Fonctions de plusieurs variables
Exo7. Fonctions de plusieurs variables. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr.
Cours de mathématiques - Exo7
aussi plus intéressante du fait qu'il y ait plusieurs variables ! + [[image ligne de niveau]]. 1.1. Que sont les fonctions de plusieurs variables ?
Fonctions de plusieurs variables
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´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Cela se note : cf = 1(x y) ? R2
Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R
A la lumière des exercices 5 et 6 on voit que l'étude de la continuité et de la dérivabilité d'une fonction de R dans Rp ne pose pas vraiment de difficulté
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Fonctions de plusieurs variables Limites dans R n 1 5 Exercices Exercice 6 Déterminer et représenter le domaine de définition maximal des fonctions de
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a) Le graphe de (xy) ?? x + y + 1 est le plan passant par (001) (102) et (012) b) Le graphe de (xy) ?? ?1 ? x2 ? y2 est ”l'hémisph`ere nord”
Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?
Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le planComment montrer qu'une fonction à plusieurs variables est C1 ?
Proposition : Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn. R n . f est de classe C1 sur U si et seulement si f est différentiable sur U et si l'application x?dfx x ? d f x est continue.Comment justifier qu'une fonction est de classe C2 ?
Une fonction f est de classe C2 sur ? si et seulement si elle admet des dérivées partielles d'ordre 1 et 2 en tout point de ?, et si ses dérivées partielles sont toutes continues sur ?.- L'astuce consiste souvent à trouver deux ensembles A = {(x,h(x))} et B = {(x,k(x))} (h et k fonctions à trouver) tels que lim(x,y)€A-->(0,0) f(x,y) est différent de lim(x,y)€B-->(0,0) f(x,y). Par exemple, sauf erreur: f(x,y) = xy2 / (x2 + y4), f(0,0) = 0.
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INSTITUTUNIVERSITAIREDE TECHNOLOGIE
IUT"A"Pa ulSabatier ,Toulouse3.
DUTG´enieC ivil
ModuledeMath´ematiq ues.
MATHEMATIQUES
El´ementsdecalculspourl'´ etude
desfonc tionsdeplusieursvariables etdes ´equati onsdi´erentielles.
G.Ch `eze
guillaume.cheze@iut-tlse3.fr http://www.mat h.univ-toulouse.fr/!cheze/Enseignements.html 2R`egledujeu
Ceciestunsup portdecou rspou rlemoduleM3del'IUTG´enieCiv ilde Toulouse.Danscemoduleilest questiondefo nctions deplusieursvariableset d'´equationsdi´erentielles.
Certainspassagesdecec ourscomportentdestrous, ilssontl` avolontairement. C'est`avousde lescomp l´eterduran tl'heure decour shebdomadaire.Lapar tie ducour strait´eeenamph ith´eˆatreseracompl´e t´eeet disponibler´eg uli`erementsur internet`al'adresse:http://www.ma th.univ-toulouse.fr/!cheze/. Lesexercic es`afaireenTDsetrouvent` alasuite ducoursetles corrections`ala findech aquech apitre. Jeser aireconnaissant` atoutepersonnemesignalantuneoudeserreursse trouvantdanscedocum ent.Apr ´esent,autravailetboncourag e`atou s!
i iiR`egledujeuTabledesmati` eres
R`egledujeui
IFonctionsdeplusieursvariables1
1Fonctionsdeplusieursvariables5
1.1D´efi nition.................................5
1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariable s......6
1.2.1D´efin ition.............................6
1.2.2Commen trepr´esenterlegraphe d'unefonctiondedeuxvariables8
1.3Exer cicesduTD.............................14
1.4Cor rectiondesexercices.........................17
2D´eriv´eespartielles,Di
´erentielles25
2.1Rapp el...................................25
2.2D´er iv´eespartielles.............................26
2.3Di2.4Utilisa tiondesdi
´erentielles,di
´erentielled'unefonctioncomp os´ee.30
2.5Exer cicesduTD.............................33
2.6Cor rectiondesexercices.........................34
3Approximationa
ne,Calculd'incertitude373.1App roximationd'unefonction`auneseulevaria ble...........37
3.2Appr oximationd'unefonctiondeplusieursvaria bles..........39
3.3Calcu ld'erreur..............................40
