la multiplication se comportent sans
[PDF] Chapitre 3 Les polynômes - Institut de Mathématiques de Toulouse
Les polynômes constant (non nuls) divisent tous les polynômes Deux polynômes A et B qui n'ont que les polynômes constants (non nuls) comme diviseurs communs
[PDF] Polynômes
On identifie un élément a de K au polynôme constant (codé (a 0 0 )) La multiplication par les éléments de K munit alors K[X] d'une structure d'espace
[PDF] POLYNÔMES - Christophe Bertault
Théorème (Identification des coefficients) Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux Définition (Polynôme constant polynôme
[PDF] Chapitre 12 : Polynômes - Normale Sup
7 fév 2014 · Ce produit de polynômes est associatif commutatif admet pour élément neutre le polynôme constant 1 De plus le produit est distributif par
[PDF] Feuille 9 : Polynômes
Encore une fois on trouve que tous et seuls les polynômes qui vérifient l'égalité sont les polynômes constants : il existe a ? R tel que P(X) = a Exercice 9-
[PDF] Polynômes
R 1 Pour tout n ? N? le polynôme dérivé de Xn est donc nXn-1 R 2 Le polynôme dérivé d'un polynôme constant (éventuellement nul) est le polynôme nul
[PDF] Polynômes - CPGE Brizeux
On dit que P est un polynôme constant lorsque • Pour n ? N on note Kn[X] l'ensemble des polynômes dont le degré est inférieur ou égal
[PDF] Polynômes - Xiffr
Soit P ? C[X] un polynôme non constant dont les racines complexes sont de parties imaginaires positives ou nulles Montrer que le polynôme P + P est scindé
[PDF] 13 Polynômes - LAMA - Univ Savoie
Effectuons la division euclidienne de P par (X ? a) : P = (X ? a)Q + R avec deg R < 1 Le polynôme R est donc constant En remplaçant X par a on obtient R =
Comment montrer qu'un polynôme est constant ?
– Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ? K est appelé un polynôme constant. Si a0 = 0, son degré est 0.Comment montrer qu'un polynôme est de degré n ?
On suppose que pour tout polynôme B tel que deg(B) < n (n ? N? fixé) et pour tout polynôme A non nul, il existe Q, R ? K[X] tels que B = AQ + R avec deg(R) < deg(A). Soit B un polynôme de degré n. Si deg(A) > n = deg(B) alors l'écriture B = A × 0 + B permet de conclure.Quand un polynôme est nul ?
Corollaire 1 : Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.- Et un polynôme est divisible par un autre polynôme si le quotient du premier par le deuxième est un polynôme.
![[PDF] Chapitre 3 Les polynômes - Institut de Mathématiques de Toulouse [PDF] Chapitre 3 Les polynômes - Institut de Mathématiques de Toulouse](https://pdfprof.com/Listes/17/57691-17polynomes.pdf.pdf.jpg)
Chapitre 12 : Polynômes
PTSI B Lycée Eiffel
7 février 2014
Monsieur et Madame Ôme ont une fille, comment s"appelle-t-elle?Il faut vraiment que je donne la réponse?
Il s"embrouillait dans les polynômes, se disculpa le professeur de mathématiques, et quand un élève s"embrouille dans les polynômes, que peut-on faire?Antonio Lobo Antunes.
Introduction
Avant de s"attaquer vraiment à l"algèbre linéaire, ce chapître servira d"introduction par l"exemple
aux concepts plus généraux développés ensuite dans toute leur généralité sur les espaces vectoriels.
