[PDF] FONCTION DERIVÉE Calculons le nombre dérivé





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Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes

(n??) f ' (x) = nxn–1. ?. A f (x) = 1 x f ' (x) = –. 1 1 selon les valeurs de l'exposant. voir les dérivées précédentes. 5 f (x) = cos x.





FONCTION DERIVÉE

Calculons le nombre dérivé de la fonction f en un nombre réel quelconque a. 1 x2. R {0} f (x) = 1 xn n ?1 entier. R {0} f '(x) = ? n xn+1.



Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuelles - Formulaire

Dérivées des fonctions usuelles. Dans chaque ligne f? est la dérivée de la fonction f sur l'intervalle I. f (x). I f? (x) ? (constante). R. 0 x. R. 1 xn (n 



Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation

1 Dérivation des fonctions élémentaires. Fonction. Df. Dérivée. D f f(x) = k. R f (x) = 0. R f(x) = x. R f (x) = 1. R f(x) = xn n ? N?. R f (x) = nxn?1.



formulaire.pdf

x?+? ln(x)/xn = 0. Dérivées. Fonctions usuelles Fonctions usuelles. R`egles de dérivation. Exemples f(x) f?(x) f(x) f?(x) k. 0 x. 1. (u + v)? = u? + v?.



Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Rappelons l'interprétation géométrique de la dérivée : si f est dérivable en Exemples. a) Soit n ? 1 un entier nous allons dériver la fonction f : x ...



Fonctions dérivables 1 Calculs

(1+x)n x ? 0. 1. (a) Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f (x) pour x ? 0. On veut montrer que pour t < 0





Chapitre 4 Formules de Taylor

x2n+1. (2n + 1)!. + x2n+1?(x). En effet on doit calculer les dérivées successives de 3!+ ··· + xn n! + xn?(x). En effet





[PDF] FONCTION DERIVÉE - maths et tiques

Ainsi pour tout x de R \{0} on a : f '(x) = ? 1 x2 II Opérations sur les fonctions dérivées Exemple : Soit la fonction f définie sur R par f (x) 



[PDF] Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation

règles de dérivation 1 Dérivation des fonctions élémentaires Fonction Df Dérivée D f f(x) = k R f (x) = 0 R f(x) = x R f (x) = 1 R f(x) = xn



[PDF] Tableaux des dérivées

Dérivées des fonctions usuelles Notes Fonction f Fonction dérivée f ' (n??) f ' (x) = nxn–1 ? A f (x) = 1 x f ' (x) = – 1



[PDF] Tableau de dérivées - Parfenoff org

Exemple 3 : Calculer la dérivée de la fonction : ( ) = 1 2?2 +4 2 ? 2 + 4 = 0 n'a pas de solution dans ? car ? = 4 ? 4 × 4 = ?12 < 0 donc 



[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Rappelons l'interprétation géométrique de la dérivée : si f est dérivable en Exemples a) Soit n ? 1 un entier nous allons dériver la fonction f : x 



[PDF] DERIVATION (COURS-EXERCICES) YjY 1 Dérivation premières

il n'y a pas de dérivées à droite et à gauche : par exemple limx?0+f(x) ? f(0) x ? 0 Exercice : Calculer la dérivée n-ième de x ?? xn(1 ? x)n



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1 Dérivabilité en un point a) Nombre dérivé xn ? xn 0 x ? x0 = xn?1 + x0xn?2 + x2 0 xn?3 + ··· + xn?1 diaporama_fonctions_convexes pdf



[PDF] LA DÉRIVÉE

1 Dérivée des fonctions usuelles Contrairement la fonction f(x) = x3ex n'est pas une fonction composée Il s'agit simplement d'un produit de 



[PDF] Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée

1 x f (x) = ? 1 x2 R ? f(x) = 1 xn(nentier ? 2) f (x) = ? n xn+1 dérivée f est elle-même une fonction qui à tout x associe f (x) (le nombre 

  • Comment calculer la dérivée N-ième ?

    dndxn(cos(x))=cos(x+n?2) et dndxn(sin(x))=sin(x+n?2).

  • Quelle est la dérivée de 1 X ?

    Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0).

  • Quelle est la dérivée de zéro ?

