Calcul des primitives
4 mai 2012 En pratique pour calculer une primitive d'une fonction donnée
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Pour calculer cette intégrale il suffit de trouver une primitive de f
Chapitre 7 Calcul de primitive
Exemples : La fonction ln est une primitive de la fonction inverse sur On va voir comment calculer des intégrales dans certains cas lorsque l'on.
Le Calcul de Primitives —
25 oct. 2017 Pour calculer une primitive d'une fonction nous avons 3 outils principaux `a notre disposition : 1. Les primitives usuelles `a conna?tre par ...
Calculs de primitives et dintégrales
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles Calculer les intégrales suivantes (a b réels donnés
Calculs dintégrales et de primitives
est un polynôme primitive de P (de degré n + 1) que l'on choisira sans terme Théorème 1.7 (Changement de variable pour le calcul de primitives).
Chapitre 1 - Intégration et calcul de primitives
Toute fonction continue admet une primitive sur un intervalle. 2. Si on connait une primitive de f alors le calcul de. ? b a f(
Calculs dintégrales et de primitives
Soit F = P. Q. ? R(X) une fonction rationnelle réelle. L'objectif de ce paragraphe est de calculer une primitive de F sur R. On commence par présenter quelques
Chapitre 4 : Calcul de primitives
Calculer les primitives de 1- x?xest définie et continue sur ]0+?[
PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ?. On dit que la fonction g est une solution de l'équation différentielle ' = sur I si
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Primitives et Calcul d'une intégrale I) Primitive 1) Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle I On appelle primitive de sur I
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La plupart des primitives que l'on sait calculer formellement se ramènent à des calculs de primitives de fractions rationnelles par des changements de variable
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En particuliersi u > 0 : ?a ? R (ua)? = ?u?ua?1 Primitives des fonctions usuelles Dans chaque ligne F est une primitive de f sur l'intervalle I Ces
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Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que pour tout réel x de I F (x) = f(x) Théor`eme 12 Toute fonction continue sur un
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Calcul d'une primitive Il devient facile de calculer une primitive de F : ? F(x) dx = 5 ? 1 x2 dx+3 ? 1
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29 avr 2010 · Toutes les primitives de ces tableaux s'obtiennent à partir de la connaissance parfaite Tableau des primitives des fonctions usuelles
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Comme (2) = 1 on a : 2 ?3×2+ =1 ?2+ =1 =1+2=3 D'où ( ) = ?3 +3 Partie 2 : Calculs de primitive 1) Primitives des fonctions usuelles
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3 Calculs explicites d'intégrales et de primitives 5 1 Calculs de primitives selon les différentes situations et comment l'appliquer
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toujours possible d'exprimer la primitive ou l'intégrale d'une fonction qui permet donc de calculer la primitive d'un intégrand pouvant être écrit sous
Comment faire pour calculer les primitives ?
Pour déterminer une primitive d'une fonction rationnelle, on décompose celle-ci en une somme d'une fonction polynôme et d'une fonction inverse. Exemple : Soit f\\left ( x \\right )=\\frac{x^{2}+2}{x-3} définie sur ]3\\, ;+\\infty[. Elle peut s'écrire sous la forme : f\\left ( x \\right )=ax+b+\\frac{c}{x-3}.Quel est la primitive de ? ?
Autrement dit la dérivée de 2/3 x^(3/2) c'est ?x. ? nous dit donc que F(x) = 2/3 x^(3/2) est une primitive racine de x.Comment calculer une primitive sur un intervalle ?
deux primitives d'une même fonction, sur un intervalle, ne diffèrent que d'une constante. Soit G fonction définie sur I par G(x) = F(x)+k avec k réel. * Par addition, G est dérivable sur I. De plus : G'(x) = F'(x) = f (x) pour tout x de I donc G est une primitive de f sur I.- Définition de la primitive. Lorsque l'on a une fonction f(x) , il existe toujours une autre fonction F(x) , telle que si je la dérive donc F'(x) elle me donne la fonction f(x). D'autant il n'existe pas une seule fonction mais au contraire une infinité. Qu'est ce qu'une Primitive.