Les polynômes constituent en effet un excellent exemple d"objet mathématique formel, mais aveclequel on peut faire des calculs, par le biais d"opérations simples comme la somme, le produit ou la
composition. C"est ce genre de notions (opérations " utiles » sur un ensemble) que nous essaierons de
généraliser ensuite. Ce chapître sera également l"occasion de croiser pour la première fois une formule
d"importance capitale en analyse, et que nous retrouverons sous d"autres formes à plusieurs reprises
ensuite : la formule de Taylor.Objectifs du chapitre :
savoir factoriser ou effectuer une division euclidienne sur des polynômes à coefficients réels ou
complexes. comprendre ce que signifie la formule de Taylor d"un point de vue analytique.1 L"ensembleK[X]
Dans toute ce chapître,Kdésigne soit l"ensembleRdes nombres réels ou l"ensembleCdesnombres complexes. Pour les plus curieux, toute la construction effectuée ici peut être généralisée à
un corpsKquelconque, c"est-à-dire à un ensemble munis de deux opérations de somme et de produit
" sympathiques » (associatives, commutatives, distributibe l"une par rapport à l"autre, admettant
chacune un élément neutre et telles que tout élément ait un opposé et un inverse, sauf0en ce qui
concerne l"inverse). 1Définition 1.Unpolynôme à coefficients dansKest un objet mathématique formel s"écrivant
P=k=nX
k=0akXk, où(a0;a1;:::;an)2Kn+1, etXest une indéterminée destinée à être remplacée par
n"importe quel objet pour lequel le calcul dePpeut avoir un sens (donc en gros des éléments qu"on
sait élever à une certaine puissance et multiplier par des éléments deK, par exemple des matrices,
des suites ou des fonctions). Définition 2.On noteK[X]l"ensemble de tous les polynômes à coefficients dansK.Définition 3.SoitP=k=nX
k=0a kXkun polynôme, avecan6= 0. Les nombresaksont appeléscoef- ficientsdu polynômeP, l"entierndegrédeP(souvent notéd°(P)), le coefficient correspondant a nest lecoefficient dominantdeP. Si ce coefficient est égal à1, on dit quePest un polynôme unitaire. Remarque1.Par convention, le polynôme nul a pour degré1. C"est relativement cohérent avec les propriétés énoncées ci-dessous.Définition 4.SoientP=nX
k=0a kXketQ=pX k=0b pXpdeux polynômes dansK[X], leursommeest le polynômeP+Q=max(n;p)X k=0(ak+bk)Xk. Proposition 1.Cette somme de polynômes est associative ((P+Q)+R=P+(Q+R)), commutative (P+Q=Q+P), admet pour élément neutre le polynôme nul (noté0) dont tous les coefficients sont nuls, et tout polynômeP=nX k=0a kXkadmet un opposé notéPdéfini parP=nX k=0(ak)Xk, et vérifiantP+ (P) = 0.Démonstration.L"associativité découle trivialement de celle de l"addition des réels (ou des complexes)
en regardant ce qui se passe degré par degré. De même, la commutativité est évidente. À vrai dire,
le reste aussi!Définition 5.SoientP=nX k=0a kXketQ=pX k=0b pXpdeux polynômes dansK[X], leurproduitest le polynômePQ=n+pX k=0 kX i=0a ibki! X k. Proposition 2.Ce produit de polynômes est associatif, commutatif, admet pour élément neutre le polynôme constant1. De plus, le produit est distributif par rapport à la somme :P(Q+R) =PQ+PR.
Démonstration.Ces résultats sont nettement moins évidents à prouver que pour la somme. La com-
mutativité s"obtient assez facilement en effectuant le changement d"indicej=kidans la sommeintérieure de la définition du produit. La distributivité est également assez facile en découpant sim-
plement la somme définissantP(Q+R)en deux morceaux. Le fait que1soit élément neutre estfacile. Par contre, l"associativité est franchement pénible, puisqu"il faut des triples sommes pour dé-
crire le produitP(QR). Contentons-nous d"écrire son coefficient de degrék(en notantai,bjetcp les coefficients respectifs des polynômesP,QetR) : il vautpX i=0a ikiX j=0b jckij. On peut l"écrire plus simplement sous la forme X i+j+p=ka ibjck. Cette formule est complètement symétrique par rapport 2aux trois polynômes, on obtiendra exactement la même pour(PQ)R, ce qui prouve l"associativité
du produit.Remarque2.Les propriétés énoncées pour la somme de polynômes et pour le cas particulier du
produit que sont les produits de polynômes par des constantes font deK[X]ce qu"on appelle unespace vectoriel surK. Vous aurez bien sûr droit à une définition complète (et affreuse) dans un
chapître ultérieur, mais l"idée est là : un produit par des constantes et une addition qui vérifient
quelques propriétés élémentaires naturelles. Proposition 3.SoientPetQdeux polynômes, alorsd°(P+Q)6max(d°(P);d°(Q)), etd°(PQ) = d°(P) +d°(Q).Démonstration.Cela découle immédiatement des définitions données des deux opérations. L"inagalité
peut être stricte pour le degré de la somme, dans le cas oùPetQsont de même degré mais ont
un coefficient dominant opposé. Par contre, c"est toujours une égalité pour le produit, le coefficient
dominant du produit étant le produit des coefficients dominants dePetQ.Remarque3.Les seuls éléments inversibles deK[X]sont les polynômes constants (non nuls).
Définition 6.Pour tout entiern2N, on noteKn[X]l"ensemble des polynômes de degré inférieur
ou égal àn. Remarque4.Ces ensemblesKn[X]sont stables par somme (contrairement à l"ensemble des poly-nômes de degré exactementn), ce qui est une des conditions pour en faire des sous-espaces vectoriels
deK[X].Définition 7.SoitP=nX
k=0a kXketQdeux polynômes, lepolynôme composédePetQest le polynômePQ=nX k=0a kQk. Exemple :SiP=X2+ 1etQ= 2X+ 3, alorsPQ= (2X+ 3)2+ 1 = 4X2+ 12X+ 10, alors queQP= 2(X2+ 1) + 3 = 2X2+ 5. Proposition 4.SiPetQsont deux polynômes,d°(PQ) =d°(P)d°(Q).Démonstration.En effet,PQ=nX
k=0a k(pX i=0b iXi)k, dont le terme dominant vaut (si on développe tout brutalement à coups de formules du binôme de Newton)anbnpXin.2 Arithmétique dansK[X].2.1 Division euclidienne.
