Fonctions de plusieurs variables
Exo7. Fonctions de plusieurs variables. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr.
Cours de mathématiques - Exo7
aussi plus intéressante du fait qu'il y ait plusieurs variables ! + [[image ligne de niveau]]. 1.1. Que sont les fonctions de plusieurs variables ?
Fonctions de plusieurs variables
Exo7. Fonctions de plusieurs variables. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr.
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Cela se note : cf = 1(x y) ? R2
Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R
A la lumière des exercices 5 et 6 on voit que l'étude de la continuité et de la dérivabilité d'une fonction de R dans Rp ne pose pas vraiment de difficulté
Feuille dexercices no 4 Fonctions de plusieurs variables II : dérivées
Fonctions de plusieurs variables II : dérivées. Exercice 4.1.— Calculs de dérivées partielles. Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes.
TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles
La fonction n'est pas prolongeable par continuité au point (20) car la limite n'existe pas. Exercice 7. Montrer que la fonction f(x
Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 12
Fonctions de plusieurs variables. Intégrales dépendant d'un paramètre. Objectifs : Chercher si une fonction de plusieurs variables est continue.
TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice
Exercice 7. Soit f : R3 ?? R la fonction définie par : f(x y
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
des fonctions de plusieurs variables et des équations différentielles. G. Ch`eze guillaume.cheze@iut-tlse3.fr http ://www.math.univ-
[PDF] Fonctions de plusieurs variables - Exo7 - Cours de mathématiques
Le but de ce cours est de faire le même travail que pour les fonctions d'une variable : étudier la croissance les maximums les limites Bien sûr la
[PDF] Fonctions de plusieurs variables - Exo7 - Exercices de mathématiques
La fonction f est de classe C1 sur R2 en tant que polynôme à plusieurs variables Donc si f admet un extremum local en (x0y0) ? R2 (x0y0) est un point
[PDF] Fonctions de plusieurs variables - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 1 **T Etudier l'existence et la valeur éventuelle d'une limite en (00) des fonctions suivantes : 1 xy x+y 2 xy x2+y2
Cours et exercices de mathématiques -- Deuxième année - Exo7
Cours d'analyse Cours : Fonctions de plusieurs variables (6 chapitres) · cours-fpv pdf Cours : Fonctions de plusieurs variables · ch_plusvar pdf Cours :
[PDF] Calcul différentiel - Exo7 - Cours de mathématiques
Pour une fonction de plusieurs variables il y a une dérivée pour chacune des variables qu'on appelle dérivée partielle L'ensemble des dérivées partielles
[PDF] Différentielles et dérivées partielles secondes - Exo7
d(f +g) = d f +dg d(fg) = fdg+gd f d(f ?h)=(f ?h)dh Indication pour l'exercice 2 ? Soient h u v des fonctions des deux variables x et y Rappeler que
(PDF) Exo7 Fonctions de plusieurs variables * très facile ** facile
Exo7 Fonctions de plusieurs variables * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour
[PDF] ´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Module de Mathématiques MATH´EMATIQUES ´Eléments de calculs pour l'étude des fonctions de plusieurs variables et des équations différentielles G Ch`eze
[PDF] Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables Limites dans R
Fonctions de plusieurs variables Limites dans R n 1 5 Exercices Exercice 6 Déterminer et représenter le domaine de définition maximal des fonctions de
[PDF] Fonctions de deux variables
a) Le graphe de (xy) ?? x + y + 1 est le plan passant par (001) (102) et (012) b) Le graphe de (xy) ?? ?1 ? x2 ? y2 est ”l'hémisph`ere nord”
Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?
Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le planComment montrer qu'une fonction à plusieurs variables est C1 ?
Proposition : Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn. R n . f est de classe C1 sur U si et seulement si f est différentiable sur U et si l'application x?dfx x ? d f x est continue.Comment justifier qu'une fonction est de classe C2 ?