![Chapitre 7 Calcul de primitive Chapitre 7 Calcul de primitive](https://pdfprof.com/Listes/17/57736-17chapitre7.pdf.pdf.jpg)
Chapitre7
Calculdeprimitiv e
4950CHAPITRE7.CALCULDEPRI MITIVE
7.1Th´e orie
7.1.1Primiti vesetint´egrales
D´efinition:Soitfunefonctiond ´efiniesur unintervalleI.Ondit queF estunepr imitivedefsurIsiFestd´ erivablesurIetF =f. Exemples:Lafonc tionlnestuneprimitivedela fonction inverses ur ]0;+∞[,la foncti onexpestuneprimitived'e lle-mˆeme surR,lafonction sinestu neprimiti vedelafo nctioncos,lafonctionf 1 :x?→ 3 4 x 4 +5x 2 +18 estun eprimitiv edelafonctionf 2 :x?→3x 3 +10xsurR,mais´egalement f 1 -12ou enc oref 1 tion). Onvoit surledernie rexemplequ'unef onct ionfquiadme tuneprimitive Fena dmetenfaitune infinit ´epuisqueF+kseraencore uneprimit ivedef quelqueso itk?R(oumˆeme k?Csio nconsid `eredesfonctions`avaleurs complexes).Cependant,cesontles seules: Propri´et´e:Soitfunefonctionqui admetune primitiveFsuruninter - valleI.Alor slesprimitivesdefsontlesfonctions dela formeF+kaveck constante.Deplus,si a?I,alors fadmetuneunique primitive quis'annule enI. Remarque:¸Can 'ad onc pas des ens de par ler delaprimitived'unefonct ion fpuisqu'elleenauneinfinit ´e,mais¸ca ena undepa rlerdelaprimitivedef quis'ann uleena. Consid´eronsmaintenantunefonctio nfquiadmet uneprimitiveFsur uninte rvalleIet(a,b)?I 2 .SiGestu neautrepr imitivedefsurI alorsilexiste unec onstantektellequeG=F+k.DoncG(b)-G(a)= (F(b)+k)-(F(a)+k)=F(b)-F(a).D oncl'accroissement delaprimitive entreaetbned ´ependpasdelaprimitiveconsid´er´e e,maisuniquemen tde la fonctionfetdes nombr esaetb.Onluidonneunnom: D´efinition:Sifadmetunepr imitive Fsuruninter valle Ietsi(a,b)?I 2 alorsonappel leint´ egraledefentreaetb,not´ ee b a f(x)dxlenombreF(b)-F(a).
7.1.TH
EORIE51
Remarques:
-Sigestu nefonctionq uelconque,onnote[g(x)] b a ler ´eelg(b)-g(a).On adonc b a f(x)dx=[F(x)] b a -Ona b a f(x)dx=- a b f(x)dx. nec hangerienaur´es ultatdelasomme: n k=0 a k n j=0 a j n p=0 a p .De mˆemepourl'int´ egrale,leno mdelavariableintervenantdansl'intr´eg ale n'intervientpasdansler´esulta t: b a f(x)dx= b a f(t)dt= b a f(u)du. Attentioncependant`anepa schoisircommenomdevariable unedes bornesdel'int´e grale( i.e´eviter b a f(b)db).Exemples:
10 6 (t 3 +5t)dt= 1 4 t 4 5 2 t 2 10 6 1 4 10 4 5 2 10 2 1 4 6 4 5 2 6 22750-414= 2336.
