[PDF] Liste 1 Théorème des fonctions implicites

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Analyse III, 1re partie 2014-2015 - 3BM

Liste 1

Théorème des fonctions implicitesExercice 1.Montrer que, dans un voisinnage approprié de(1;1)dansR2, l"équation

exp(x+y) +xy= 0 définit une unique fonction implicite':y7!xde classeC1telle que'(1) =1. Montrer que cette fonction admet une tangente horizontale en1et déterminer sa concavité en1. Donner le développement de Taylor de'au voisinnage de1à l"ordre2.

Exercice 2.Montrer que l"équation

xy

4x3+y= 0

définit implicitement au voisinnage dex= 0une fonction':x7!yqui s"annule en0. Donner le développement de Taylor de'au voisinnage de0à l"ordre25. Exercice 3(Septembre 2014).Soitfune fonction réelle de classeC1sur un voisinnage ouvert de(0;0)dansR2et telle que f(0;0) = 0;@f@x (0;0)6=1;@f@y (0;0)6= 0: (a) Mo ntrerqu"il existe un v oisinnageo uvertVde0dansRet une fonction réelle' de classeC1surVtelle que'(0) = 0et pour laquelle f(f(x;'(x));'(x)) = 0 pour toutx2Vet donner le développement de Taylor à l"ordre1en0d"une telle fonction. (b) Mon trerque si V1etV2sont des voisinnages ouverts de0dansRet si'1:V1!R et'2:V2!Rsont deux fonctions de classeC1nulles en0et telles que f(f(x;'1(x));'1(x)) = 0etf(f(x;'2(x));'2(x)) = 0 respectivement pourx2V1etx2V2alors'1et'2coïncident sur un voisinnage ouvert de0dansR.

Exercice 4.Montrer que l"équation

z

3+ 2z+ezxy2= cos(x+zy)

définit implicitement une fonction': (x;y)7!zqui estC1au voisinnage de(0;0). Donner le développement de Taylor à l"ordre2au voisinnage de(0;0). Exercice 5(Interrogation 1 : Novembre 2011).Soitn2N0. Posons

P(x;y) =yn+x1yn1+:::+xn1y+xn

pour toutx2Rnet touty2Ret considérons un pointx0deRnpour lequel le polynôme y7!P(x0;y) possèdenzéros réels distincts. Montrer alors quex0possède un voisinnage ouvertVdans R nsur lequel il existe des fonctions'1;:::;'nde classeC1à valeurs distinctes et telles que

P(x;y) = (y'1(x)):::(y'n(x))

pour toutx2Vet touty2R. Exercice 6(Interrogation 1 : Novembre 2012).Le système d"équations :2x2y2+z2= 0 x2+ 3y2z2= 2 est satisfait pour(x;y;z) = (0;1;1). (a) En utilisan tle théorème des fonctions implicites, exprimer les solutions de ce système au voisinnage de ce point sous la forme(x;'(x); (x))où'et sont des fonctions de classeC2sur un voisinnage de0dansR. (b) Donner les dév eloppementsd eT aylorà l "ordre2en0de ces fonctions. Exercices proposésExercice 7(Janvier 2007).Posons =f(x;y)2R2:x3y33xy+ 1 = 0g. (a) Mo ntrerq uecoïncide dans un voisinnage de(0;1)avec le graphe d"une fonction 'telle que'(0) = 1. (b) Donner le dév eloppementde T aylorà l"ordre 3de'en0. (c) En déduire une représen tationsc hématiquede au voisinnage de(0;1).

Solution :'(x) = 1x+23

x3+o(x4)pourx!0.

Exercice 8(Janvier 2012).Soit

f:]0;2 []0;2 [!R une application de classeC1. Posons g(x;y) =f arctanyx ;arctanxy pour tout(x;y)2]0;+1[]0;+1[et supposons quegs"annule en un point(x0;y0)de son domaine de définition. (a) Sous quelles conditions la relation g(x;y) = 0définit-elle dans un voisinnage de (x0;y0)une fonction implicite'dextelle que'(x0) =y0? (b) Calculer la dériv ée'0(x)lorsque ces conditions sont satisfaites. (c)

En déduire la forme de '.

Solution :(a) Il faut que@1f

arctan y 0x 0 ;arctan x 0y 0 6=@2f arctan y 0x 0 ;arctan x 0y 0 (b)'0(x) ='(x)x (c)'(x) =y0x 0x.

T. Kleyntssens - Répétition 1-2

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