[PDF] Calculs dintégrales et de primitives

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Calculs d"intégrales

et de primitives

Aimé Lachal

Cours de mathématiques

1 ercycle, 1reannéeSommaire

1Deux techniques d"intégration

Intégration par parties

Changement de variable

2Intégration des fonctions rationnelles réelles

Fonctions rationnelles

Exemples préliminaires

Décomposition en éléments simples

Intégration des éléments simples

Synthèse de la méthode d"intégration

Exemples de synthèse1. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties

Notations

On a vu dans le chapitre "Intégrale de Riemann» que toute fonction continue sur un intervalleIadmet des primitives et que celles-ci diffèrent toutes 2 à 2d"une constante.

On noterax7!Z

f(x)dxune primitive defsurIdéfinie donc à une constante additive près. On dit queZ f(x)dxest une intégraleindéfiniepar opposition àZ b af(x)dxqui est appelée intégraledéfinie.

Exemple :

Z xdx=12 x2+CsteoùCstedésigne une constante réelle.

On rappelle la notationF(x)b

a=F(b)F(a).Théorème 1.1 (Intégration par parties) Soituetvdeux applications declasseC1C1C1définies sur un intervalleIà valeurs réellesoucomplexes.18(a;b)2I2,Z b a u(x)v0(x)dx=u(x)v(x)b aZ b a u0(x)v(x)dx.2Z u(x)v0(x)dx=u(x)v(x)Z u

0(x)v(x)dx.

Formulation mnémotechnique :Z

udv=uvZ vdu.11. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties

Exemple 1.2 (Polynôme-logarithme)

SoitP2R[X]un polynôme de degrén.

En choisissantu(x) = ln(x)etv0(x) =P(x), alorsu0(x) =1x etv(x) =Q(x)oùQ est un polynôme primitive deP(de degrén+1) que l"on choisira sans terme constant (de façon à avoirQ(0) =0), l"IPP donneZ

P(x) ln(x)dx=Q(x) ln(x)ZQ(x)x

dx:

Notons quex!Q(x)x

est une fonction polynôme de degrén(puisqueQ(0) =0), elle admet donc pour primitive une fonction polynômeRde degrén+1, et l"on trouve :Z

P(x) ln(x)dx=Q(x) ln(x)R(x) +Cste:

Exemples :

pourP(x) =1, on choisitQ(x) =xqui donneR(x) =xet l"on obtient une primitive deln(x):Z ln(x)dx=xln(x)x+Cste: pourP(x) =xn, on choisitQ(x) =xn+1n+1qui donneR(x) =xn+1(n+1)2et l"on obtient :Z x

nln(x)dx=xn+1n+1ln(x)xn+1(n+1)2+Cste:21. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties

Exemple 1.3 (Polynôme-exponentielle)

Soita2RetP2R[X]un polynôme de degrén.

En choisissantu(x)=P(x)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=P0(x)etv(x)=1a eaxet l"IPP donneZ

P(x)eaxdx=1a

P(x)eax1a

Z P

0(x)eaxdx:

Notons queP0est un polynôme de degrén1. Ainsi, l"IPP permet d""abaisser» le degré du polynôme présent dans l"intégrande initiale. En réitérant ce procédé, on abaisse progressivement le degré dePpour arriver in fine à une primitive d"intégrande e ax:Z

P(x)eaxdx=Q(x)eax+Cste

oùQest le polynôme de degréns"exprimant selon

Q(x)=1a

P(x)1a

2P0(x)+1a

3P00(x)+(1)n1a

n+1P(n)(x)=nX k=0(1)k1a k+1P(k)(x): Application :supposons le réelanégatif. Alors, pour toutk2N,limx!+1P(k)(x)eax=0.

