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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

POLYNÔMES

Dans tout ce chapitre,?est l"un des corps?ou?. La plupart des résultats présentés demeurent vrais pour uncorps?

quelconque —?par exemple — mais nous ne nous en préoccuperons pas.

1 CONSTRUCTION DES POLYNÔMES

Jusqu"ici, vous n"avez jamais distingué les " polynômes » des " fonctions polynomiales », qui sont pour vous toutes les

fonctions sur?de la formex?-→anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0avecn??eta0,...,an??. Nous allons voir dans ce

chapitre qu"en faitNON,LES"POLYNÔMES»NE SONT PAS DES FONCTIONS.

Notons par exemplePle polynôme 3X2+4X+1. CalculerP(5), c"est transformer 5 en un autre nombre conformément

à certaines opérations élémentaires — puissances, multiplication par un réel et addition. Or il y a tout un tas de mondes

mathématiques dans lesquels on sait calculer des puissances, multiplier par un réel et additionner les objets :

— le corps?bien sûr — d"où la possibilité de calculerP(5), — l"anneau?n(?)— d"où la possibilité de calculerP(A)pour toutA? ?n(?),

— l"anneau??des fonctions de?dans?— d"où la possibilité de noterP(exp)la fonctionx?-→3e2x+4ex+1.

En fait, dans tout anneauAdans lequel on sait multiplier par un réel, on a bien envie de poserP(a) =3a2+4a+1A

pour touta?A. On en a bien envie, certes, mais il faut dans ce cas renoncer àl"idée qu"un polynôme est une fonction, car

laFONCTIONx?-→3x2+4x+1 est définie sur?, pas sur?n(?)ou??. Finalement, on ne sait toujours pas ce qu"est le

polynômeP=3X2+4X+1, mais ce n"est pas la gentille fonctionxf?-→3x2+4x+1 en tout cas. y=f(x)

Le piège, c"est que jusqu"ici, quand on vous définissait une fonction polynomiale, on vous donnait

aussi ses coefficients. Or, quand on connaît la suite(1,4,3)des coefficients def, on peut facilement

calculer toutes ses valeurs, par exemplef(5) =3×52+4×5+1=96, mais quand on connaîtfcomme

FONCTION,C"EST-À-DIRE PAR LA DONNÉE COMPLÈTE DE SES VALEURS, peut-on déterminer ses coeffi-

cients? Vous pouvez tenter l"expérience sur la figure ci-contre, vous ne les " verrez » pas directement.

Conclusion : l"essentiel, ce sont les coefficients, pas le fait qu"on se donne une fonction. L"essentiel du

polynôme 3X2+4X+1 n"est pas la nature de sonXmais la liste(1,4,3)de ses coefficients degré par degré. Vous voilà maintenant prêts pour la définition des polynômes.

Définition(Polynôme à une indéterminée à coefficients dans?)On appellepolynôme(à une indéterminée)à

coefficients dans?toute suitepresque nulled"éléments de?, i.e. toute suite(ak)k??d"éléments de?dont tous les

éléments sont nuls à partir d"un certain rang. Pour toutk??, le coefficientakest appelé lecoefficient de degré kdu

polynôme.

L"ensemble des polynômes à coefficients dans?est noté?[X]si on choisit de noterXl"indéterminée.

Conformément à cette définition, un polynôme est uneSUITEde la forme(a0,a1,...,an,0,0,0,...)à coefficients dans?.

Nous pourrons bientôtNOTERanXn+an-1Xn-1+...+a1X+a0une telle suite, mais pas tout de suite. Gardez tout de même

cet objectif en tête, il vous aidera à comprendre les prochaines définitions.

Quoi qu"on pense de son abstraction, la définition précédente rend au moins trivial le résultat suivant, si l"on n"oubliepas

ce que c"est qu"une suite. Le résultat analogue sur lesFONCTIONSpolynomiales est autrement délicat!

Théorème(Identification des coefficients)Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont

égaux.

Définition(Polynôme constant, polynôme nul)On appellepolynôme constantde?[X]tout polynôme(λ,0,0,...)

avecλ??. Un tel polynôme sera simplement notéλ. Avec cette notation, le polynôme 0 est appelé lepolynôme nul. 1

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Définition(Degré d"unpolynôme, coefficientdominant, polynôme unitaire)SoitP= (ak)k????[X]unpolynôme

NON NUL. Le plus grand indicekpour lequelak?=0 est appelé ledegré de Pet noté deg(P).