3.3.1Lecasd esfonc tionsd'une seulevariab le............40
3.3.2Lecasd esfonc tionsdeplu sieursvaria bles...........42
3.4Exer cicesduTD.............................45
3.5Corr ectiondesexercices.........................48
4Extremad'unefonctiondedeuxvariables55
4.1Rapp eldanslecasd'uneseu levariable.................55
4.2Extr ´emumlocald'unefonctiondeplusie ursvariables.........58
4.3Exer cicesduTD.............................64
4.4Cor rectiondesexercices.........................65
iii ivTABLEDESMATI ERES IIEquationsdi
´erentielles71
1Equationsdi
´erentielleslin´eairesd'ordre173
1.1Pr´e sentationg´en´erale...........................73
1.1.1Equationsdi
1.1.2Solution sd'une´equationdi
´erentielle..............74
1.1.3Inter pr´etationg´eom´etrique....................75
1.2M´e thodesder´esolutiondes´equat ionsdi
´erentielleslin´eairesd'o rdre177
1.2.11.2.2Calcul d'unesolutionpartic uli`ere................79
1.2.3Solution g´en´erale.........................81
1.2.4Astuce s..............................81
1.3Exer cicesduTD.............................85
1.4Corr ectiondesexercices.........................87
2Equationsdi
´erentielleslin´eairesd'ordre2`ac oe
cientscons tants952.1G´en ´eralit´es................................95
2.2R´es olution.................................96
2.2.1R´esolu tiondel'´equationhomog`eneass oci´ee ..........96
2.2.2Calculd 'unesolutionpartic uli`ere................99
2.3Exe rcicesduTD.............................101
2.4Corr ectiondesexercices.........................102
IIIA nnexes109
AAnnalescorrig´ees111
BTrouverl'erreur121
CAlphabetgrec125
Premi`erepartie
Fonctionsdeplusieursvari ables
1 Jusqu'`apr´esentvousav ezsurtoutrencontr´edesf onctionsd'unevariable. Cepen- dantlesph´eno m`enes naturelsned´ependentpaseng´en´erald'uneseulevar iable.Par exemple:lavitessemoye nne vd´ependdeladistanceparc ourue detdu tempstmis poure ectuerceparcours,o nav=d/t.Un autree xempleestdonn´ep arlecalcul del'aired 'unrectang le:A=L"l.L 'aireestunefon ctiondelalon gueurLetdela largeurl.Da nscettepartie ,nousallons´etud ierlesfonctionsdeplus ieursvariables. Nousauronsun eattentiontoutepar ticuli`erep ourlesfonctionsdedeux variablescar danscecasnou spourr onsencor efairedesdess ins.Ensuitenousverronsquenous pouvonsaussifairedesca lculsded´eriv´ees .Celaserautilis´ epoure !ectuerdescalculs d'incertitudeetpourtrouverlesextr ema(ma ximum,minimum)d 'unefonctionde plusieursvariables. 3 4Chapitre1
Fonctionsdeplusieursvari ables
Nousallonsdan scechapitred´ efinirlesfonct ionsdep lusieursvariables.Nousno us int´eresseronsplusparticuli`erementauxfonc tionsdedeu xvariablesetauxdive rses1.1D´efinit ion
L'exempleleplussimpledefon ctio nsdedeux variablesestdo nn´epa rl'aired'un rectangle:A=L"l.Letl´etantdesnombresp ositifsnous repr´esentonscette fonctiondelamani`eresuiv ante: f:R "R #$R (L,l)%#$L"l R "R s'appelleledomaineded´ efin itiondelafonctionf. D'unemani`ere g´en´eralenouspouvonsavo irnvariableso`und´esigneunnombre entier. D´efinition1.Soitnunn ombreentieretDunepart iedeR n .Unefonctionfde nvariablesestunproc´ ed´e quiatoutn-uplet(x 1 ,...,x n )deDassocieununiqu e nombrer´eel.Celasenote delaman i`eresuivant e:
f:D#$R (x 1 ,...,x n )%#$f(x 1 ,...,x nDestle domaineded´ efinitiondef.
Remarque:Lanotation(x
1 ,...,x n )es tl`apourm ontrer quenousavons nva- riables.Enpratique,lo rsquen ousn'avonsquedeuxvariables nouslesnoton sxety plutˆotquex 1 etx 2 56Fonctionsdeplusieursvariables
Parexemple ,lafonctionsuivantedonn elad istanced'unpointdecoordonn´ees(x,y) `al'origin eduplan. f:R 2 #$R (x,y)%#$ x 2 +y 2 festunefon ctiondedeu xvariables,R 2 estsondom aineded´efi nition. Voici,iciunexe mpled'un efonct iondetroisvariables:( x;y;z). g:R"R"R #$R (x,y,z)%#$ xcos(y)+2y 3 z 5 gestunefo nctiondetr oisvariables,R"R"R estsondo maineded´e finition. Exercice1.Lafo rmulesuivantepermetd ed´efinirunefonctionde2v ariables: f(x,y)=ln (x)+s in(y)1.Donner l'imagede (e,0).
2.D onnerleplus granddomainede d´efinitionpossibl epourf.
Solution:
1.f(e,0)=ln(e)+s in(0 )=1+0=1.
L'imagede(e,0)par fest1.