321 dt t =[ln(t)] 32
1 =ln(3 2)-ln(1)=ln(32) =5ln( 2). /4 0 tan(x)dx= /4 0 sin(x) cos(x) dx=[-ln(cos(x))] /4 0 1 2 ln(2). /2 0 (sin(x)+xcos(x))dx=[xsin(x)] /2 0 2
7.1.2Propri´et´e sdel'int´egrale
Onv avoirquelque spropri´et´es calculatoiresdel'int ´egrale. Soitfunefonc tionquiadmetuneprimitive Fsurunin terval leIet (a,b,c)?I 3 .Alo rsF(c)-F(a)=F(b)-F(a)+F(c)-F(b).Autre ment dit,o nalapropri´ et´ esuivan te:Propri´et´e(relationdeChasles):Ona
c a f(x)dx= b a f(x)dx+ c b f(x)dx (sousr´ eserved'existencedestroisint´egrales).Demˆ eme,nousmontrons:
52CHAPITRE7.CALCULDEPRI MITIVE
b a (λf(x)+µg(x))dx=λ b a f(x)dx+µ b a g(x)dx Propri´et´e:Sif?0(resp.f?0)surun segment[a,b](etadmetune primitive),alors b a f(x)dx?0(resp. b a f(x)dx?0).De plus,sia´egalement. Exemple:Sanscalc ulerdeprimitive(enadmetta ntqu'il yenait),onsait que 1 0 e arcsin(x) dx>0. Remarque:Lesnombresaetbneson tpasquelconques:o ndoita voir Corollaire:Onpeut int´egrerlesin ´egalit´esentreaetbsia?b. Propri´et´e(in´egalit´etriangula ire):Ona b a f(x)dx b a |f(x)|dx (sousr´ eserved'existencedecesint´egrales).Exemple:Pourtoutn?N,ona:
1 0 cos 3 (x)sin 2 (x)x n dx 1 0 |cos 3 (x)sin 2 (x)x n |dx? 1 0 x n dx= 1 n+1Onen d´eduitque
1 0 cos 3 (x)sin 2 (x)x n dx→0quandn→∞etce,sa nsfa ire decalc uldeprimitives(en admettan tquetoutescesfonctionsen admettent).7.1.3Interpr´et ationsgraphiques
Proposition.Soitfunefonctionc ontinueadmettantune primitivesur [a,b],alors ilexistec?[a,b]telque f(c)= 1 b-a b a f(t)dt.7.2.CALCULSD'I NT
EGRALES53
Propri´et´e:Soitfunefonctionc ontinuesurI.Alor sfadmetune(et donc des)primit ive(s)surI.De plussi(a,x)?I 2 ,lavaleur enxdelapr imitive defquis'annuleen aestl'aire compriseentre lacourberepr´esenta tivede fetl'axedes abscissessurl'inter valle[a,x](avecdesconventionsde signes).Remarques:
partirdumomen to` uunefonctionfestco ntinuesurunintervalle[ a,b], ons aitque b a f(x)dxexiste. ´eg ali t´e sde vie nne nt´evid ent es sio nle sre gar dee nte rme sd 'ai res ous la courbe. continuessur[a,b],alors ona b a f(t)g(t)dt 2 b a f 2 (t)dt b a g 2 (t)dt.7.2Calculs d'int´egrales
Onva voircomment calculerde sint´egralesdansc ertainscaslorsquel'on nedisp osepasdirectementd'uneprimitive delaf onction`aint´egrer.7.2.1Int´egrat ionparpartiesetchangementdevariable
position),onpeutd´eduiredesm ´ethod esdecalcu lsd'int´egrales:Soientuetvdeuxfonctionsde classeC
1 suruni ntervall e[a,b].On aalor s (uv) =u v+uv doncu v=(uv) -uv .Commetouteslesfonctionssont continuessur[a,b],on peutl esint´egrer: b a u (x)v(x)dx= b a (uv) (x)dx- b a u (x)v(x)dx54CHAPITRE7.CALCULDEPRI MITIVE
Or,uvestun eprimitiv ede(uv)
sur[a,b],do nc b a (uv) (x)dx=[u(x)v(x)] b aOna donclapr opri´e t´e suivante:
Propri´et´e(Int´egrationparparti es):Siuetvsontdeclasse C 1 surun intervalle[a,b]alors: b a u (x)v(x)dx=[u(x)v(x)] b a b a u (x)v(x)dxExemples:Calculer
3 0 xe x dx. -laprimitivedef:x?→x 3 ln(x)quis'annuleen1. Regardonsmaintenantceque l'onpeutobteniravecdesc ompositions.Soitφunefo nctiondeclasseC
1 suruni nterval le[a,b]etfcontinuesur φ([a,b]).Noton sFuneprimitiv edefsurφ([a,b]).Alors (F◦φ) =(F (f◦φ)φ ,autrementdit,F◦φestun eprimiti vede(f◦φ)φ sur[a,b].On a donc b a f(φ(x))φ (x)dx=[(F◦φ)(x)] b a =F(φ(b))-F(φ(a)).On end´ed uit lapr opri´et´esuivante: Propri´et´e(changementdevariables) :Siφestdeclasse C 1 surun intervalle[a,b]etfcontinuesurφ([a,b]),alors : b a f(φ(x))φ (x)dx=φ(b)
φ(a)
f(x)dxExemple:Onca lcule
/2 0 (sin 3 (x)-5sin(x))cos(x)dx.Pourcela,ilsuffit d'appliquerlaform uleav ecφ(x)=s in(x)etf(x)=x 3 -5x.Onaalors: /2 0 (sin 3 (x)-5sin(x))cos(x)dx= 1 0 (x 3 -5x)dx=-quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] derivee de arcsin et arccos
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