Une fonction f est de classe C2 sur ? si et seulement si elle admet des dérivées partielles d'ordre 1 et 2 en tout point de ?, et si ses dérivées partielles sont toutes continues sur ?.- L'astuce consiste souvent à trouver deux ensembles A = {(x,h(x))} et B = {(x,k(x))} (h et k fonctions à trouver) tels que lim(x,y)€A-->(0,0) f(x,y) est différent de lim(x,y)€B-->(0,0) f(x,y). Par exemple, sauf erreur: f(x,y) = xy2 / (x2 + y4), f(0,0) = 0.
![TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice](https://pdfprof.com/Listes/17/57706-17TD3cor.pdf.pdf.jpg)
Polytech" Paris - UPMC Agral 3, 2016 - 2017
TD3 - Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice 1.Montrer d"après la definition que la fonction : f(x,y) =x2+y2 est différentiable dansR2. Calculer la différentielle. Solution. La fonctionfest différentiable au point(x0,y0)?R2ssi : lim21+h22= 0.
Dès que :
f(x0+h1,y0+h2) =x20+h21+ 2x0h1+y20+h22+ 2y0h2, ?f(x0,y0) = (2x0,2y0), la limite se réduit à : lim (h1,h2)→(0,0)h21+h22Èh
21+h22= lim(h1,h2)→(0,0)Èh
21+h22= 0.
Cela suffit pour prouver quefest différentiable dansR2.Exercice 2.Soitf:R2?→Rdéfinie par :
f(x,y) =xexy. Est-elle différentiable au point(1,0)? Si oui, linéariserfau voisinage de(1,0)et approcher la valeurf(1.1,-0.1). Solution. La fonctionfest dérivable dansR2car composition de fonctions dérivables. Les dérivées partielles : ?f(x,y) = (∂xf(x,y),∂yf(x,y)) = (exy+xyexy,x2exy) sont elles-mêmes dérivables dansR2car composition de fonctions dérivables. La fonctionfest de classeC1surR2et donc elle est différentiable dansR2. En particulier elle est différentiableau point(1,0). Dès que la fonction est différentiable, elle admet une linéarisation au voisinage
de(1,0): f(x,y) =f(1,0) + (x-1)∂xf(1,0) +y∂yf(1,0) +o(È(x-1)2+y2), f(x,y) = 1 + (x-1) +y+o(È(x-1)2+y2) =x+y+o(È(x-1)2+y2). Cette linéarisation est valide localement, au voisinage du point(1,0), et pas dans toutR2! Pour approcher la valuerf(1.1,-0.1)on calcule : f(1.1,-0.1)≈1.1-0.1≈1 e on sait que l"erreur d"approximation est un petit o deÈ(x-1)2+y2. Plusx,ysont proches
(en terms de distance! ) du point(1,0)plus l"approximation est précise. Calculer avec une calculatrice la valeur exacte def(1.1,-0.1). 1Exercice 3.Soitf:R2?→Rdéfinie par :
f(x,y) =x3-y3.Dire si le graphe def:
G f={(x,y,z)?R3t.q.z=f(x,y)} admet un plan tangent au point(0,1,-1)et, le cas échant, donner l"équation du plan. Solution. Dire que le grapheGfadmet un plan tangent au point(0,1,-1)est équivalent à dire quefest différentiable au point(0,1). Clairement la fonctionfest de classeC1dansR2et donc différentiable dansR2. L"èquation du plan tangent est : t(x,y) =f(0,1) +∂xf(0,1)x+∂yf(0,1)(y-1) =-1-3(y-1) = 2-3yExercice 4.Soitf:R2?→Rdéfinie par :
f(x,y) =( x2y3x2+y2si(x,y)?= (0,0)
0sinon
- Est-elle continue dansR2? - Est-elle dérivable dansR2? - Est-elle de classeC1dansR2? - Est-elle différentiable dansR2?Solution.
