[PDF] UNIVERSITÉ LILLE 1 27 nov. 2004 Exercice 1 [

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E LILLE 1Enseignant responsable:P. DEBES

Matiere:MATH 202

Filiere:Licence 1er Semestre

Annee universitaire:2004/2005

Date et heure:samedi 27 novembre 2004 a 10h15

Duree de l'epreuve:2H00Ni calculatrices ni documents N.B.:Les questions (b) et (c) de l'exercice 2 et la question (a) de l'exercice 3 sont des questions de cours. Exercice 1 [6 pts]:Soitf:R2!Rla fonction denie parf(x;y) = (x2+y2)xpour (x;y)6= (0;0) etf(0;0) = 1. (a) La fonctionfest-elle continue en (0;0)? (b) Determiner la dierentielle defen un point (x0;y0)6= (0;0). (c) La fonctionfadmet-elle des derivees partielles par rapport ax, ayen (0;0)? Exercice 2 [10 pts]:Etant donnes deux vecteursx= (x1;:::;xn) ety= (y1;:::;yn) dansRn, on note (xy) leur produit scalaire, c'est-a-dire, (xy) =x1y1++xnyn. (a) Montrer que l'application:RnRndenie par(x;y) = (xy) est dierentiable sur son domaine et qued(x;y)(h;k) = (xh) + (ky) pour tousx;y;h;k2Rn. (b) Enoncer le theoreme d'inversion locale pour une fonctionf:Rn!Rn. (c) Enoncer et demontrer le theoreme des accroissements nis pour une fonction g:Rn!R. On se donne une applicationf:Rn!Rnde classeC1et on suppose qu'il existe >0 telle que, pour tousx;h2Rn (*) (dfx(h)h)(hh) (d) Montrer quefest un dieomorphisme local au voisinage de tout point deRn. (e) Etant donnesa;b2Rnquelconques, appliquer le theoreme des accroissements nis a l'applicationg:Rn!Rdenie parg(x) = (f(x)f(a)ba) et en deduire que (**) (f(b)f(a)ba)(baba). Exercice 3 [4 pts]:Soitfla fonction denie surR2parf(x;y) =x22y3. (a) Determiner l'equation du plan tangentPM0en un pointM0(x0;y0;f(x0;y0)) du grapheGf((x0;y0)2R2). (b) PourM0(2;1;2), determiner tous les pointsm(x;y) ou le plan tangentPMest parallele aPM0.

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Matiere:MATH 202

Filiere:Licence Semestre 3

Annee universitaire:2004/2005

Date et heure:janvier 2005

Duree de l'epreuve:2H00Ni calculatrices ni documents Exercice 1 [4,5 pts]:La gure ci-dessous represente la courbeCd'equation polaire = 1 + cos() (02). (a) ReproduireCet placer les points de parametreegal a 0,=4,=2, 5=4,. (b) Calculer l'aire du domaineRR2a l'interieur de la courbeC.

Exercice 2 [4,5 pts]:Calculer l'integrale doubleZ

4 1" Z2 py e (x1)2x+ 1dx# dy. Exercice 3 [6,5 pts]:SoitRR2le domaine du premier quadrant limite par les hyperboles d'equationxy= 1 etxy= 16 et par les droites d'equationx=yetx= 4y. (a) Representer graphiquement le domaineR. (b) Montrer que la correspondanceT: (u;v)!(uv;v=u) denit une bijection du domaine S=( (u;v)2R21u2 1v4) sur le domaineR; on donnera la bijection reciproque. (c) Enoncer le theoreme de changement de variable pour les integrales doubles. (d) Montrer queZ Z R x3=4y1=4dxdy=Z Z S

2v3=2dudvet calculer cette derniere

integrale. Exercice 4 [4,5 pts]:Determiner le volume de la regionDR3au-dessus du planOxy et limitee par le cylindre d'equationx2+y2x= 0 et le c^one d'equationz= 1px 2+y2.