Le coefficient de degré deg(P)dePest appelé soncoefficient dominant. S"il est égal à 1, on dit quePestunitaire.

Par convention, le polynôme nul est de degré-∞: deg(0) =-∞.

Exemple7X4-X3+2X2-3X-5 a pour degré 4 et coefficient dominant 7, tandis queX3-4X2+3X+5 est unitaire.

À présent, les polynômes étant des suites :?[X]???. Mais comme?est un groupe additif,??est un groupe pour

la loi d"addition définie par(uk)k??+ (vk)k??= (uk+vk)k??pour tous(uk)k??,(vk)k?????. Montrons que?[X]est un

sous-groupe de??. Tout d"abord(0)n????[X]. Ensuite, pour tousP= (ak)k??,Q= (bk)k????[X], nous pouvons nous

donner un rangNà partir duquelak=bk=0. Alorsak-bk=0 pour toutk?N, doncP-Q??[X].

Bref, nous savons maintenant additionner les polynômes, mais nous voulons aussi pouvoir les multiplier entre eux. Nous

serions bien contents de pouvoir écrire ceci :" n? i=0a iXi" n? j=0b jXj" =2n? k=0 a0bk+...+akb0Xk=2n? k=0" k? i=0a ibk-i" X k,

calcul au sein duquel on a simplement regroupé les termes degré par degré. Il ne nous reste plus qu"à forcer le destin.

Définition(Anneau?[X])Pour tousP= (ak)k??,Q= (bk)k????[X], on appelleproduit de P et Qet on noteP×Q

ouPQla suite" k? i=0a ibk-i" k??=a0bk+...+akb0 k??, qui se trouve être un polynôme.

Le triplet

?[X],+,×est alors un anneau commutatif d"éléments neutres le polynôme nul 0 pour+et le polynôme

constant 1 pour×. En outre, pour tousP= (ak)k????[X]etλ??,λPest le polynôme(λak)k??. DémonstrationFixons une fois pour toutesP= (ak)k??,Q= (bk)k??,R= (ck)k????[X].

•Loi interne :Il s"agit de montrer que le produit de deux polynômes est bienun polynôme, i.e. une suite

PRESQUE NULLE. NotonsNun rang à partir duquelak=bk=0. Or pour toutk?2N: k? i=0a ibk-i=N-1? i=0a ibk-i???? =0 car k-i>k-N?N+ k i=Na i???? =0b k-i=0, donc en effetPQ??[X]. •Multiplication par un scalaire :Soitλ??. Pour toutk??, le coefficient de degrékdeλPvaut λak+0.ak-1+...+0.a0=λak, doncλP= (λak)k??. En particulier : 1×P=P.

•Commutativité de×:Pour toutk??:k

i=0a ibk-ij=k-i=k j=0b jak-j, doncPQ=QP. •Associativité de×:Pour toutk??, le coefficient de degrékde(PQ)Rest : k? i=0" i? j=0a jbi-j" c k-i=?

0?j?i?ka

jbi-jck-i=k j=0a j" k? i=jb i-jck-i" l=i-j=k j=0a j" k-j? l=0b lc(k-j)-l" donc est égal au coefficient de degrékdeP(QR), donc(PQ)R=P(QR). •Distributivité de×sur+:Pour toutk??, le coefficient de degrékdeP(Q+R)est : k? i=0a i(bk-i+ck-i) =k i=0a ibk-i+k i=0a ick-i, donc est égal au coefficient de degrékde(PQ)+(PR), doncP(Q+R) = (PQ)+(PR).

Et voilà, le temps de la notation polynomiale est enfin arrivé! Grâce au théorème suivant, les polynômes seront désormais

toujours notés comme des polynômes au sens intuitif du terme. Je n"irai pas jusqu"à vous conseiller d"oublier la construction

que nous venons d"effectuer — et qui n"est pas terminée — maisnous n"aurons bientôt plus du tout besoin de voir les

polynômes comme des suites presque nulles. Ce point de vue nous a seulement permis de fonder proprement le monde

des polynômesformels— on les qualifie de " formels » pour les distinguer des fonctions polynomiales, sur lesquelles nous

reviendrons plus tard. 2

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Théorème(Notation polynomiale)Dans?[X], on choisit de noterXle polynôme(0,1,0,0,...).

•Pour toutk??:Xk= (0,...,0,1,0,0,...), polynôme dans lequel le 1 est en position " degrék».

