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INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE
MATHS Rappels
Equations Différentielles
Jean-Pierre Bourgade
Pascal Floquet Première Année à Distance Septembre 2011Xuân Meyer
2Maths Rappels
Table des matières3 Equations Différentielles53.1 Définition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5
3.2 Equations différentielles du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 6
3.2.1 Equations à variables séparables . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6
3.2.2 Equation différentielle linéaire à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.2.1 Equation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
3.2.3 Equation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 7
3.2.4 Equations différentielles linéaires à coefficients nonconstants . . . . . . . . . . 9
3.2.5 Equations différentielles homogènes en x et y . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12
3.3 Equations différentielles du second ordre . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1 Equations du 2
ndordre se ramenant au 1erordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3.1.1 Equations du type : F(x,y",y")=0 . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 13
3.3.1.2 Equations du type : F ( y , y" , y" ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . .14
3.3.1.3 Equations du type : F ( x, y , y" , y" ) = 0 homogène en y,y",y" . . . 15
3.3.2 Equations linéaires homogènes à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.3 Equations linéaires à coefficients constants avec second membre . . . . . . . . 17
3.3.3.1 cas particuliers :f(x)est polynôme de degré n . . . . . . . . . . . . 17
3.3.3.2 cas particuliers :f=Keαx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.3.3 cas particuliers :f=eαxP(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.3.4 cas particuliers :f(x) =Ksin(ax)ouf(x) =Kcos(ax). . . . . . . . 22
Maths Rappels
4TABLE DES MATIÈRES
Maths Rappels
Chapitre 3Equations Différentielles
Ce document s"intéresse à la solution des équations différentielles du premier et second ordre. Nous
débuterons en donnant la définition générale d"une équationdifférentielle d"ordren. Puis, nous étudierons
plus particulièrement les solutions des équations du premier ordre, puis celle du second ordre. Pour chaque
cas présenté un exemple illustratif est donné et résolu.3.1 Définition générale
On appelle équation différentielle d"ordren,nN,une équation de la forme : n k=0a k(x)dky dxk(x) =b(x) avec : yla fonction cherchée b(x)est appelésecond membrede l"équation a k(x)des fonctions dexetan= 0.Si les fonctionsaksont des constantes, alors on dit que l"équation différentielle est à coefficients
constants.On rappelle que
d 0y dx0(x) =yDans la suite, on notera
y"(x) la dérivée première de y par rapport à x y(2)ou y" la dérivée seconde de y par rapport à x. y(n)la dérivée nièmede y par rapport à x L"équation différentielle sera ditehomogènesi et seulement sib(x) = 0. L"équation différentielle sera ditenormaliséesi et seulement sian(x) = 1.La résolution de l"équation homogène suppose la détermination densolutions indépendantesy1,y2,...,yn
formant une base du sous-espace vectoriel des solutions. Ainsi, il faudra déterminer autant de solutions
que l"ordre de l"équation, la solution générale étant une combinaison linéaire de ces solutions, soit :
y(x) =n k=0α k(x)yk(x)La solution des équations peut être explicite, dans ce cas onobtient une relation du typey=g(x)ou
x=h(y)mais elle peut être implicite et conduire à une relation du typeF(x,y) = 0.Maths Rappels
6Equations Différentielles
3.2 Equations différentielles du 1er ordre
3.2.1 Equations à variables séparables
Une équation différentielle est dite à variables séparables si on peut l"écrire sous la forme :
?(x)dx=ψ(y)dy On intègre alors chacun des côtés en considérant les variables indépendantes : ?(x)dx=ψ(y)dy+C
où C est une constante réelle.Exemple 3.1:Résoudre l"équation (E1) :
x+yy= 0(E1) avecy=dy dx(E1) peut s"écrire sous la forme : x+ydy dx= 0 On peut séparer les variables en écrivant l"équation sous laforme : ydy=?xdx puis intégrer : ydy=? xdx soit 12y2=?12x2+K
où K est une constante réelle d"où la solution de (E1) : x2+y2=C
où C est une constante réelle3.2.2 Equation différentielle linéaire à coefficients constants
