[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

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Fonctions de plusieurs variables

1. IntroductionEn première année, vous avez étudié les fonctions d"une variable : par exemple, sit7→f(t)représente

l"évolution d"une population en fonction du temps, vous savez déterminer ses caractéristiques (croissance,

maximum, limite...). Mais de nombreux phénomènes dépendent de plusieurs paramètres : par exemple, le

volume d"un gaz dépend de la température et de la pression, ou bien l"altitude d"un point à la surface de la

Terre dépend de la latitude et de la longitude. Le but de ce cours est de faire le même travail que pour les

fonctions d"une variable : étudier la croissance, les maximums, les limites... Bien sûr, la situation est plus

délicate, mais aussi plus intéressante, du fait qu"il y a plusieurs variables!1.1. Que sont les fonctions de plusieurs variables?

Dans ce chapitre, nous allons étudier les fonctions de plusieurs variables dans le cadre particulier deR2ou

R3, mais également dans le cadre général deRn. Ces fonctions seront donc de la forme f:E⊂Rn→R, oùn⩾1 est un entier naturel.

Autrement dit, les éléments de l"ensemble de départEseront desn-uplets du type(x1,...,xn)que l"on peut

considérer comme des vecteurs, et les éléments de l"ensemble d"arrivée seront des réels.

Exemple 1.

1.n

=1.f:I⊂R→R: c"est le cas le plus simple,x7→f(x), celui qui est connu depuis le lycée. Voici les

graphes des fonctionsx7→x·cos(x)etx7→arccos(x): FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES1. INTRODUCTION2xy x·cos(x)(0,0)(x,f(x))x f(x)xy arccos(x)01-1π 2

2.n=2.f:E⊂R2→R. On préfère noter les variables par(x,y)(au lieu de(x1,x2)). Ces fonctions

(x,y)7→f(x,y)seront notre principal sujet d"étude et sont représentées par des surfaces. À gauche, le

graphe de la fonction(x,y)7→sin(y)e-x2. À droite, le graphe de la fonction(x,y)7→sin(x y).Dès quen>2, il est assez difficile d"avoir une vision graphique.

Nous allons aussi étudier des fonctions, dites fonctions vectorielles, dont l"ensemble d"arrivée n"est pasR,

maisRp, donc de la forme f:E⊂Rn→Rp, oùn⩾1 etp⩾1 sont des entiers naturels. Dans ce cas, six= (x1,...,xn)est un vecteur deRn, alorsf(x)est un vecteur deRp, du typef(x) =

(f1(x1,...,xn),...,fp(x1,...,xn)). Attention, dans la suite,xdésignera parfois le vecteurx= (x1,...,xn)

et parfoisxdésignera un seul réel (comme par exemple pour une fonction de deux variablesf(x,y)).

Exemple 2.

1.n=1,p=2.f:I⊂R→R2est représentée par une courbe paramétrée du plan.

Exemple : la fonctionf:R→R2définie part7→(sin(2t),sin(3t)). Cela correspond à la courbe

paramétrée définie parx(t) =sin(2t)ety(t) =sin(3t).

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES1. INTRODUCTION3On peut interpréter le dessin comme l"ensemble des positions(x(t),y(t))∈R2que prend une particule

dans le plan en fonction du tempst∈R. 2.n

=1,p=3.f:I⊂R→R3est représentée par une courbe paramétrée de l"espace. Exemple : la

fonctionf:R→R3définie part7→(cost,sint,t). Cela correspond au mouvement dans l"espace d"une

particule(x(t),y(t),z(t)), qui ici parcourt une hélice.3.n=2,p=3.f:E⊂R2→R3: elles sont représentées par exemple par des surfaces paramétrées.

Voici l"exemple de la fonction

Chaque paramètre(u,v)∈R2correspond à un point(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∈R3de la surface hélicoï-

dale.

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES1. INTRODUCTION44.n=2,p=2.f:E⊂R2→R2: elles sont représentées par exemple par des champs de vecteurs. À

chaque point du plan(x,y)on associe le vecteur⃗v=f(x,y). (Sur la figure ci-dessous, seuls certains

vecteurs sont représentés.)

Dans ce chapitre, nous étudions surtout les fonctionsf:Rn→R, et plus particulièrement les fonctions

f:R2→Rouf:R3→R. Nous reviendrons plus tard sur les fonctions vectoriellesf:Rn→Rp.

1.2. Topologie deRn(rappels/compléments)

Voici quelques rappels de topologie dans l"espace vectorielRn.