    Opérations sur les dérivées
    par f(x) = x + 2 est f'(x) = 1. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. De plus, x = x1, donc on la dérivé de x est : x' = 1x0 = 1 car tout nombre à la puissance 0 vaut 1.
FONCTION DERIVÉE

1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frFONCTION DERIVÉE I. Dérivées des fonctions usuelles Exemple : Soit la fonction f définie sur

par f(x)=x 2 . Calculons le nombre dérivé de la fonction f en un nombre réel quelconque a. Pour h≠0 f(a+h)-f(a) h a+h 2 -a 2 h a 2 +2ah+h 2 -a 2 h =2a+h Or : lim h→0 f(a+h)-f(a) h =lim h→0

2a+h=2a

Pour tout nombre a, on associe le nombre dérivé de la fonction f égal à 2a. On a donc défini sur

une fonction, notée f ' dont l'expression est f'(x)=2x

. Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de f. Le mot " dérivé » vient du latin " derivare » qui signifiait " détourner un cours d'eau ». Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d'une autre fonction. Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I. Dans ce cas, la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f '. Formules de dérivation des fonctions usuelles : Fonction f Ensemble de définition de f Dérivée f ' Ensemble de définition de f '

f(x)=a a∈! f'(x)=0 f(x)=ax a∈! f'(x)=a f(x)=x 2 f'(x)=2x f(x)=x n n≥1 entier f'(x)=nx n-1 f(x)= 1 x \{0} f'(x)=- 1 x 2 \{0} f(x)= 1 x n n≥1 entier \{0} f'(x)=- n x n+1 \{0} f(x)=x

0;+∞

f'(x)= 1 2x

0;+∞

2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frExemples : Vidéo https://youtu.be/9Mann4wOGJA 1) Soit la fonction f définie sur

par f(x)=x 4 alors f est dérivable sur et on a pour tout x de f'(x)=4x 3 . 2) Soit la fonction f définie sur \{0} par f(x)= 1 x 5 alors f est dérivable sur -∞;0 et sur

0;+∞

et on a pour tout x de \{0}, f'(x)=- 5 x 6 . Démonstration pour la fonction inverse : Soit la fonction f définie sur \{0} par f(x)= 1 x . Pour h≠0 et h≠-a f(a+h)-f(a) h 1 a+h 1 a h a-a-h a(a+h) h 1 a(a+h) Or : lim h→0 f(a+h)-f(a) h =lim h→0 1 a(a+h) 1 a 2 Pour tout nombre a, on associe le nombre dérivé de la fonction f égal à 1 a 2 . Ainsi, pour tout x de \{0}, on a : f'(x)=- 1 x 2 . II. Opérations sur les fonctions dérivées Exemple : Soit la fonction f définie sur par f(x)=x+x 2 . Pour h≠0 f(a+h)-f(a) h a+h+a+h 2 -a-a 2 h a+h+a 2 +2ah+h 2 -a-a 2 h h+2ah+h 2 h =1+2a+h donc lim h→0 f(a+h)-f(a) h =lim h→0

1+2a+h=1+2a

alors f est dérivable sur et on a pour tout x de f'(x)=1+2x

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frOn pose pour tout x de

u(x)=x et v(x)=x 2 . On a ainsi : f(x)=u(x)+v(x) . Pour tout x de u'(x)=1 et v'(x)=2x . On constate sur cet exemple que : f'(x)=u'(x)+v'(x) . Soit encore : u+v '(x)=u'(x)+v'(x)

Formules d'opération sur les fonctions dérivées : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Démonstration pour la somme et l'inverse : - On veut démontrer que :

lim h→0 u+v (a+h)-u+v (a) h =u'(a)+v'(a) u+v (a+h)-u+v (a) h u(a+h)+v(a+h)-u(a)-v(a) h u(a+h)-u(a) h v(a+h)-v(a) h

Comme u et v sont dérivables sur I, on a :

lim h→0 u(a+h)-u(a) h =u'(a) et lim h→0 v(a+h)-v(a) h =v'(a) donc : lim h→0 u+v (a+h)-u+v (a) h =u'(a)+v'(a) 1 u (a+h)- 1 u (a) h 1 u(a+h) 1 u(a) h u(a)-u(a+h) hu(a)u(a+h) u(a+h)-u(a) h 1 u(a)u(a+h) u+v est dérivable sur I u+v '=u'+v' ku est dérivable sur I, où k est une constante ku '=ku' uv est dérivable sur I uv '=u'v+uv' 1 u est dérivable sur I, où u ne s'annule pas sur I 1 u u' u 2 u v est dérivable sur I, où v ne s'annule pas sur I u v u'v-uv' v 2

4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frdonc :

lim h→0 1 u (a+h)- 1 u (a) h =-u'(a)× 1 u(a)u(a) u'(a)quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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