Définition 8.Un polynômePestdivisiblepar un polynômeQs"il existe un troisième polonôme
Atel queP=AR.
Remarque5.Cette relation n"est pas une relation d"ordre surK[X], elle est réflexive et transitivemais pas antisymétrique. Deux polynômes qui se divisent l"un l"autre sont simplement égaux à une
constante multiplicative près. Dans ce cas, on dit que les deux polynômes sontassociés.Théorème 1.Division euclidienne dansK[X].
SoientA;B2K[X]2, alors il existe un unique couple(Q;R)2K[X]2tel queA=BQ+Ret d°(R)< d°(B). Le polynômeQest appeléquotientde la division deAparB, et le polynômeR restede cette même division. 3Démonstration.La preuve de l"existence de la division peut se faire par récurrence sur le degré
deA, le polynômeBrestant fixé. L"existencce est triviale sid°(A)< d°(B)puisqu"on peut écrire
A= 0B+A, ce qui sert d"initialisation. Supposons désormais l"existence de la division prouvée pour
tout polynôme de degrén, et choisissonsAun polynôme de degrén+ 1. NotonsanXn+1son terme dominant, etbpXpcelui deB, alorsC=Aanb pXn+1pBest un polynôme de degrén(en effet,on a soustrait àAun polynôme de même degré et de même coefficient dominant. Par hypothèse de
récurrence, il existe donc des polynômesQetRtels queC=BQ+R, avecd°(R)< d°(B). Mais alorsA= Q+anb pXn+1p B+R, et commeRn"a pas changé de degré, on vient d"écrire une division euclidienne deAparB. Pour l"unicité, on suppose évidemment qu"il y a deux couples possibles :BQ+R=BQ0+R0, alorsB(QQ0) =RR0, avec par hypothèse et règles de calculs sur le degré d"une somme d°(RR0)< d°(B). Or,d°(B(QQ0))>d°(B), sauf siQQ0= 0, soitQ=Q0. On en déduit queRR0= 0, donc les deux couples sont égaux.Exemple :Pour effectuer en pratique une division euclidienne de polynômes, on procède comme
pour les entiers, par exemple pour diviserX43X3+ 5X2+X3parX22X+ 1: X43X3+ 5X2+X3X
22X+ 1(X42X3+X2)X
2X+ 2X3+ 4X2+X3(X3+ 2X2X)2X2+ 2X3(2X24X+ 2)6X5Conclusion :X43X3+ 5X2+X3 = (X2X+ 2)(X22X+ 1) + 6X5. Cette méthode de
calcul est une alternative à l"identification lorsqu"on cherche à factoriser un polynôme, par exemple
après en avoir trouvé une racine évidente.2.2 Racines et factorisation.
Définition 9.SoitP2K[X]etx2K. On dit quexest uneracinedu polynômePsiP(x) = 0.Remarque6.On identifie ici le polynôme et la fonction polynômiale associée, comme ce sera le cas
dans toute ce paragraphe. Il y a tout de même une certaine ambiguïté sur le terme racine dans le cas
d"un polynôme à coefficients réels, qui peut également être vu comme un cas particulier de polynôme
à coefficients complexes. Si le besoin s"en fait sortir, on explicitera en parlant de racines réelles ou
de racines complexes du polynôme. Proposition 5.Un réelaest racine du polynômePsi et seulement siXadiviseP.Démonstration.C"est une conséquence de la division euclidienne. Si on effectue la division dePpar
Xa, on sait que le reste sera de degré strictement inférieur à celui deXa, donc sera une constante.
Autrement dit,9k2R,P=Q(Xa) +k. On a doncP(a) = 0,Q(a)(aa) +k= 0,k= 0. Autrement dit,aest une racine dePlorsque le reste de la division dePparXaest nul, doncquandPest divisible parXa.Exemple :on a déjà fréquemment utilisé cette propriété pour factoriser des polynômes de degré
3possédant une récine " évidente ». Soit par exempleP= 2X33X2+ 5X4. On constate
que1est racine évidente deP:P(1) = 23 + 54 = 0, doncPest factorisable parX1: P= (X1)(aX2+bX+c) =aX3+(ba)X2+(cb)Xc. Par identification, on obtienta= 2; ba=3;cb= 5etc=4, donca= 2;b=1etc= 4, soitP= (X1)(2X2X+ 4). Ce dernier facteur ayant un discriminant négatif,Pn"admet pas d"autre racine réelle que1. 4 Corollaire 1.Un polynôme admeta1,a2, ...,akcomme racines distinctes si et seulement si il est divisible par kY i=1(Xai).Démonstration.On peut procéder par récurrence sur le nombre de racines distinctes. L"initialisation
correspond à la propriété précédente. Si on suppose qu"on polynômePàkracines distinctes est
toujours factorisable comme décrit, en ajoutant une racineak+1, on pourra commencer par écrire P=kY i=1(Xai)Q, et commeP(ai+1) = 0, on a nécessairementQ(ai+1) = 0(en effet, lesfacteurs précédentsai+1aine peuvent s"annuler puisque les racines sont supposées distinctes).
