[PDF] Chapitre 3 - Racines dun polynôme

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Chapitre3

Racinesd'unpolynˆom e

3.1Fonction polynˆome

D´efinition3.1SoitA=a

0 +a 1

X+···+a

n X n unp olynˆomedeK[X].Onappellefonction polynˆomeassoci´ee`aAl'application A:K!Kqui`ato utxdeKfaitcorre spondrel'´el´ement

A(x)=a

0 +a 1 x+···+a n x n deK. Remarque.Commeonleverra plu sloin, laconfusionentreu npolynˆomeets afonction polynˆomeassoci´een'a,dan slecaso`ulecorpsKestinfini(etdoncenp articulier lorsqu eK=R ouC)pas decons´ equenc efˆacheuse.Danslapratique,onconfondra doncsouventAet A. C'estparcontretout autrec hoselorsqueKestuncorps fini.Par exemple,siK=Z/2Z,le polynˆomeA=X+X 2 n'estpasnul(tous sescoe cientsnesontpasnuls )etpour tantlafonc tion polynˆomeassoci´eex7!x+x 2 estlafonc tionnul le...

Proposition3.2Soient(A,B)2(K[X])

2 et2K.Ona• A+B= e A+ e

Bet•

g AB= e A e B. D´emonstration:Celar´esulte demani`ereimm´ediatedesd´ efiniti onsdesop´erationssurles

Sch´emadeH¨orner

Gardonslesnotations pr´ec´ede ntesete

ectuonslecalculdeA(a)pou runcertain a2K.

Leco ˆutenmultiplicat ionsdu calculdea

0 +a 1 a+···+a n a n parlam´ ethod e"naturelle»est den1mu ltiplicationspourcalculerlespuissancesa 2 ,···,a n ,plusnmultiplicationspour calculerlestermesa 1 a,···,a n a n ,soi tautotal2n1.Les ch ´emadeH¨ornerconsiste `acalculer successivement p n =a n a n p n1 =(a n1 +p n )a=a n1 a+a n a 2 p 2 =(a 2 +p 3 )a=a 2 a+a 3 a 2 +···+a n a n1 p 1 =(a 1 +p 2 )a=a 1 a+···+a n a n etenfin A(a)=a 0 +p 1 ,ce quifai tseulemen tnmultiplications. Th´eor`eme3.3(FormuledeTaylor) Onsuppose lecorpsKdecar act´eristiquenulle 1 .Pour toutpolynˆ omeA= n X k=0 a k X k ett outscalair eadeK,ona:A(X)= n X k=0 A (k) (a) k! (Xa) k

1.Cett ehypoth`esen'es tl`aquepourgarantirquel'onpuissedivi serparlesk!.Q,RetCsontdescorpsde

caract´eristiquenulle. 17

18CHAPITRE3.RACINESD'UNP OLYN

OME

D´emonstration:

EcrivonsA(X)=

n X k=0 a k (Xa+a) k .Siond´ eve loppechaqueterme(Xa+a) k parlaf ormuled ubinˆome(Xa+a) k k X i=0 k i a ki (Xa) i ,onobt ient,enr´eordonnantsuiv ant lespuissa ncesde(Xa), A(X)= n X k=0 b k (Xa) k avecdesc oe cientsb k quel'onva explicite rautrem ent. OnaA (0) (a)=A( a)=b 0 et,pour`2[[1,n]],parlin´ earit´e delad´erivation`al'ordre` A (X)= n X k=0 b k (Xa) k `1 X k=0 b k (Xa) k |{z} =0 n X k=` b k (Xa) k n X k=` b k k(k1)···(k`+1)( Xa) k` =b n X k=`+1 b k k(k1)···(k`+1)( Xa) k` En´eval uantcettequantit´eena,nou sobtenonsA (a)=b `!c'est`adireb A (a)

·On

trouvedoncbienfin alementA(X)= n X k=0 A (k) (a) k! (Xa) k

Exemple.PourA=X

3 +Xeta=1on obti ent :X 3 +X=2+4( X1)+3(X1) 2 +(X1) 3 Remarque.Lasp ´ecificit´edecetteformuledeTaylordansl ecaspoly nomialestqu'iln'y apas derest e. Exercice3.1TrouverunpolynˆomeA2R[X]ded egr´ein f´erieurou´egal`at roistelqueA(0)=0 etA(1)=A 0 (1)=A 00 (1)=2.