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E LILLE 1Enseignant responsable:P. DEBES

Matiere:MATH 202

Filiere:Licence Semestre 3 - 2eme session

Annee universitaire:2004/2005

Duree de l'epreuve:2H00Ni calculatrices ni documents ni telephone portable Exercice 1 [10 pts]:Soitf:R2!Rla fonction denie par 8>< :f(x;y) =x2y+ 3y3x

2+y2pour (x;y)6= (0;0)

f(0;0) = 0 (a) La fonctionfest-elle continue en (0;0)? On justiera sa reponse. (b) La fonctionfadmet-elle des derivees partielles par rapport ax, ayen (0;0)? On donnera leur valeur le cas echeant et on justiera sa reponse. (c) La fonctionfest-elle dierentiable en (0;0)? On justiera sa reponse. (d) Determiner la dierentielle defen un point (x0;y0)6= (0;0). (e) Determiner l'equation du plan tangent au graphe defau point (1;1;2). (f) SoitF:R2!R2la fonction denie parF(x;y) = (f(x;y);f(y;x)). Determiner la matrice jacobienne deFau point (1;1). La fonctionFadmet-elle une reciproque localement au voisinage du point (2;2)?

Exercice 2 [5 pts]:Calculer l'integrale doubleZ

9 4" Z3 py sin (x33 4x) dx# dy. Exercice 3 [5 pts]:SoitDla region de l'espaceR3limitee par les deux plans d'equation z= 0 ety+z= 3 et le cylindre d'equationx2+y2= 9. Calculer l'integrale

I=Z Z Z

D y+ 3dV

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Matiere:MATH 202

Filiere:Licence 1er Semestre

Annee universitaire:2005/2006Epreuve:Partiel

Date et heure:samedi 19 novembre 2005 de 8h a 10h

Duree de l'epreuve:2H00Ni calculatrice ni documents ni telephone portable.

Le bar^eme est donne a titre indicatif.Question de cours [3,5 pts]:Donner la denition de la dierentiabilite d'une fonction

f:UR2!Ren un point m0(x0;y0) de son domaineU, ouvert deR2. Puis montrer que sifest dierentiable en m0(x0;y0), alorsfadmet des derivees partielles par rapport a chacune des deux variablesxetyen m0et donner la valeur de la dierentielledfm0. Exercice 1 [7 pts]:Soitf:R2!Rla fonction denie par 8>< :f(x;y) =x4+ 2y3x

2+y2pour (x;y)6= (0;0)

f(0;0) = 0 (a) La fonctionfest-elle continue en (0;0)? (b) La fonctionfadmet-elle des derivees partielles par rapport axet ayen (0;0)?

On donnera leur valeur le cas echeant.

(c) La fonctionfest-elle dierentiable en (0;0)? N.B.:on justiera sa reponse aux trois questions ci-dessus. Exercice 2 [5,5 pts]:(a) Etant donnes une fonctionfdierentiable sur un ouvert UR2et un point m0(x0;y0)2U, donner l'equation du plan tangentPm0au graphe

defau pointM0(x0;y0;f(x0;y0)), ainsi que le vecteur!n(m0) orthogonal au planPm0et de troisieme composante egale a1.

(b) Determiner l'equation dePm0et le vecteur!n(m0) dans le cas ouf(x;y) =x3+y4+xy et m

0est le point de coordonnees (1;2).

(c) Pour etudier la variation de la direction du plan tangent en un point m(x0+h;y0+k) au voisinage de m

0, on s'interesse a la quantite vectorielle

!m0(h;k) =!n(m)!n(m0)

En negligeant les termes enph

2+k2!"(h;k) ou!"(h;k)!!0 quand (h;k)!(0;0),

donner une estimation lineaire en (h;k) de!m0(h;k). Exercice 3 [4 pts]:Soitf:R3!Rune fonction de classeC1. Pour tout (x;y;z)2R3, on poseg(x;y;z) =f(xy;yz;zx). Montrer que@g@x +@g@y +@g@z = 0.

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Matiere:MATH 202

Filiere:Licence Semestre 3

Annee universitaire:2005/2006Epreuve:Examen - 1ere session - janvier

Date et heure:lundi 9 janvier 2006 de 14h a 16h

Lieu:B^atiment M1 amphis Painleve et Galois

Duree de l'epreuve:2H00Ni calculatrices ni documents ni telephone portable.

Le bar^eme est donne a titre indicatif.Exercice 1 [5 pts]:(a) Enoncer le theoreme des fonctions implicites.