1= (1,0,0,...),X= (0,1,0,0,...),X2= (0,0,1,0,0,...),X3= (0,0,0,1,0,0,...)...

•Pour toutP= (ak)k????[X]non nul de degrén:P=n k=0a kXk. On peut aussi écrire queP=+∞? k=0a kXk

et cette écriture est unique. Une telle somme estFINIEcontrairement aux apparences car la suite(ak)k??est

presque nulle. Cette notation " infinie » rend de précieux services de rédaction. DémonstrationL"égalitéXk= (0,...,0,1,0,0,...)pour toutk??se démontre par récurrence. ?Attention !XN"EST PAS UN NOMBRE!Ôtez-vous une fois pour toutes cette idée de la tête.

Le résultat suivant ne nous est d"aucune utilité pour le moment, mais nous l"utiliserons plus tard dans nos pérégrinations

probabilistes et c"est pile poil le bon moment pour le démontrer. Théorème(Formule de Vandermonde)Pour toutn??:n k=0! n k! 2 =!2n n! DémonstrationL"égalité(X+1)2n= (X+1)n(X+1)ns"écrit aussi :2n? k=0! 2n k! X k=n i=0! n i! X i×n j=0! n j! X j.

À gauche, le coefficient de degrénvaut!2n

n! , et il vautn i=0! n i!! n n-i! =n i=0! n i! 2

à droite par définition du

produit de deux polynômes. Théorème(Addition, multiplication et degré)SoientP,Q??[X]etλ??. (i)Degré d"une somme :deg(P+Q)?maxdeg(P),deg(Q). Cette inégalité est une égalité notamment quand deg(P)>deg(Q)ou deg(Q)>deg(P). (ii)Degré d"un produit :deg(PQ) =deg(P)+deg(Q). En particulier, pourλ?=0 : deg(λP) =deg(P).

DémonstrationLe résultat est évident lorsquePouQest nul. Supposons-les donc tous deux non nuls et notons

mle degré dePetncelui deQ, ainsi queP= (ak)k??,Q= (bk)k??etPQ= (ck)k??. (i) Pour toutk>maxm,n:ak+bk=0, donc deg(P+Q)?maxm,n=maxdeg(P),deg(Q). (ii) Pour commencer :cm+n=m+n? i=0a ibm+n-i=m-1? i=0a i=0? b m+n-i+ambn+m+n? i=m+1=0???? a ibm+n-i=ambn, donc commeam?=0 etbn?=0, forcémentcm+n?=0, donc deg(PQ)?m+n. Inversement, pour toutk>m+n: c k=m i=0a ibk-i???? =0+k i=m+1a i???? =0b k-i=0, donc deg(PQ)?m+n. Théorème(Intégrité de?[X])L"anneau?[X]est intègre :?P,Q??[X],

PQ=0=?P=0 ouQ=0

DémonstrationPour commencer,?[X]est un anneau non nul. Soient ensuiteP,Q??[X]. SiPQ=0 : deg(P)+deg(Q) =deg(PQ) =-∞, donc deg(P)ou deg(Q)vaut-∞, autrement ditPouQest nul.

Ce résultat serait nettement plus difficile à prouver si on travaillait avec des fonctions polynomiales et non avec des

polynômes. En effet, siP(x)Q(x) =0 pour toutx??, alors en tout point l"une des fonctionsPetQs"annule, mais qui nous

dit que l"une des deux s"annule tout le temps? Rien a priori. 3

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Définition-théorème(Composition des polynômes)

•Composée :SoientP=+∞?

k=0a kXk,Q??[X]. On appellecomposée de Q suivie de Ple polynômeP◦Q=+∞? k=0a kQk. •Degré d"une composée :SiQn"est pas constant : deg(P◦Q) =deg(P)×deg(Q). DémonstrationOn supposeQnon constant et on posem=deg(P). Par produit : degQk=kdeg(Q)pour toutk??0,m?, donc comme deg(Q)?1, la suite degQk

0?k?mest strictement croissante.

Finalement, par somme : deg(P◦Q) =deg"

m? k=0a kQk" a m?=0=degQm=mdeg(Q) =deg(P)×deg(Q). Définition(Dérivation des polynômes)SoitP=+∞? k=0a kXk??[X]. •Polynôme dérivé :Le polynômeP?=+∞? k=0ka kXk-1est appelé lepolynôme dérivé de P— avec par convention

0×X-1=0 pourk=0, fausse apparition deX-1.