En appliquant à nouveau notre propriété, on peut donc écrireQ= (Xak+1)R, ce qui donne lafactorisation souhaitée pourP, et achève la récurrence.Corollaire 2.Un polynôme de degrénadmet au maximumnracines distinctes.
Démonstration.En effet, s"il en avait plus, on pourrait l"écrire sous la formen+1Y k=1(Xai)Q, quiest de degré au moinsn+ 1. Il y a là une contradiction flagrante.Corollaire 3.Un polynôme admettant une infinité de racines est nécessairement le polynôme nul.
Démonstration.En effet, par contraposée, un polynôme non nul a un certain degrén, et ne peut
donc pas avoir plus denracines.Corollaire 4.Principe d"identification des coefficients. Si deux polynômesPetQcorrespondent à des fonctions polynômiales identiques, alorsP=Q.Démonstration.Dans ce cas,PQest un polynôme admettant tous les réels (ou tous les complexes)
comme racines, ce qui en fait une grosse infinité, doncPQ= 0. C"est bien ce principe qu"on utilise
pour identifier les coefficients de deux polynômes correspondant à des expressions polynômiales
égales.Définition 10.SoitPun polynôme etaune racine deP. On dit queaest une racined"ordre de
multipliciték2Nsi(Xa)kdiviseP, mais(Xa)k+1ne divise pasP.Définition 11.SoitP=k=nX
k=0a kXk2K[X]. Lepolynôme dérivé dePest le polynômeP0= k=nX k=1kakXk1. On notera égalementP00le polynôme de dérivé deP0, etP(n)le polynôme dérivén
fois du polynômeP.Remarque7.Cette dérivation, bien que définie de façon formelle, coïncide évidemment avec la dé-
rivation usuelle sur les fonctions polynômiales, et de ce fait vérifie toutes les formules de dérivation
usuelle. En particulier celle rappelée ci-dessous :Proposition 6.Formule de Leibniz.
SoientPetQdeux polynômes, alors8n2N,(PQ)(n)=k=nX k=0 n k P (k)Q(nk). Proposition 7.Une racineaest d"ordre de multiplicitékpourPsi et seulement siP(a) =P0(a) = =P(k1)(a) = 0etP(k)(a)6= 0. 5Démonstration.Une façon de prouver ce résultat est de prouver le lemme suivant : siaest racine
d"ordrekdePalorsaest racine d"ordrek1deP0. En effet, siP= (Xa)kQ, avecQ(a)6= 0alors P0=k(Xa)k1Q+(Xa)kQ0= (Xa)k1(kQ+(Xa)Q0), aveckQ(a)+(aa)Q0(a) =kQ(a)6= 0.
Par une récurrence facile, une racine d"ordreksera donc racine de tous les polynômes dérivés jusqu"au
k1-ème, mais pas duk-ème.Remarque8.On emploie souvent plus simplement le terme d"ordre ou celui de multiplicité à la place
d"ordre de multiplicité. Exemple :Considérons le polynômeP=X42X319X2+68X60et constatons ensemble que2 est une racine double deP. En effet, on aP(2) = 1628194+68260 = 161676+13660 =0; de plus,P0= 4X36X238X+68, doncP0(2) = 4864382+68 = 322476+68 = 0.
on peut en déduire, via la proposition précédente, quePest factorisable par(X2)2. Effectuons
une petite division euclidienne pour obtenir cette factorisation : Xquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] fonction polynome de degré 3 discriminant
[PDF] implicit derivative calculator
[PDF] dérivée implicite exemple
[PDF] fonction implicite exercice corrigé
[PDF] dérivation implicite mathématiques
[PDF] théorème des fonctions implicites démonstration
[PDF] fonction implicite 3 variables
[PDF] formule de leibniz pi démonstration
[PDF] dérivée nième d'une fonction
[PDF] démonstration (uv)'=u'v+uv'
[PDF] dérivée logarithmique exemple
[PDF] fonctions de plusieurs variables exo7
[PDF] dérivée partielle exercice corrigé
[PDF] dérivée partielle d'ordre 2