Calculs de primitives et dintégrales PDF

Calcul des primitives

4 mai 2012 En pratique pour calculer une primitive d'une fonction donnée

Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Pour calculer cette intégrale il suffit de trouver une primitive de f

Chapitre 7 Calcul de primitive

Exemples : La fonction ln est une primitive de la fonction inverse sur On va voir comment calculer des intégrales dans certains cas lorsque l'on.

Le Calcul de Primitives —

25 oct. 2017 Pour calculer une primitive d'une fonction nous avons 3 outils principaux `a notre disposition : 1. Les primitives usuelles `a conna?tre par ...

Calculs de primitives et dintégrales

Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles Calculer les intégrales suivantes (a b réels donnés

Calculs dintégrales et de primitives

est un polynôme primitive de P (de degré n + 1) que l'on choisira sans terme Théorème 1.7 (Changement de variable pour le calcul de primitives).

Chapitre 1 - Intégration et calcul de primitives

Toute fonction continue admet une primitive sur un intervalle. 2. Si on connait une primitive de f alors le calcul de. ? b a f(

Calculs dintégrales et de primitives

Soit F = P. Q. ? R(X) une fonction rationnelle réelle. L'objectif de ce paragraphe est de calculer une primitive de F sur R. On commence par présenter quelques

Chapitre 4 : Calcul de primitives

Calculer les primitives de 1- x?xest définie et continue sur ]0+?[

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Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ?. On dit que la fonction g est une solution de l'équation différentielle ' = sur I si

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La plupart des primitives que l'on sait calculer formellement se ramènent à des calculs de primitives de fractions rationnelles par des changements de variable

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En particuliersi u > 0 : ?a ? R (ua)? = ?u?ua?1 Primitives des fonctions usuelles Dans chaque ligne F est une primitive de f sur l'intervalle I Ces

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Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que pour tout réel x de I F (x) = f(x) Théor`eme 12 Toute fonction continue sur un

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toujours possible d'exprimer la primitive ou l'intégrale d'une fonction qui permet donc de calculer la primitive d'un intégrand pouvant être écrit sous

Comment faire pour calculer les primitives ?
Pour déterminer une primitive d'une fonction rationnelle, on décompose celle-ci en une somme d'une fonction polynôme et d'une fonction inverse. Exemple : Soit f\\left ( x \\right )=\\frac{x^{2}+2}{x-3} définie sur ]3\\, ;+\\infty[. Elle peut s'écrire sous la forme : f\\left ( x \\right )=ax+b+\\frac{c}{x-3}.
Quel est la primitive de ? ?
Autrement dit la dérivée de 2/3 x^(3/2) c'est ?x. ? nous dit donc que F(x) = 2/3 x^(3/2) est une primitive racine de x.
Comment calculer une primitive sur un intervalle ?
deux primitives d'une même fonction, sur un intervalle, ne diffèrent que d'une constante. Soit G fonction définie sur I par G(x) = F(x)+k avec k réel. * Par addition, G est dérivable sur I. De plus : G'(x) = F'(x) = f (x) pour tout x de I donc G est une primitive de f sur I.
Définition de la primitive. Lorsque l'on a une fonction f(x) , il existe toujours une autre fonction F(x) , telle que si je la dérive donc F'(x) elle me donne la fonction f(x). D'autant il n'existe pas une seule fonction mais au contraire une infinité. Qu'est ce qu'une Primitive.

Exo7

Calculs de primitives et d"intégrales

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :

1)1x

3+12)x2x

3+13)x5x

3x2x+14)1x(x2+x+1)55)1x(x2+1)2

6)x2+xx

6+17)1x

4+18)1(x4+1)29)1x

8+x4+110)x(x4+1)3

11)1(x+1)7x71

Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :

4x+sin4x9)sinxsin(2x)sin

4x+cos4x+110)tanx1+sin(3x)

16)thx1+chx17)1sh

5x18)11chx

Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :

1)1px

2+2x+5etpx

2+2x+5 2)1p2xx23)p1+x6x

4)1p1+x+p1x5)qx+1x1

6)x2+1x

4x2+17)q1pxpx

8)11+p1+x29)3px

3+1x 2et13 px

3+110)1px+1+3px+1

Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :

11)arctanxpx

12)xex(x+1)213) (xe

)xlnx14)xnlnx(n2N)15)eaxcos(ax) ((a;a)2(R)2)

16)sin(lnx)et cos(lnx)17)px

n+1x

18)x2exsinx

Exercice 5

Calculer les intégrales suivantes (a,bréels donnés,petqentiers naturels donnés) 1)Ra