•Continuité. La fonction est continue dansR2\ {(0,0)}. Pour étudier la continuité au point(0,0)on utilise les cordonnées polaires de centre(0,0): x=rcosθ y=rsinθ avecr >0etθ?[0,2π[. On veut montrer que : lim r→0f(rcosθ,rsinθ) = 0 et que cette limite ne dépend pas de l"angleθ. En pratique il faut trouver une fonction g(r)de la seule variablertelle que etg(r)→0sir→0. Rappel : ne pas mettre la valuer absolue dans la majoration conduità des résultats faux.
f(rcosθ,rsinθ) =r2cos2θr3sin3θr2(cos2θ+ sin2θ)=r3cos2θsin3θ
etr3→0sir→0. Donc lim (x,y)→(0,0)f(x,y) = 0 =f(0,0).Cela prouve que la fonction est continue dansR2.
2 •Dérivabilité. On se demande si la fonctionfest dérivable. Si(x,y)?= (0,0): ∂f∂x (x,y) =2xy5(x2+y2)2 ∂f∂y (x,y) =x2y2(3x2+y2)(x2+y2)2 Si(x,y) = (0,0)on est obligé de passer par la définition de dérivée partielle. ∂f∂x (0,0) = limh→0f(h,0)-f(0,0)h = limh→00-0h = 0 ∂f∂y (0,0) = limh→0f(0,h)-f(0,0)h = limh→00-0h = 0 Cela prouve quefest dérivable au point(0,0)et∂xf(0,0) =∂yf(0,0) = 0. •ClasseC1. On se demande si les dérivées partielles def: xf(x,y) =(2xy5(x2+y2)2si(x,y)?= (0,0)
0sinon
yf(x,y) =( x2y2(3x2+y2)(x2+y2)2si(x,y)?= (0,0)0sinon
sont fonctions continues dansR2. Elles sont continues dansR2\ {(0,0)}. Pour étudier la continuité au point(0,0)on calcule les limites : lim (x,y)→(0,0)∂xf(x,y) lim(x,y)→(0,0)∂yf(x,y) à l"aide des cordonnées polaires de centre(0,0). xf(rcosθ,rsinθ) =2rcosθr5sin5θr4(cos2θ+ sin2θ)2= 2r2cosθsin5θ.
et2r2→0sir→0. Donc lim (x,y)→(0,0)∂xf(x,y) = 0 =∂xf(0,0).Même chose pour∂yf:
yf(rcosθ,rsinθ) =r2cos2θr2sin2θ(3r2cos2θ+r2sin2θ)r4(cos2θ+ sin2θ)2= cos2θsin2θ(3r2cos2θ+r2sinθ)
et4r2→0sir→0. Donc lim (x,y)→(0,0)∂yf(x,y) = 0 =∂yf(0,0).Cela prouve quef?C1(R2).
3 •Différentiabilité. La fonction est de classeC1donc elle est différentiable dansR2.Exercice 5.Soitf:R2?→Rdéfinie par :
f(x,y) =¨ yx2+y2si(x,y)?= (0,0)
0sinon
- Est-elle continue dansR2? - Est-elle dérivable dansR2? - Est-elle différentiable dansR2?Solution.
•Continuité. La fonction est continue dansR2\ {(0,0)}. Pour étudier la continuité au point(0,0)on considère la restriction defà la droitey=x: f(x,x) =12x qui ne tend pas vers0 =f(0,0)lorsquex→0. Donc la fonction n"est pas continue au point(0,0).•Dérivabilité. On se demande si la fonction admet toutes les dérivées partielles. Si(x,y)?=
(0,0): ∂f∂x (x,y) =-2xy(x2+y2)2 ∂f∂y (x,y) =x2-y2(x2+y2)2Doncfest dérivable dansR2\ {(0,0)}.