On cherche les solutions aux équations du type : a 1dy dx(x) +a0y(x) =b(x) oùa0eta1sont des constantes réelles eta1= 0.Nous débuterons par l"étude des équations homogènes (i.e. avec un second membre nul). Puis en utilisant
les résultats, nous verrons comment résoudre les équationsavec second membre.3.2.2.1 Equation homogène
Soit l"équation à résoudre :
a 1dy dx(x) +a0y(x) = 0 oùa0eta1sont des constantes réelles eta1= 0. Supposons quey(x)= 0,xalors, nous pouvons écrire : y (x) y(x)+a0a1= 0y(x)y(x)=?a0a1Maths Rappels
3.2 Equations différentielles du 1er ordre7
Intégrons par rapport àx. La primitive du membre de gauche est :lny(x)+A, donc nous obtenons : lny(x)=?a0 a1x+BoùBest une constante réelle qui tient compte des constantes d"intégration des deux membres. Prenons
l"exponentielle de la relation précédente, on obtient : y(x)=ea0 a1x+BOreα+β=eαeβ, d"où :
y(x)=eBea0 a1x e Best une constante réelle positive. SoitKcette constante. On a alors : y(x) =Kea0 a1xL"expressionKreprésente une constante positive ou négative, notonsCcette constante réelle. On a
alors : y(x) =Cea0 a1xNous obtenons donc une famille de fonctions. La constanteCpourra être calculée pour répondre à un
cas précis à partir, par exemple,d"une condition particulière du type :y(x1) =D.Exemple 3.2:Résoudre l"équation (E2) :
y (x) +y(x) = 0(E2)1. en prenant la conditiony(0) = 1
2. en prenant la conditiony(2) =3
2 Solution :Partons de l"équation différentielle : y (x) +y(x) = 0 en supposant quey(x)= 0,x, nous pouvons diviser cette équation pary(x), soit : y (x) y(x)+ 1 = 0 soit : y(x) y(x)=?1 soit : y(x)=ex+A soit : y(x) =CexLa constanteCdépend de la condition initiale :
1. poury(0) = 1, on obtientC= 1, soity(x) =ex
2. poury(2) =3
2, on obtientC=32e2, soity(x) =32e2x
3.2.3 Equation avec second membre
L"équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec second membre s"écrit :
a 1dy dx(x) +a0y(x) =b(x) oùa0eta1sont des constantes réelles eta1= 0. La méthode de résolution se décompose en deux points :Maths Rappels
8Equations Différentielles
1. on résoud l"équation homogène : la solution générale est de la forme :
y(x) =Cea0 a1x, a1= 0,CR2. On considère que la constanteCdépend dex(d"où le nom de la méthode :méthode de la
varaition de la constante), soit : y(x) =C(x)ea0 a1xAppliquons cette méthode sur le cas général. Puisque l"équation différentielle fait intervenir la dérivée
première, prenons la dérivée de l"expression précédente : y (x) =C(x)ea0 a1x?a0a1C(x)ea0 a1x En injectant cette expression dans l"équation différentielle à résoudre, nous obtenons : a 1 C (x)ea0 a1x?a0a1C(x)ea0 a1x +a0C(x)ea0a1x
=b(x) soit : a1C(x)ea0
a1x=b(x) soit : C (x) =b(x) a1ea 0 a1xEn intégrant, on obtient :
C(x) =b(t)
a1ea 0 a1tdt+DSi on peut calculer explicitement cette intégrale, on en déduit la forme générale de la solution :
y(x) = b(t) a1ea 0 a1tdt+D e a0a1x La valeur deDest obtenue à partir d"une condition aux limites.Exemple 3.3:Résoudre l"équation (E3) :
y (x) +y(x) = 1(E3) avec la condition initialey(0) = 2L"équation homogène associée est :
y (x) +y(x) = 0 Sa solution a été déterminée dans l"exemple précédent, nousavons donc : y(x) =Bex Supposons à present queBdépend de la variablex. On a alors :y(x) =B(x)ex. y (x) =B(x)ex?B(x)ex En injectant ces expressions dans l"équation différentielle, nous obtenons : B (x)ex?B(x)ex+B(x)ex= 1Soit :
B (x)ex= 1B(x) =ex Une primitive particulière deexpeut s"écrire : e tdtMaths Rappels
3.2 Equations différentielles du 1er ordre9
Un calcul simple donne :
e tdt=ex d"oùB(x) =ex+C
L"expression générale de la solution de l"équation différentielle est donc : y(x) = [ex+C]ex= 1 +CexLa constanteCpeut être calculée à partir de la condition initialey(0) = 2. On obtient alors :
y(0) = 1 +Ce0= 1 +C d"oùC= 1. La solution est donc : y(x) = 1 +ex3.2.4 Equations différentielles linéaires à coefficients non constants
On considère ici les équations du type
A(x)y+B(x)y=f(x)
oùA(x),B(x)etf(x)sont des fonctions de la variable réelle x. La procédure d"intégration est semblable
à celle suivie pour résoudre une équation différentielle linéaire à coefficients constants et se déroule donc
en 2 étapes :1.intégration sans second membre :A(x)y1+B(x)y1= 0
On résoud l"équation différentielle à variables séparables: dy 1 y1=?B(x)A(x)dx on obtient alors une solution du type y1=Ceu(x)
oùu(x) =?B(x)dxA(x)et C est une constante réelle.
