[PDF] TD n 8. Linversion locale et les fonctions implicites 1

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UniversitéPierre& MarieCurieL3 deMa thématiques LM36 0(Topologiee tCalculdifférentiel)Automne2012 TDn

8.L'in versionlocaleetlesfonctionsimplicites

1Di ff

éomorphismes

Exercice1.Difféomorphismeounon?

a)R→R,x?→e x b)R→S 1 ,t?→e it c)R→R,x?→x 3 d)Unisom orph ismelinéaireentreespacesvectorie lsdedimensionfinie. e)Unisom orph ismelinéaireentreespacesdeBanach.

Soitl'appli cation

R×R-→R

2 (r,θ)?-→(rcosθ,rsinθ). a)Φest-elleundifféomorphisme? b)Calc ulerladi ff érentielleDΦ(r,θ)pourtousretθ,et montre rqu'elleestinversi bledèsquer?=0. c)Pour toutα?R,Ω désignel'ouvertR

×]-π+α,π+α[deR

2 .Mon trerqueΦ estundi ff

éomorphismedeclasseC

.On ditalors queΦ estun difféomorphismesursonimage. d)Expl iqueralorspourquoil'expressiondifféomorphismelocal rendparticul ièrementbiencomptedes propriétésdeΦ. Exercice3.SoitEunespac edeBanach.L(E)estmunide lanormesubord onnéeàc ellede Eet

L(E)×L(E)delanor medéfi niepar

?u,v?L(E)?(u,v)?=max (?u?,?v?). a)Mon trerqueL(E)×L(E)→L(E),(u,v)?→u◦vestuneappl icationbili néairecontinue. b)Montr erqu'elleestdi ff

érentiableetcalculersadi

ff

érentielle.Endéduirequ'elleestde classeC

c)Montr erquelabouleouverte B(Id E ,1)dansL(E)estenfait inclus edansGL(E).

Indication:(1-x)(1+x+x

2 +···)=1si|x|<1. d)Endé duirequeGL(E)estouvert dansL(E). e)Montr erquel'applicationIn v:GL(E)→GL(E),g?→g -1 estdi ff

érentiableetcalculersadi

ff

éren-

tielle.Indication:Inv(g)◦g=Id E f)Endé duireq ueInvestundi ff

éomorphismedeclasseC

2Inv ersionlocale

Exercice4.SoientEunespac edeBanach,Uunvoisi nageouvertde0dansEetΨ:U→L(E)une applicationdeclasseC k tellequeΨ(0)=Id E a)Mon trerqu'ilexisteun voisinageouvertVde0cont enu dansU,don tl'imageΨ(V)soitconten ue dansGL(E). b)Mont rerquel'applicationx?→Ψ(x)·xestundifféomorphismeauvoisinagede0.

Soitf:Ω→Funappl icationdeclasseC

1 ,oùEetFsontdesesp acesdeBanach ,etΩunouver tdeE. Pourtoutx?Ω,ladifférentielleDf(x)estsupposé einversible. a)Mon trerquel'imagef(Ω)estouverte dansFetqu efestundifféomorphismelocal,autrementdit, quetoutpoin txdeΩadmetunvoisin ageouvert Utelquef:U→f(U)soitundifféomorphisme. b)Si,de plus,festinject ive,montrerquefestundifféomorphismesursonimage.Ainsi,und ifféo- morphismelocalinjectifest undi ff

éomorphismeglobal.

1 c)Dansl esdeuxder nierscas,s ifestdeclass eC k ,mon treralorsquefestundifféomorphisme respectivementlocalouglobaldeclasseC k

Exercice6.Soitf:R

n →R n uneapplicat iondeclasseC 1 .On suppos equefestin jectiveetqu'ilexiste >0telque,pou rtousxethdeR n ?Df(x)·h?≥δ?h?. a)Mon trerque,pourtoutx,ladifférentielleDf(x)estin versibleetque?(Df(x)) -1 1 b)Mont rerquefestouverte (c'est-à-dire,pourt outouvertVdeR n ,f(V)estouvertd ansR n c)Conc lurequefestundifféomorphismeglobaldeR n