Ainsi, en notantZ

+1 0 = limA!+1Z A 0 , on trouve Z +1 0

P(x)eaxdx=nX

k=0(1)k+11a k+1P(k)(0):31. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties

Exemple 1.4 (Exponentielle complexe)

Soita;bdeux réelsnon simultanément nuls.Supposons e.g.a6=0 (sinonb6=0). En choisissantu(x)=cos(bx)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=bsin(bx)etv(x)=1a eax et l"IPP donne Z cos(bx)eaxdx=1a cos(bx)eax+ba Z sin(bx)eaxdx: En choisissantu(x)=sin(bx)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=bcos(bx)etv(x)=1a eax, une nouvelle IPP donneZ sin(bx)eaxdx=1a sin(bx)eaxba Z cos(bx)eaxdx que l"on reporte dans la première formule : Z cos(bx)eaxdx=1a cos(bx) +ba

2sin(bx)

e axb2a 2Z cos(bx)eaxdx d"où l"on extrait Z cos(bx)eaxdx=acos(bx) +bsin(bx)a

2+b2eax+Cste:

La même méthode conduirait à

Z sin(bx)eaxdx=bcos(bx) +asin(bx)a

2+b2eax+Cste:

Application :soitc2C. En posantc=a+ibaveca;bréels non simultanément nuls, et en rappelant que e cx=eaxcos(bx) +isin(bx), on obtient une primitive de x7!ecx:Z e cxdx=1cecx+Cste:41. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties Exemple 1.5 (Formule de Taylor avec reste intégral(facultatif))1Un calcul préliminaire Soita;bdeux réels etfune application définie sur[a;b](ou[b;a]) declasseC2C2C2. En choisissantu(x)=(bx)etv0(x)=f00(x), alorsu0(x)=1 etv(x)=f0(x)et l"IPP donneZb a (bx)f00(x)dx=(bx)f0(x)b a+Z b a f0(x)dx=f(b)f(a)f0(a)(ba) soit f(b) =f(a) +f0(a)(ba) +Z b a (bx)f00(x)dx:2Généralisation Soita;bdeux réels etfune application définie sur[a;b](ou[b;a]) declasse C n+1Cn+1Cn+1. Alors : f(b) =nX k=0f (k)(a)k!(ba)k+Z b a(bx)nn!f(n+1)(x)dx: Remarque :la fonctionf(n+1)étant continue, on peut appliquer la formule de la moyenne :

9c2[a;b];Z

b a(bx)nn!f(n+1)(x)dx=f(n+1)(c)Z b a(bx)nn!dx=(ba)n+1(n+1)!f(n+1)(c): On retrouve la formule de Taylor-Lagrange avec des hypothèses plus fortes. (La formule de Taylor-Lagrange requière quefsoit de classeCnsur[a;b]et (n+1)fois dérivable sur]a;b[.)51. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable Théorème 1.6 (Changement de variable pour le calcul d"intégrales)

1Soit'une application declasseC1C1C1sur[a;b]à valeursréellesetfune

applicationcontinuesur l"intervalle'([a;b])à valeursréellesoucomplexes.

Alors :

Zb a f'(t)'0(t)dt=Z '(b) '(a)f(x)dx:2Si, de plus,'estbijectivede[a;b]sur[;] ='([a;b]), Z f(x)dx=Z '1()

1()f'(t)'0(t)dt:

Formellement, on posex='(t)et l"on écritdx='0(t)dt.Théorème 1.7 (Changement de variable pour le calcul de primitives)

SoitIetJdeux intervalles,fune applicationcontinuesurIà valeursréellesou SiGest une primitive de(f')'0surJ, alorsG'1est une primitive defsurI. Autrement dit, en posantx='(t)(ou encoret='1(x)) : Z f(x)dx=Z f'(t)'0(t)dt=G(t) +Cste=G'1(x)+Cste61. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable Exemple 1.8 (Racine carrée d"un polynôme du 2 nddegré)Soitfune fonction continue surR. On propose une méthode de calcul de primitives des fonctionsx7!fpx

2+1,x7!fp1x2etx7!fpx

21.1Le changement de variablex=shtfournit dx=chtdtetpx

2+1=cht, puisZ

fpx 2+1 dx=Z f(cht)chtdt: Si l"on dispose d"une primitiveFde la fonctiont7!f(cht)cht, alorsZ fpx 2+1 dx=F(argshx) +Cste: 2+1.)