2.intégration de l"équation complète : méthode de la variation de la constante
On recherche une solution particulière de l"équation avec second membre de la forme : y2=C(x)eu(x)
On considère donc maintenant C comme une fonction de x (et nonplus comme une constante) et on cherche à déterminer C(x) telle que : y2=C(x)eu(x)
soit solution de l"équation différentielle avec le second membre.3.solution de l"équation complèteSachant que siy1(x)est une solution de l"équation sans 2ndmembre ety2(x)une solution particulière
de l"équation complète alorsy(x) =y1(x) +y2(x)est solution de l"équation complète, la solution
de l"équation avec second membre s"écrit : y=eu(x)(K+C(x)) où K est une constante réelle.Maths Rappels
10Equations Différentielles
Exemple 3.4:Déterminer l"ensemble des solutions de l"équation différentielle (E4) : y +2x (1 +x2)y= 1(E4)IciA(x) = 1,B(x) =2x
(1 +x2)etf(x) = 11.Résolution de l"équation homogène(sans second membre)On cherche dans un premier temps la fonctiony1(x)telle que :
y +2x (1 +x2)y= 0 soit dy1 dx+2x(1 +x2)y1= 0Cette équation peut s"écrire :
dy 1 y1=?2xdx(1 +x2) On peut effectuer une intégration à variables séparées. D"où: lny1=?ln(1 +x2) +K K, constante réelle, peut s"écrireK= ln(C)où C est une constante réelle, d"où lny1=?ln(1 +x2) + ln(C) orln(a)?ln(b) = ln(a b)d"où : lny1= lnC 1 +x2 y1(x) =C
1 +x2est solution de l"équation sans second membre
2.Recherche d"une solution particulière de l"équationOn cherche une solution particulière de la formey2(x) =C(x)
1 +x2.
y2s"écrit alors :y2=C(x)
1 +x2?2xC(x)(1 +x2)2
L"équation à résoudre devient :
C (x)1 +x2?2xC(x)(1 +x2)2+2x(1 +x2)C(x)(1 +x2)= 1
d"où C (x) = 1 +x2 soitC(x) =x+x3
3+KoùKest une constante réelle. Dans la mesure où l"on recherche une solution particulière, on peut
poserK= 0. Une solution particulière de l"équation différentielle estdonc : y2(x) =3x+x3
3(1 +x2)
La solution générale de l"équation s"écrity=y1+y2soit : y=3x+x3+C3(1 +x2)
oùCest une constante réelle.Maths Rappels
3.2 Equations différentielles du 1er ordre11
Exemple 3.5:Déterminer l"ensemble des solutions de l"équation différentielle (E5) : xy ?y=x x2?1(E5)IciA(x) =x,B(x) = 1etf(x) =x
x2?11.Résolution de l"équation homogène(sans second membre)On cherche dans un premier temps la fonctiony1(x)telle que :
xy1?y1= 0
soit xdy1 dx?y1= 0Cette équation peut s"écrire :
dy 1 y1=dxx On peut effectuer une intégration à variables séparées. D"où: lny1= ln(x) +K K, constante réelle, peut s"écrireK= ln(C)où C est une constante réelle, d"où lny1= ln(x) + ln(C) orln(a) + ln(b) = ln(ab)d"où : lny1= ln(xC) y1(x) =C.xest solution de l"équation sans second membre
2.Recherche d"une solution particulière de l"équationOn cherche une solution particulière de la formey2(x) =xC(x).
y2s"écrit alors :y2=xC(x) +C(x)
L"équation à résoudre devient :
x[xC(x) +C(x)]?xC(x) =x x2?1 d"où C (x) =1 x(x2?1) soitC(x) =dx
x(x2?1) Cette intégrale se calcule en décomposant la fraction rationnelledx x(x2?1)en éléments simples, soit :dx x(x2?1)=?1x+12(x?1)+12(x+ 1)On obtient alors :
C(x) =
?1 x dx+dx2(x?1)+dx2(x+ 1) soit :C(x) =?lnx+1
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