Si(x,y) = (0,0)on est obligé de passer par la définition de dérivée partielle. ∂f∂x (0,0) = limh→0f(h,0)-f(0,0)h = limh→00-0h = 0 lim h→0f(0,h)-f(0,0)hLa dérivée partielle par rapport àxexiste dansR2et la dérivée partielle par rapport ày
existe dansR2\ {(0,0)}. Doncfest dérivable dansR2\ {(0,0)}.•Différentiabilité. La fonction est de classeC1dansR2\{(0,0)}car les dérivées partielles
sont quotient de fonctions continues. Donc elle est différentiable dansR2\ {(0,0)}. Elle ne peut pas être différentiable au point(0,0)car pas continue. Exercice 6.Une étude des glaciers a montré que la températureTà l"instantt(mesuré en jours) et à la profondeurx(mesuré en pieds) peut être modélisé parT(x,t) =T0+T1e-λxsin(ωt-λx),
ouω=2π365 etλ >0etT1?= 0. a) Calculer∂xTet∂tT. b) Montrer queTvérifie l"équation de la chaleur∂tT=k∂xxTpour un certaink?R. Solution. Dès queλ,ω,T1,T0sont constantes on a : a) xT=-λT1e-λxsin(ωt-λx) + cos(ωt-λx) tT=ωT1e-λxcos(ωt-λx) 4 b) xxT=∂2T∂2x= 2λ2T1e-λxcos(ωt-λx)
xxT∂ tT=2λ2T1e-λxcos(ωt-λx)ωT1e-λxcos(ωt-λx)=2λ2ω
Donc la fonctionTvérifie l"equation de la chaleur aveck=ω2λ2. Exercice 7.Soitf:R3?→Rla fonction définie par : f(x,y,z) =x3y+x2-y2-x4+z5.Après vérification de la validité du théorème de Schwarz, calculer la matrice hessienne def.
Solution. La fonction admet 3 dérivées d"ordre1par rapport à ses 3 variables : ?f(x,y,z) = (∂xf(x,y,z),∂yf(x,y,z),∂zf(x,y,z)) = (3x2y+ 2x-4x3,x3-2y,5z4)La fonction admet9 = 32dérivées d"ordre2:
2f∂
2x= 6xy+ 2-12x2
2f∂
2y=-22f∂
2z= 20z3
2f∂x∂y
= 3x22f∂x∂z
= 02f∂y∂x
= 3x22f∂y∂z
= 02f∂z∂x
= 02f∂z∂y
= 0Toutes les dérivées croisées sont égales. En fait le théorème de Schwarz dit que sifest de classe
C2dansR3alors la dérivation à l"ordre2ne depend pas de l"ordre dans lequel elle se fait.
Sous les hypothèses du théorème de Schwartz la matrice hessienne est symétrique carHi,jf=
xi,xjf=∂xj,xif=Hj,if. H f(x,y,z) = ∂2f∂x2∂2f∂x∂y
∂2f∂x∂z ∂2f∂y∂x ∂2f∂y2∂2f∂y∂z
∂2f∂z∂x ∂2f∂z∂y ∂2f∂z 2 (0) H f(x,y,z) =...6xy+ 2-12x23x20
3x2-2 0
Exercice 8.Soitf:R2?→Rla fonction définie par : f(x,y) = sinxsiny 5 Ecrire le polynôme de Taylor d"ordre2defau voisinage du point(0,0). Solution. La fonctionfest de classeC2au voisinage de(0,0)et son développement de Taylor d"ordre2est donné par : f(x,y) =f(0,0) +?f(0,0)·(x,y) +12 (x,y)THf(0,0)(x,y) +o(x2+y2)Dès que :
?f(x,y) = (cosxsiny,sinxcosy) et?f(0,0) = (0,0), la partie d"ordre1du développement est nulle. H f(x,y) =-sinxsinycosxcosy cosxcosy-sinxsinyLa partie d"ordre 2 est donnée par :
(x,y)THf(0,0)(x,y) = (x,y)T0 11 0
(x,y) = (x,y)T(yx) = 2xyDonc :
f(x,y) =xy+o(x2+y2). 6quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] dérivée partielle d'ordre 2
[PDF] dérivée partielle pour les nuls
[PDF] dérivée fonction composée tableau
[PDF] dérivée d'une fonction composée ? deux variables
[PDF] dérivée de fonction composée terminale s
[PDF] fonction polynome de degré 3 stmg
[PDF] fraction fonction dérivée
[PDF] tableau des dérivées u v
[PDF] tableau dérivée 1ere s
[PDF] dérivé de f au carré
[PDF] dérivée e^u
[PDF] dérivé de u^n
[PDF] u'u primitive
[PDF] dérivé de ln x