Exemple :pourf=idR,Zpx

2+1dx=Z

ch

2tdt=Z12

ch(2t) +1dt 14 sh(2t) +12 t+Cste=12 chtsht+t+Cste 12 xpx

2+1+argshx

+Cste:

Application :Z1

0px

2+1dx=12h

xpx

2+1+argshxi

1 0=12 p2+ ln1+p2 :7

1. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable

Exemple 1.8 (Racine carrée d"un polynôme du 2 nddegré)Soitfune fonction continue surR. On propose une méthode de calcul de primitives des fonctionsx7!fpx

2+1,x7!fp1x2etx7!fpx

21.2Le changement de variablex= sint(x2[1;1];t2[2

;2 ]) fournit dx= costdt,p1x2= cost, et sur[1;1]:Z fp1x2 dx=Z f(sint) sintdt=F(arcsinx) +Cste Fétant une primitive de la fonctiont7!f(sint) sint.

Application :

L"aire sous l"arc de cercle entrecoset 1 est donnée parZ1 cosp1x2dx=Z 0 sin2tdt=Z 012

1cos(2t)dt

2 14 sin(2) =2 12 cos()sin()

L"aire du triangle de basecosvaut12

cos()sin().

L"aire dutriangle circulairevaut alors2

.xy

0y=p1x21cossinaire=2

81. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable

Exemple 1.8 (Racine carrée d"un polynôme du 2 nddegré)Soitfune fonction continue surR. On propose une méthode de calcul de primitives des fonctionsx7!fpx

2+1,x7!fp1x2etx7!fpx

21.3Le changement de variablex=cht(x>1;t>0) fournit dx=shtdt,px

21=sht, et, e.g. sur[1;+1[:Z

fpx 21
dx=Z f(sht)shtdt=F(argchx) +Cste Fétant une primitive de la fonctiont7!f(sht)sht.

Application :

L'aire sous la branche d'hyperbole entre 1 et chest donnée parZch 1px

21dx=Z

0 sh2tdt=Z 012 ch(2t)1dt 14 sh(2)2 =12 ch()sh()2

L'aire du triangle de base chvaut12

ch()sh().

L'aire dutriangle hyperboliquevaut alors2.xy

0y=px

211chshaire=2

91. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable

Exemple 1.8 (Racine carrée d"un polynôme du 2 nddegré)Soitfune fonction continue surR. On propose une méthode de calcul de primitives des fonctionsx7!fpx

2+1,x7!fp1x2etx7!fpx

21.Généralisation : intégrales abéliennes (facultatif)

Ces trois exemples permettent en fait de calculer des primitives de fonctions de la forme fpax

2+bx+clorsquea;b;csont trois réels tels quea>0 ou (a<0 etb24ac>0).

En eet, il sut de décomposer le trinômeax2+bx+csous sa forme canonique et de procéder à un changement de variable intermédiaire ane (x=u+) an

d'exprimerax2+bx+cen fonction deu2+1,u21 ou 1u2...102.Intégration des fonctions rationnellesa) Fonctions rationnelles

Définition 2.1

Unefonction ou fraction rationnelleFsurRest le quotient de deux fonctions polynômesPetQdeR[X],Qétant non identiquement nulle. On a donc F(x) =P(x)Q(x)pour toutx2Rtel queQ(x)6=0. On poseF=PQ

.1On noteR(X)l"ensemble des fonctions rationnelles surR.2On dit que la fractionFestréductiblelorsque les polynômesPetQadmettent

un facteur commun de degré>1, i.e. lorsqu"il existe un polynômeRde degré>1 et des polynômesP1etQ1tels queP=P1RetQ=Q1R. On a alorsF=PQ =P1Q 1: Dans le cas contraire, on dit queFestirréductible.Définition 2.2

SoitF=PQ

2R(X)unefraction irréductible.1On appellepartie entièredeFla fonction polynômequotientde la division

euclidienne dePparQ.2On appellepôledeFtoute racine du dénominateurQdansRouC. On appelle

alorsmultiplicitéd"un pôle deF, sa multiplicité en tant que racine deQ.112.Intégration des fonctions rationnellesb) Exemples préliminaires

Problématique

SoitF=PQ

2R(X)une fonction rationnelleréelle.