On considere la courbe planeCd'equationyex+eysin(2x) = 0. (b) Appliquer le theoreme des fonctions implicites a la courbeCau pointO(0;0). (c) En utilisant le (b) determiner la limite dey=xquand (x;y) tend vers (0;0) en etant sur la courbeC. Exercice 2 [5 pts]:Soitf:R!Rune fonction de classe C2sur un voisinage de 0 telle quef(0) = 0 etf0(0)6= 0. Montrer que la fonctionF: (x;y)!f(x)f(y) n'a pas d'extremum relatif en (0;0). Exercice 3 [5 pts]:(a) Soita >0. Montrer que le produit de trois nombres reels x;y;z >0 de sommex+y+z=aest maximal quandx=y=z. (b) En deduire que pour tousx;y;z >0, on a3pxyz(x+y+z)=3. Exercice 4 [5 pts]:Soitf:R!Rune fonction de classe C1telle quejf0(t)j k <1 pour toutt2R. Pour tout vecteur!u= (x;y)2R2, on noteg(!u) = (f(y);f(x)). (a) Montrer quejjg(!u)g(!0 )jj kjj!ujj, ou la normejj:jjest la norme euclidienne, c'est-a-dire,jj(a;b)jj=pa 2+b2. (Indication: on pourra appliquer le theoreme des accroissements nis a la fonction d'une variablefpour majorer la valeur absolue de chacune des composantes deg(!u)g(!0 )).

On considere le champ':R2!R2deni par

'(!u) =!u+g(!u) = (x+f(y);y+f(x)) pour tout vecteur!u= (x;y) (b) Montrer quejj'(!u)jj (1k)jj!ujjjj'(!0 )jj. (On rappelle l'inegalite triangulaire jj!vjj jj!wjj jj!v!wjj jj!vjj+jj!wjj, pour tous vecteurs!v ;!w2R2).

Etant donne

!v= (;)2R2, on considere la fonction denie pour tout!u2R2 par (!u) =jj'(!u)!vjj2. La question precedente permet de montrer que a un minimum en un vecteur!u02R2.On l'admettra. (c) Montrer que'(!u0) =!v. En deduire que'est surjective. (d) En utilisant (b) et (c), montrer que la fonction a un minimum surR2et en deduire que'est surjective. (Indication: pour la premiere partie, on pourra commencer par montrer en utilisant (b) que sijj!ujjest assez grand, alors (!u)> (!0 )).

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Matiere:MATH 202

Filiere:Licence Semestre 3

Annee universitaire:2005/2006Epreuve: Examen - 2ere session - fevrier

Date et heure:fevrier 2006

Duree de l'epreuve:2H00Ni calculatrices ni documents ni telephone portable.

Le bar^eme est donne a titre indicatif.Exercice 1 [5 pts]:(a) Montrer que1 est la seule racine dansRde l'equation

e x=xe1=x (Indication: on pourra commencer par etudier la fonctionxln(jxj)1x sur ] 1;0[). (b) Determiner les extrema relatifs de la fonctionf(x;y) =xey+yex. Exercice 2 [6 pts]:Soitf:I!Rune fonction 2 fois derivable sur un intervalleIde

R. On considere l'applicationg:II!Rdenie par

8< :g(x;y) =f(x)f(y)xysix6=y g(x;x) =f0(x) (a) Montrer quegest dierentiable en tout point (x0;y0)2Iavecx06=y0.

Pourx02Ixe, on note

8>>< >:"(u) =f0(u)f0(x0)ux0f"(x0) '(u) =f(u)f0(x0)uf"(x0)(ux0)22 (b) En appliquant le theoreme des accroissements nis a la fonction', montrer que pour tousx;y2Iavecx < y, on a jg(x;y)g(x0;x0)f"(x0)2 (xx0+yx0)j maxu2[x;y]jux0jj"(u)j (c) Montrer quegest dierentiable en (x0;x0) et determiner la dierentielledg(x0;x0). Exercice 3 [4 pts]:L'indice de refraction du prisme pour une radiation donnee est determine par la relation: n=sinA+D2 sin A2 ouAest l'angle du prisme etDl'angle de deviation minimum pour la raie choisie. Pour la raie verte du cadmium, on a mesureA=3 etD=6 . Determiner l'indicenet une estimation de l'incertitude sur le resultat sachant que l'incertitude sur les mesures de AetDestjAj=jDj= 5:104radian (On ne demande pas d'eectuer les derniers calculs numeriques). Exercice 4 [5 pts]:(a) Enoncer le theoreme d'inversion locale. (b) Montrer que le champf:R2!R2deni par f(x;y) = (yex+eysin(x);ycos(x) +xey) induit un dieomorphismefU:U!f(U) sur un voisinageUouvert du point (0;1).

Determiner la dierentielled(fU)1

f(0;1)de la reciproque au point imagef(0;1).quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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