1=alnxx

2+1(0
02cos(px)cos(qx)dxetRp

02cos(px)sin(qx)dxetRp

02sin(px)sin(qx)dx
3)Rb ap(xa)(bx)dx4)R2
2(jx1j+jxj+jx+1j+jx+2j)dx
5)R2
1=21+1x

2arctanx dx6)R1

1p1+jx(1x)jdx
7)Rp
0xsinx1+cos2x8)Rx

1(lnt)ndt(n2N)

Condition nécessaire et suffisante sura,b,cetdpour que les primitives de(xa)(xb)xc)2(xd)2soient rationnelles (a,b,
cetdréels donnés).
Etude def(x) =R1

1sinx12tcosx+t2dt.

Etude def(x) =R1

0Max(x;t)dt.

0sinnx dx.
1. Calculer W0etW1. Déterminer une relation entreWnetWn+2et en déduireW2netW2n+1en fonction den. 2. Etudier les v ariationsde la suite (Wn)et en déduire limn!+¥Wn+1W n. 3.
Montrer que la suite (nWnWn1)n2Nest constante. En déduire limn!+¥Wn, puis un équivalent simple de
W n. En écrivantRp=2 0=Ra 0+Rp a2, retrouver directement limn!+¥Wn. 4.
Montrer que lim
n!+¥n1:3::::(2n1)2:4::::(2n) 2=1p . (Formule de WALLIS)
Pournentier naturel, on poseIn=Rp=4

0tannx dx.
1. Calculer I0etI1. Trouver une relation entreInetIn+2. En déduireInen fonction den. 2.
Montrer que Intend vers 0 quandntend vers+¥, et en déduire les limites des suites(un)et(vn)définies
par :un=ånk=1(1)k1k (n2N) etvn=ånk=1(1)k12k1.
Correction del"exer cice1 N1.Iest l"un des deux intervalles]¥;1[ou]1;+¥[.fest continue surIet admet donc des primitives
surI. 1X
3+1=1(X+1)(X+j)(X+j2)=aX+1+bX+j+b
X+j2; oùa=13(1)2=13 etb=13(j)2=j3 . Par suite, 1X
3+1=13
(1X+1+jX+j+j2X+j2) =13 (1X+1+X+2X
2X+1) =13
(1X+112 2X1X
2X+1+32
1X 2X+1) 13 (1X+112 2X1X
2X+1+32
1(X12 )2+(p3 2 )2):
Mais alors,
Z 1x
3+1dx=13
(lnjx+1j12 ln(x2x+1)+32 2p3 arctanx12p3 2 ) =16 ln(x1)2x
2x+1+1p3
arctan2x1p3 +C:
2.Iest l"un des deux intervalles]¥;1[ou]1;+¥[. SurI,Rx2x

3+1dx=13
ln(x3+1)+C.
3.X3X2X+1=X2(X1)(X1) = (X21)(X1) = (X1)2(X+1). Donc, la décomposition
en éléments simples def=X5X
3X2X+1est de la formeaX2+bX+c+d1X1+d2(X1)2+eX+1.
Détermination dea,betc. La division euclidienne deX5parX3X2X+1 s"écritX5= (X2+X+
2)(X3X2X+1)+2X2+X2. On a donca=1,b=1 etc=2.
e=limx!1(x+1)f(x) =(1)5(11)2=14 . Puis,d2=limx!1(x1)2f(x) =151+1=12 . Enfin,x=0 fournit
0=cd1+d2+eet donc,d1=212
+14 =94 . Finalement, X 5X
3X2X+1=X2+X+294

1X1+12

1(X1)214
1X+1; et donc,Idésignant l"un des trois intervalles]¥;1[,]1;1[ou]1;+¥[, on a surI Z x5x
3x2x+1dx=x33
+x22 +2x12(x1)14 lnjx+1j+C: 4.
Sur R,
Z
1x(x2+x+1)5dx=12
Z
2x+1(x2+x+1)5dx+32
Z
1(x2+x+1)5dx=18(x2+x+1)4+32
Z
1((x+12
)2+34 )5dx
18(x2+x+1)4+32
Z 1(( p3 2 u)2+34 )5p3 2 du(en posantx+12 =up3 2
18(x2+x+1)4+28p3
3 4Z
1(u2+1)5du:
Pourn2N, posons alorsIn=Rdu(u2+1)n. Une intégration par parties fournit 3 I et donc,In+1=12n u(u2+1)n+(2n1)In . Mais alors, I 5=18 u(u2+1)4+78 I4=18 u(u2+1)4+78:6u(u2+1)3+7:58:6I3 18 18
2+1+7:5:3:18:6:4:2I1
18
2+1+7:5:3:18:6:4:2arctanu+C:

Maintenant,
u
2+1= (2p3
(x+12 ))2+1=43 x2+43 x+13 +1=43 (x2+x+1):
Par suite,
2 8p3 3 4Z
1(u2+1)5du=28p3
3 4 18 3 44
42p3
(x+12 )(x2+x+1)4+78:63 34
32p3
(x+12 )(x2+x+1)3+7:58:6:43 24
22p3
(x+12 )(x2+x+1)2
7:5:38:6:4:234
2p3 (x+12 )x
2+x+1+7:5:3:18:6:4:2arctan2x+1p3
+C! 18
2x+1(x2+x+1)4+736

2x+1(x2+x+1)3+35108

2x+1(x2+x+1)2+3554
2x+1x 2+x+1 70p3
81
arctan2x+1p3 +C; (il reste encore à réduire au même dénominateur). 5.
On pose u=x2et doncdu=2xdx
Z
1x(x2+1)2dx=Zxx

2(x2+1)2dx=12
Z duu(u+1)2=12 Z (1u
1u+11(u+1)2)du
12 (lnjujlnju+1j+1u+1)+C 12 (lnx2x
2+1+1x

2+1)+C:
6.
Rx2+xx

6+1dx=Rx2x

6+1dx+Rxx

6+1dx.

Ensuite, en posantu=x3et doncdu=3x2dx,
Z x2x
6+1dx=13
Z 1u
2+1du=13
arctanu+C=13quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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Comment faire pour calculer les primitives ?

Quel est la primitive de ? ?

Comment calculer une primitive sur un intervalle ?

Calculs de primitives et d"intégrales

3+12)x2x

3+13)x5x

3x2x+14)1x(x2+x+1)55)1x(x2+1)2

6)x2+xx

6+17)1x

4+18)1(x4+1)29)1x

8+x4+110)x(x4+1)3

11)1(x+1)7x71

4x+sin4x9)sinxsin(2x)sin

4x+cos4x+110)tanx1+sin(3x)

16)thx1+chx17)1sh

5x18)11chx

2+2x+5etpx

2+2x+5 2)1p2xx23)p1+x6x

4)1p1+x+p1x5)qx+1x1

6)x2+1x

4x2+17)q1pxpx

8)11+p1+x29)3px

3+110)1px+1+3px+1

11)arctanxpx

12)xex(x+1)213) (xe

16)sin(lnx)et cos(lnx)17)px

18)x2exsinx

Exercice 5

1=alnxx

02cos(px)cos(qx)dxetRp

02cos(px)sin(qx)dxetRp

02sin(px)sin(qx)dx

2(jx1j+jxj+jx+1j+jx+2j)dx

1=21+1x

2arctanx dx6)R1

1p1+jx(1x)jdx

0xsinx1+cos2x8)Rx

1(lnt)ndt(n2N)

Etude def(x) =R1

1sinx12tcosx+t2dt.

Etude def(x) =R1

0Max(x;t)dt.

0sinnx dx.

Montrer que lim

Pournentier naturel, on poseIn=Rp=4

0tannx dx.

3+1=1(X+1)(X+j)(X+j2)=aX+1+bX+j+b

3+1=13

2X+1) =13

2X+1+32

2X+1+32

Mais alors,

3+1dx=13

2x+1+1p3

2.Iest l"un des deux intervalles]¥;1[ou]1;+¥[. SurI,Rx2x

3+1dx=13

3.X3X2X+1=X2(X1)(X1) = (X21)(X1) = (X1)2(X+1). Donc, la décomposition

3X2X+1est de la formeaX2+bX+c+d1X1+d2(X1)2+eX+1.

2)(X3X2X+1)+2X2+X2. On a donca=1,b=1 etc=2.

0=cd1+d2+eet donc,d1=212

3X2X+1=X2+X+294

1X1+12

1(X1)214

3x2x+1dx=x33

Sur R,

1x(x2+x+1)5dx=12

2x+1(x2+x+1)5dx+32

1(x2+x+1)5dx=18(x2+x+1)4+32

1((x+12

18(x2+x+1)4+32

18(x2+x+1)4+28p3

1(u2+1)5du:

2+1+7:5:3:18:6:4:2I1

2+1+7:5:3:18:6:4:2arctanu+C:

Maintenant,

2+1= (2p3

Par suite,

1(u2+1)5du=28p3

7:5:38:6:4:234