Leproduit scalaireusuel dex= (x1,...,xn)ety= (y1,...,yn), noté〈x|y〉(ou bien parfoisx·y), est

défini par 〈x|y〉=x1y1+···+xnyn. Lanorme euclidiennesurRnest la norme associée à ce produit scalaire. Pourx∈Rn, la norme euclidienne dex, notée∥x∥, est définie par ∥x∥=AE〈x|x〉=qx 2

1+···+x2n.

Ladistanceentre le pointA= (a1,...,an)et le pointM= (x1,...,xn)est

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES2. GRAPHE5

•Laboule ouvertede centreA= (a1,...,an)∈Rnet de rayonr>0, notéeBr(A), est l"ensemble suivant :

Br(A) ={M∈Rn| ∥M-A∥ SoientUune partie deRnetA∈U. On dit queUest unvoisinagedeAsiUcontient une boule ouverte centrée enA. On dit queUest unouvertdeRnsi, pour tout pointA∈U,Ucontient une boule ouverte centrée enA. Dans le cas deR2, on note plutôt les coordonnées d"un point par(x,y). Alors : 〈(x,y)|(x′,y′)〉=xx′+y y′ ∥(x,y)∥=px 2+y2 Br(x0,y0) =(x,y)∈R2|(x-x0)2+(y-y0)2De gauche à droite : la norme euclidienne, un disque ouvert, un ouvertU.∥(x,y)∥(0,0)(x,y)xy

r (x0,y0)B r(x0,y0)xy AU

Exemples :

tout rectangle ouvert]a,b[×]c,d[est un ouvert deR2(à droite sur la figure), tout disque ouvert deR2est un ouvert deR2(à gauche sur la figure).xy abcd

2. Graphe

2.1. FonctionsDéfinition 1.

SoitEune partie deRn. Unefonctionf:E→Rassocie à tout(x1,...,xn)deEun seul nombre réel f(x1,...,xn).Exemple 3. 1. Distance d"un point à l"origine en fonction de ses coordonnées : f:R2-→R (x,y)7-→px 2+y2.

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES2. GRAPHE6

2. Aire d"un rectangle en fonction de sa longueur et sa largeur : f:R2-→R (x,y)7→x y. 3. Aire d"un parallélépipède en fonction de ses trois dimensions : f:R3-→R

(x,y,z)7→2(x y+yz+xz).Définition 2.Si on nous donne d"abord une expression pourf(x1,...,xn), alors ledomaine de définitiondefest

le plus grand sous-ensembleDf⊂Rntel que, pour chaque(x1,...,xn)deDf,f(x1,...,xn)soit bien définie. La fonction est alorsf:Df→R.Exemple 4.

1.f(x,y) =ln(1+x+y)

Il faut que 1+x+ysoit strictement positif, afin de pouvoir calculer son logarithme. Donc : D f=(x,y)∈R2|1+x+y>0

Pour tracer cet ensemble, on trace d"abord la droite d"équation1+x+y=0. On détermine ensuite de

quel côté de la droite est l"ensemble 1+x+y>0. Ici, c"est au-dessus de la droite.xy 11 x+y+1=02.f(x,y) =exp€x+yx

2-yŠ

Le dénominateur ne doit pas s"annuler :

D f=(x,y)∈R2|x2-y̸=0

Les points de l"ensemble de définition sont tous les points du plan qui ne sont pas sur la parabole

d"équation(y=x2).xy

11y=x23.f(x,y,z) =1px

2+y2+z2-2

L"expression sous la racine doit être positive (pour pouvoir prendre la racine carrée) et ne doit pas

s"annuler (pour pouvoir prendre l"inverse). Donc : D f=(x,y,z)∈R3|x2+y2+z2>2

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES2. GRAPHE7Autrement dit, ce sont tous les points en dehors de la boule fermée centrée en(0,0,0)et de rayonp2.xy

z

Définition 3.

L"imaged"une fonctionf:E→Rest l"ensemble des valeursf(x1,...,xn)prises parflorsque(x1,...,xn) parcourtE: Imf=f(x1,...,xn)|(x1,...,xn)∈E⊂RExemple 5.

1.f(x,y) =ln(1+x+y)

L"image defestRtout entier : Imf=R.

Preuve : soitz∈R. Alors, pour(x,y) = (ez,-1)∈Df, on a f(x,y) =f(ez,-1) =ln(ez) =z.

Donc toutz∈Rest dans l"image def.

2.f(x,y) =exp€x+yx

2-yŠ

Imf= ]0,+∞[.