Exercice7.SoitF:M

n (R)→M n (R)quià XassocieX 2 a)Mon trerqueFestdeclas seC 1 etcalcu lerDF(X)pourtoutXdeM n (R). b)Mont rerqu'ilexisteunef onctiondi ff érentiableG,dé finiedansunvoisinageVdelam atricei dentité I n tellequeG(X) 2 =X,pou rtoutX?V. c)Ons upposeq uen=2.S oitX= -10 01 .Cal culerDF(X)·JoùJ= 01 00 .Qu epeut-onen déduire? Exercice8.Soient(E,?·?)unespac evectorielnorméde dimensionfinieetf:E→Euneapplicat ion declass eC 1 .On poseφ=f-Id. a)On suppose que?Dφ(x)?<1pourtoutx?E.Mon trerquefestun C 1 -di ff

éomorphismedeEsur

sonimage. b)Soitg:E→Edeclass eC 1 pourtoutx?E. c)Ons upposeq ueφestk-lipschitzienneaveck<1.Mon trerquefestun C 1 -di ff

éomorphismedeE

danslui-mê me. Indication:appliquerlethéorèmedu poi ntfixeàunefonctionconven ablementch oisie. d)Soitg:R→Rdeclass eC 1 ,telleque|g définissentdesC 1 -di ff

éomorphismesdeR

2 surlui-même.

Exercice9.Prérequisd'analysecomp lexe.

Lepl anR

2 esti dentifiéàCdesorte (1,i)enest labasecanoni que.

a)Pou rtousα,β?C,vé rifierquel'applicationz?→αz+βzestuneappl icationR-linéaireetécrire

samatri cereprésentativedan slabase(1,i). b)Inve rsement,montrerquetouteapplicationR-linéaire?:C→Cestdelafor mepré cédent e,et exprimerαetβenfonct iondescoefficientsdelamatricere présen tative de?.

c)Calc ulerledéterminantde?enfonct iondeαetβ.Àq uel lecondition,surαetβ,?est-elleinversible ?

Exercice10.Unepreuved uthéorèmeded' Alembert . SoitPunpolyn ômeàcoefficientscomplexesque l'onvoitcommeuneapplicationP:C→Cdite polynomiale. a)UnpointsingulierdePestun élémentzdeCvérifiantP (z)=0;Zdésignel'ensembled espoints singuliersdeP.Dor énavant,Pestsuppos énonconstant.Montrerqu eZestfin ietqueP:C\Z→C estundi ff

éomorphismelocal.

b)Unevaleursingulière dePestl'image parPd'unpointsin gulierdeP;Wdésignel'ensembled es valeurssingulièresde P.Mon trerqueWestfinietq uel'applic ationapp eléedegré d:

C\W-→N

w?-→card(P -1 (w)) estlocale mentconstante,i.e.toutevaleurn onsingulièrewadmetunvoisin ageouvert U,surlequel destconstan te. c)End éduire quel'applicationdegréest constanteet nonnulle. Indication:C\Westconn exe(pararcs)et,pourto utentiern,d -1 ({n})estouvert . 2 d)Concl ure.Indication:distinguerlescasoù0estuneva leursinguli èreounon. Exercice11.Théorèmed'invariancedud omainedeBrouwer:"sifestunho méomor phismed'un ouvertUdeR n surunouvert VdeR p alorsn=p.»

Ladémo nstrationdeceténoncéd'apparenceanodine futl'u nedesmo tivationsinitia lesdelaTopologie

algébrique.Cet tediscipline étudielesinvariants,denaturea lgébrique,associésaux espacest opologiques.

Parexemple, d'aprèscethéorème, siunespacemétriqueest homéom orpheàunouvertdeR n ,alorsla dimensionnestunin variant algébrique.

Démontrercethéorèmelorsque

a)festuneapp licationlin éaireR n →R p b)festundifféomporphisme.

3Fo nctionsimplicites

Exercice12.Montrerquelesystèm ed'équation

x+y+z+t=0 x 2 +y 2 +z 2 +t=2 x 3 +y 3 +z 3 +t 2 =0 aun euniquesol ution(x,y,z)=f(t)prochede(0,-1,1),pou rtassezpetit.D éterminerladérivé edef en0.

Exercice13.Montrerquel'ensemb le

={(x,y)?R 2 |x 3 +y 3 -3xy-1=0} est,auvoisinaged e(0,1),le graphed 'unefonctionψdeclass eC 2 tellequeψ(0)=1.Don nerledévelop- pementlimitédeψàl' ordre2en0.

Exercice14.Pourtout(a,b,c)?R

3 ,onp oseP(X)=X 3 +aX 2 +bX+c. a)Et antdonné(a 0 ,b 0 ,c 0 ,X 0 )?R 4 telqueP 0 (X 0 )=0,oùP 0 (X)=X 3 +a 0 X 2 +bquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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