L'objectif de ce paragraphe est de calculer une primitive deFsurR. On commence par présenter quelques exemples avant de décrire une méthode générale. Exemples étudiés :1F(x) =2x5(x1)(x2)2F(x) =2x5x

2(x1)3F(x) =3x

314F(x) =x6(x21)25F(x) =x8x

4+1122.Intégration des fonctions rationnellesb) Exemples préliminaires

Exemple 2.3

SoitF(x) =2x5(x1)(x2).

La fonction rationnelleFadmet deux pôlessimplesréels1 et 2 . L'idée est de séparer les facteurs du dénominateur(x1)et(x2). Pour cela on cherche des réelsaetb(s'ils existent) tels queF(x)=ax1+bx2. ?Méthode "provisoire» : on réduit au même dénominateur :F(x) =(a+b)x(2a+b)(x1)(x2); on identie avec l'expression initiale deF:a+b=2 et 2a+b=5; on résout le système et l'on trouvea=3e tb=1, soitF(x)=3x11x2. ?Méthode "générale» : on isoleaen multipliant par(x1):(x1)F(x) =a+( x1)bx2 et l'on fait tendrexvers1 : a= limx!1(x1)F(x) = limx!12x5x2=3; on isoleben multipliant par(x2):(x2)F(x) =( x2)ax1+b et l'on fait tendrexvers2 : b= limx!2(x2)F(x) = limx!22x5x1=1.

Les fractions élémentaires

3x1et1x2s'appellent"éléments simples», ce sont

les"parties polaires»deFrelatives aux pôles1 et 2 .

Il devient facile de calculer une primitive deF:Z

F(x)dx=Z3x1dxZ1x2dx=3lnjx1jlnjx2j+Cste:132.Intégration des fonctions rationnellesb) Exemples préliminaires

Exemple 2.4

SoitF(x) =2x5x

2(x1).

La fonction rationnelleFadmet deux pôles réels : un pôlesimple1et un p ôledouble0. L'idée est de séparer les facteurs du dénominateurx2et(x1). Pour cela on cherche des nombres réelsa,betctels queF(x)=ax+bx

2+cx1.

?Méthode "provisoire» : on réduit au même dénominateur :F(x) =(a+c)x2+(ba)xbx

2(x1);

on identie avec l'expression initiale deF:a+c=0,ba=2 etb=5; on trouvea=3,b=5et c=3, soitF(x)=3x+5x

23x1=5x

2+3x 3x1. ?Méthode "générale» : on isolecen multipliant par(x1):(x1)F(x) =c+( x1)ax+bx 2 et l'on fait tendrexvers1 : c= limx!1(x1)F(x) = limx!12x5x 2=3; on isoleben multipliant parx2:x2F(x) =b+xa+cxx1 et l'on fait tendrexvers0 : b= limx!0x2F(x) = limx!02x5x1=5; on multiplie parx:xF(x)=ax+bx +cxx1

et l'on fait tendrexvers1:a+c= limx!1xF(x)= limx!12x5x(x1)=0; d'oùa=c=3.142.Intégration des fonctions rationnellesb) Exemples préliminaires

Exemple 2.4

SoitF(x) =2x5x

2(x1).

Résultat

On a ainsi obtenu

F(x) =5x

2+3x 3x1:

Les fractions élémentaires

3x ,3x1et5x

2s'appellent"éléments simples»,

5x 2+3x et3x1sont les"parties polaires»deFrelatives aux pôles0 et 1 .

Calcul d"une primitive

Il devient facile de calculer une primitive deF:

Z

F(x)dx=5Z1x

2dx+3Z1x

dx3Z1x1dx=3lnjxj3lnjx1j5x +Cste:

Calcul d"une intégrale définie

En notant quelimx!+1(3lnjxj3lnjx1j) = limx!+13lnxx1=0, on obtient Z +1 2

F(x)dx= limX!+1Z

X 2 F(x)dx=523ln2:152.Intégration des fonctions rationnellesb) Exemples préliminaires

Exemple 2.5

SoitF(x) =3x

31.
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