3.2Racines, ordred'uneracine

D´efinition3.4SoientAunpo lynˆomedeK[X]etaun´e l´ementdeK.Onditqueaestune racinedeAsil'applic ationpolynomialeA:K!K,x7!A(x)s'annuleena:A(a)=0. Proposition3.5SoientAunpoly nˆomedeK[X]etaun´e l´ementdeK.aestune racinedeA siet seulement siXadiviseA. D´emonstration:SupposonsqueXadiviseA,soitA=(Xa)Q.Onobti entauss itˆot

A(a)=(aa)Q(a)=0.

R´eciproquement,supposonsqueA(a)=0. Onp eut fairela divisioneucl idiennedeApar Xa: A=Q(Xa)+R ,o `ulede gr´edeRest strict ementinf´erieu r`a1=d eg( Xa)don cRestune constantec.En ´evaluan tcetterelationena,onob tie nt0=A(a)=c.Ain si,A=(Xa)Qet

3.2.RACI NES,ORDRED'UNERACINE19

Remarque.Lad´ emonstrationmetenlumi`erelefaitquel erestedans ladivi sioneuclidienne deApar Xan'estautrequeA(a).

Exemple.Ilex isteQtelqueX

4 2X 3 +X 2

X2=(X2)Qcar2 estraci ned e

X 4 2X 3 +X 2

X2.On trouveX

4 2X 3 +X 2

X2=(X2)(X

3 +X+ 1). Proposition3.6Unpoly nˆomenonnuldedegr´endeK[X]aauplusnracinesdistinctes. D´emonstration:Par r´ecu rrencesurn.Pou rn=0,u npol ynˆomec onstantnonnulposs`ede

´evidemmentz´eroracine.

Soitnfix´e,supposonsler ´esultatvraipourlespolyn ˆomesde degr´en;soi tmaintenant Aun polynˆomededegr´en+1. SiA n'aaucu ner acine,ler´ esultatestvraipou rA;sinonsoitaune racinedeA;parlapr opositi onpr´ec ´edent eonpeut ´ecrireA=(Xa)Qpouru npolynˆomeQ , quiestcl airementde degr´en.Mai ntenant,sibestuneraci nedeA,alors0 =A(b)=(ba)Q(b) doncb=aoubestunerac inedeQ(onu tilisel'hypoth` esed'i nt´ egrit´e deK);orQaau plu sn Cons´equence.Lese ulpolynˆomeay antuneinfinit´ederacine sestlepolynˆom enul. Exercice3.2Onsupp oselecorpsKinfini.Montrerquesid euxpolynˆomesdeK[X]d´efi nissent lamˆem efonctionpolynˆomed eKdansKalorsilsson t´egaux.

D´efinition3.7SoientA2K[X],r2N

eta2K.Onditqueaestracin ed'ordrerdeAs'il existeunpolynˆ omeQtelqueA=(Xa) r

QavecQ(a)6=0.Autrementdit,aestraci ned'ordre

rdeAsiAestdivi siblepar(Xa) r maispas par(Xa) r+1

Vocabulaire

Uneracin eestditesimplesielle estd'ordre1,doublesielle estd'ordre2,.. . D'unemani`ereg´e n´erale,l'entierrestappel´e ordredemultipl icit ´edelarac ine.

Exemple.A=X

5 9X 4 +25X
3 9X 2

54X+54, a=3.

A=(X3)(X

4 6X 3 +7X 2 +12X18) =(X3) 2 (X 3 3X 2 2X+6) =(X3) 3 (X 2 2)

3es tdoncracin ed'ordre3d upolynˆomeA.

Exercice3.3SoitAunpol ynˆ omenoncon stantdeK[X].Montrer quesia 1 ,···,a p sontdesquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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