•Polynômes dérivés successifs :On définit pour toutn??lenèmepolynôme dérivé de P, notéP(n). On pose

pour celaP(0)=Pet pour toutn??:P(n+1)=P(n)?. Pourn=2 etn=3, on préfère les notationsP??et P ???aux notationsP(2)etP(3). ExemplePourP=8X3-5X2+3X+1 :P?=24X2-10X+3,P??=48X-10,P???=48 etP(4)=0. Théorème(Propriétés de la dérivation des polynômes)SoientP,Q??[X]etn??. (i)Degré :Si deg(P)?n: degP(n)=deg(P)-n, et si au contraire deg(P)Ce sont desDÉRIVÉES, pas des puissances. (formule de Leibniz). (iv)Composition :(P◦Q)?=Q?×P?◦Q. DémonstrationIntroduisons les coefficients dePetQ:P=+∞? k=0a kXketQ=+∞? k=0b kXk. (i) Posonsd=deg(P). Sid?0 :P?=0. Si au contraired?1 :P?=d k=0ka kXk-1avecdad?=0, donc deg(P?) =d-1. Au-delà, récurrence! (iii) Montrons que(PQ)?=P?Q+PQ?. Soitk??. Le coefficient de degrékde(PQ)?vaut(k+1)k+1? i=0a ibk+1-i et celui deP?Q+PQ?vautk j=0(j+1)aj+1bk-j+k i=0a i(k-i+1)bk-i+1. Ces coefficients sont égaux car : k j=0(j+1)aj+1bk-j+k i=0a i(k-i+1)bk-i+1i=j+1=k+1? i=1ia ibk+1-i+k i=0a i(k-i+1)bk-i+1 k+1? i=0ia ibk+1-i+k+1? i=0a i(k-i+1)bk-i+1=k+1? i=0 ia ibk+1-i+ai(k-i+1)bk+1-i = (k+1)k+1? i=0a ibk+1-i.

La formule de Leibniz s"en déduit par récurrence surn.Initialisation :Pourn=0, rien à faire!

Hérédité :Soitn??. Faisons l"hypothèse que la formule de Leibniz :(PQ)(n)=... est vraie pour tous

P,Q??[X]. Alors pour tousP,Q??[X].

(PQ)(n+1)=(PQ)?(n)= (P?Q+PQ?)(n)(ii)= (P?Q)(n)+(PQ?)(n)HDR=n k=0! n k! (P?)(k)Q(n-k)+n k ?=0! n k P (k?)(Q?)(n-k?) n k=0! n k! P (k+1)Q(n-k)+n k ?=0! n k P (k?)Q(n+1-k?)l=k+1=n+1? l=1! n l-1! P (l)Q(n+1-l)+n k ?=0! n k P (k?)Q(n+1-k?) =P(n+1)Q(0)+n k=1! n k-1! P (k)Q(n+1-k)+n k=1! n k! P (k)Q(n+1-k)+P(0)Q(n+1) 4

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(PQ)(n+1)=P(n+1)Q(0)+n k=1!! n k-1! +!n k!! P (k)Q(n+1-k)+P(0)Q(n+1)— tiens, la formule de Pascal! =P(n+1)Q(0)+n k=1! n+1 k! P (k)Q(n+1-k)+P(0)Q(n+1)=n+1? k=0! n+1 k! P (k)Q(n+1-k). (iv) Par définitionP◦Q=+∞? k=0a kQk, donc(P◦Q)?=+∞? k=0a kQk?. EnsuiteQk?=kQ?Qk-1pour toutk??par récurrence à partir de (iii), donc(P◦Q)?=+∞? k=0a k×kQ?Qk-1=Q?×P?◦Q.

Notre construction des polynômes ne saurait s"achever sansun rapide retour à la notion defonction polynomiale, dont

nous reparlerons aussi plus loin. Définition-théorème(Évaluation polynomiale, fonction polynomiale)

•Évaluation :Pour tousP=+∞?

k=0a kXk??[X]etλ??, on poseP(λ) =+∞? k=0a kλk— c"est un élément de?. •Fonction polynomiale :Pour toutP??[X], la fonctionx?-→P(x)de?dans?est appelée lafonction

polynomiale associée à P. On la note souventPpar abus et parfois?Pquand on veut la distinguer du polynômeP.

Pour tousP,Q??[X]:?P+Q=?P+?Q,?PQ=?P?Q,?P◦Q=?P◦?Qet?P?=?P?.