Preuve : On a bien sûrf(x,y)>0pour tout(x,y)∈Df. Réciproquement, soitz∈]0,+∞[. Siz̸=1

alors, pour(x,y) = (1lnz,0)∈Df, on a f(x,y) =f(1lnz,0) =exp‚ 1lnz(

1lnz)2Œ

=exp(lnz) =z. Siz=1 alors, pour(x,y) = (1,-1)∈Df, on af(x,y) =f(1,-1) =exp(0) =1. 3.

P ourf(x,y,z) =1px

2+y2+z2-2, on a Imf= ]0,+∞[. À vous de faire la preuve!Définition 4.

SoitEune partie deRn. Unefonction vectoriellef:E→Rpassocie à tout(x1,...,xn)deEunp-uplet de nombres réels. On la note f:Rn-→Rp x7-→f1(x),f2(x),...,fp(x).

Nous nous limiterons souvent aux dimensions inférieures ou égales à3pournetp, la généralisation aux

dimensions supérieures ne posant pas de problème particulier, sauf pour faire des dessins. Voici quelques

exemples simples.

Exemple 6.

1. Aire et volume d"un parallélépipède rectangle en fonction de ses trois dimensions : f:R3-→R2 (x,y,z)7-→2(x y+yz+xz),x yz. 2.

Coordonnées polaires d"un point du plan :

f:R+×[0,2π[-→R2 (r,θ)7-→(rcosθ,rsinθ).

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES2. GRAPHE8

2.2. Graphe et lignes de niveauDéfinition 5.Soitf:Df⊂R2→Rune fonction de2variables. LegrapheGfdefest le sous-ensemble deR3formé

des points de coordonnées(x,y,f(x,y))avec(x,y)dans l"ensemble de définition. Le graphe est donc :

Représenter graphiquement le graphe n"est possible que pour les fonctions d"une seule variable ou de deux

variables. Pour les fonctions d"une variablef:Df⊂R→R, on rappelle que le graphe est G f=(x,y)∈R2|x∈Dfety=f(x).

Dans le cas d"une variable (à gauche), le graphe est une courbe; dans le cas de deux variables qui nous

intéresse ici, c"est une surface.xy G f(x,f(x))xf(x)xyz (x,y)(x,y,f(x,y))f(x,y)G fAfin de tracer le graphe d"une fonction de deux variables, on découpe la surface en morceaux.

Tranches.

Une première façon de faire : tracer, pour quelques valeurs deaetb, les graphes des fonctions partielles

f

1:x7→f(x,b)etf2:y7→f(a,y).

La première représente l"intersection du grapheGfavec le plan(y=b)(en orange) et la seconde représente

l"intersection du graphe avec le plan(x=a)(en vert).bf(x,b)xy af(a,y)xy

Lignes de niveau.

On va aussi s"intéresser à d"autres courbes tracées sur la surface : les courbes de niveau.Définition 6.

Soitf:Df⊂R2→Rune fonction de deux variables.

Laligne de niveauz=c∈Rest

L c=(x,y)∈Df|f(x,y) =c.

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES2. GRAPHE9•

Lacourbe de niveauz=cest la trace deGfdans le plan(z=c): G

f∩(z=c) =(x,y,c)∈R3|f(x,y) =c.La ligne de niveaucest une courbe du planR2, la courbe de niveaucest une courbe de l"espaceR3. On

obtient la courbe de niveaucen partant de la ligne de niveaucet en remontant à l"altitudec.

Exemple 7.

Soitf:R2→Rdéfinie parf(x,y) =x2+y2.

Sic<0, la ligne de niveauLcest vide (aucun point n"a d"altitude négative). Sic=0, la ligne de niveauL0se réduit à{(0,0)}. Sic>0, la ligne de niveauLcest le cercle du plan de centre(0,0)et de rayonpc. On remonteLcà l"altitudez=c: la courbe de niveau est alors le cercle horizontal de l"espace de centre(0,0,c)et de rayonpc.

Le graphe est alors une superposition de cercles horizontaux de l"espace de centre(0,0,c)et de rayonpc

avecc⩾0.

Ci-dessous : (a) le graphe, appelé paraboloïde de révolution, (b)5courbes de niveau, (c)10courbes de

niveau, (d) des lignes de niveau dans le plan.Exemple 8.

Sur une carte topographique, les lignes de niveau représentent les courbes ayant la même altitude.

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES2. GRAPHE10•

Ici, une carteOpen Street Mapavec, au centre, le mont Gerbier-de-Jonc (source de la Loire, 1551 m). •Les lignes de niveau correspondent à des altitudes par cran de10m (par exemple, pourc=1400, c=1410,c=1420...).

Lorsque les lignes de niveau sont très espacées, le terrain est plutôt plat; lorsque les lignes sont rappro-

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