2.Pour queln(x)ex isteilfaut(etilsu"t)quex>0.Don cx&R
sin(y)ex istepourtouty&R.Doncy&R. Ainsileplusgra ndd omaineded´ efinitionpossiblepo urfest:R "R.1.2Repr´es entationgraphiqued'unefonctionde
deuxvari ables1.2.1D´efini tion
Avantdedonnerlad ´efinitio ndugraphed'unefonc tion dedeuxvariablesnous allonsrappeler cequ'estlegraphed'unefon ctiond 'unevariable.D´efinition2.Soit
f:D#$R x%#$f(x)Legra pheC
f def(fonctiond'uneseule variable)estl'ensemble despointsduplan deco ordonn´ees(x;f(x))avecx&D.Celasenote :
C f ={(x,y)&R 2 |y=f(x),x&D}1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariab les7
Ainsipourtrac erlegraphed'un efonctiond'unevariab lenousavons rajout´e unenouvelle variabley.Legrap heestalorsunecourb edansleplan R 2 Pourlesfonct ionsded euxvariablesxetynousallonsaus sirajouterunevariablez etlegra ph eseraalorsunesurfac edel'espaceR 3D´efinition3.Soit
f:D#$R (x,y)%#$f(x,y)Legra pheS
f def(fonctiondedeuxvariables) estl'en sembledespoin tsdel'espace deco ordonn´ees(x;y;f(x,y))avec(x,y)&D.Celasenote :
S f ={(x,y,z)&R 3 |z=f(x,y),(x,y)&D}Remarque:
S f estunes urfacedan sR 3 Ach aquepoint(x,y)&DcorrespondunpointsurlasurfaceS f .Vo icicomment onplac elespointsdans unrep` ere. (x,y) z x y (x,y,f(x,y))Figure1.1-Utilis atio nd'unrep`ere`a3dimensio ns.
Afindevous familiar iseraveclesgra phesdesfonctionsdedeuxva riablesvoici quelquesexemples.1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariab les9
Remarque:Cesdeuxderniersp lan snesontpa sdesrepr´ese ntationsgraphiq ues d'unefonctiond edeuxvariables(x,y).Ene !etnous nepouvonspas fairec orres- pondreunpointde(xOy)av ecunseulpoint decesp lans.Exercice2.Soit
f:R 2 #$R (x,y)%#$x 2 +y 21.D´ eterminer,nommerettracerlaprojectiondans leplanxOzdeS
f {y=k} pourk=1;2;puispourk&R.2.E stcequeS
f {y=k}estle graphed'une fonctiond'u nevariable?Sioui , laquelle?3.D ´eterminer,nommerettracerlaprojectiondans leplanyOzdeS
f {x=0}.4.Est cequeS
f {x=0}estle graphed'unef onctiond'une variable?Sioui, laquelle?5.D ´etermineretnommerlaprojectiondansle planxOydeS
f {z=k}pour k=1;2;0;#1puispourk&R6.Est cequeS
f {z=k}estle graphed'une fonctiond'u nevariable?Sioui , laquelle?7.E nd´eduir elarepr´esentationgraphiquedef.
Solution:
1.-S f {y=1}={(x,y,z)&R 3 |z=x 2 +y 2 ,y=1}. S f {y=1}={(x,1,z)&R 3 |z=x 2 +1 2Laproj ectiondansleplanxOzdeS
f {y=1}est: {(x,z)&R 2 |z=x 2 +1}Nousobteno nsuneparab oledesommet(0,1).
-La projec tiondansleplanxOzdeS f {y=2}est: {(x,z)&R 2 |z=x 2 +4}Nousobteno nsuneparab oledesommet(0,4).
-La projec tiondansleplanxOzdeS f {y=k}est: {(x,z)&R 2 |z=x 2 +k 2Nousobteno nsuneparab oledesommet(0,k
210Fonctionsdeplusieursvariables
x z k 2Figure1.4-Cou ped eS
f parleplany=k. 2.S f {y=k}estlegrap hed elafonctiond'uneseulev ariable : f y=k :R#$R x%#$x 2 +k 2 3.S f {x=0}={(x,y,z)&R 3 |z=x 2 +y 2 ,x=0}. S f {x=0}={(0,y,z)&R 3 |z=0+y 2Laproj ectiondansleplanyOzdeS
f {x=0}est: {(y,z)&R 2 |z=y 2Nousobte nonsuneparabo ledesommet(0,0).
4.S f {x=0}estlegraph ede lafonctiond'uneseulev ariable: f x=0 :R#$R y%#$y 2 5.-S f {z=1}={(x,y,z)&R 3 |z=x 2 +y 2 ,z=1}. S f {z=1}={(x,y,1)&R 3 |1=x 2 +y 2Laproj ectiondansleplanxOydeS
f {z=1}est: {(x,y)&R 2 |1=x 2 +y 2Nousobteno nslece rcledecentreOetde rayon1 .
1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariab les11
-La projec tiondansleplanxOydeS f {z=2}est: {(x,y)&R 2 |2=x 2 +y 2quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] dérivée partielle d'ordre 2
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