Nous en omettrons la preuve, mais la dernière assertion n"est pas une évidence. Nous disposons sur?[X]et??de notions

différentes d"addition, multiplication, composition et dérivation. Dans la formule?P◦Q=?P◦?Qpar exemple, ce ne sont pas

les mêmes "◦» qu"on trouve à gauche et à droite, et dans la formule?P?=?P?, la dérivéeP?est une dérivée formelle alors que

la dérivée ?P?est la dérivée d"une fonction définie comme limite d"un taux d"acroissement.

Sachant que

1 est la fonction constantex?-→1 — élément neutre de??— l"applicationP?-→?Ps"avère être un

morphisme d"anneaux de?[X]dans??. ?Attention !XN"EST PAS UN NOMBRE!On ne dit pas " PosonsX=1 », mais " Évaluons en 1 ».

2 DIVISIBILITÉ ET DIVISION POLYNOMIALES

2.1 RELATION DE DIVISIBILITÉ

Définition(Divisibilité, diviseur, multiple)SoientA,B??[X]. On dit queA divise B, ou queAest undiviseur de B,

ou queBestdivisible par A, ou queBest unmultiple de A, s"il existeP??[X]pour lequelB=AP. Cette relation se note

A|B. ExempleLe polynômeX2+3X+2 est divisible parX+1 carX2+3X+2= (X+1)(X+2).

Onpeut définir unenotiondedivisibilité dans tout anneau quel qu"il soit —dans?et maintenant?[X], mais bien au-delà.

La divisibilité est en un sens ce qui différencie les anneauxles uns des autres et le point de départ de l"arithmétiqueen général.

La très grande proximité des anneaux?et?[X]justifie que nous omettions ci-après certaines preuves qui ressemblent à s"y

méprendre aux preuves du chapitre " Arithmétique des entiers relatifs ». Théorème(Propriétés de la relation de divisibilité)SoientA,B,C,D??[X].

•Relation d"ordre :La relation de divisibilité | est réflexive et transitive sur?[X], c"est même une relation d"ordre

sur l"ensemble des polynômesUNITAIRES OU NULSde?[X]. Elle est en revanche seulement réflexive et transitive

sur?[X]car pour tousA,B??[X]: A|BetB|A?? ?λ???,A=λB. On dit alors queAetBsontassociés(sur?). •Combinaisons linéaires :SiD|AetD|B, alorsD??(AU+BV)pour tousU,V??[X]. •Produit :SiA|BetC|D, alorsAC|BD, et en particulierAk??Bkpour toutk??. 5

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DémonstrationPour le défaut d"antisymétrie, siA=λBavecλ???:B=1λA, doncA|BetB|A.

Réciproquement, faisons l"hypothèse queA|BetB|A. Il existe alors deux polynômesP,Q??[X]pour lesquels

A=BPetB=AQ, et ainsiA=APQ. Deux cas se présentent alors.

— SiA=0, alorsB=AQ=0, doncA=λBpourλ=1.

— Si au contraireA?=0, alorsPQ=1 par intégrité de?[X], doncPetQsont non nuls, donc de degrés

entiers. Les inégalités : 0?deg(P)?deg(P) +deg(Q) =deg(PQ) =deg(1) =0 montrent alors que deg(P) =0, i.e. quePest une constante non nulleλ. Conclusion :A=λB.

2.2 DIVISION EUCLIDIENNE

Nous pratiquons la division euclidienne des polynômes depuis le chapitre " Introduction à la décomposition en éléments

simples », mais nous n"avions rien démontré alors, il est temps de le faire.

Théorème(Division euclidienne)SoientA,B??[X]avecB?=0. Il existe un et un seul couple de polynômes

(Q,R)??[X]×?[X]pour lequel :A=BQ+Ret deg(R)Démonstration •Existence :Notonsble degré deBetβ?=0 son coefficient dominant. SiBdiviseA, alorsA=BQpour un certainQ??[X]et on peut poserR=0. Supposons maintenant queBne divise pasA. L"ensemble deg(A-BK)|K??[X] est alors une partie non vide de?— valeur-∞exclue par hypothèse

— donc possède un plus petit élémentr. NotonsQ??[X]un polynôme pour lequel deg(A-BQ) =r, puis

posonsR=A-BQet notonsρle coefficient dominant deR. Est-il vrai que deg(R)Supposons par l"absurde quer?b. Alors deg!

R-ρ

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