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cas particuliers : f(x) est polynôme de degré n . . . . . . . . . . . . 17. 3.3.3.2 y(n) la dérivée nième de y par rapport à x.
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Celle-ci s'obtient par ”dérivation terme à terme”et redonne bien sûr la dérivée de la fonction polynôme correspondante de R dans R Page 6 TLM1 Compléments
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POLYNOMES
Le but de ce complément est d"approfondir et de systématiser vos connaissances sur les polynômes. Jusqu"à présent, et
notamment dans le chapitre 34 de "Toutes les mathématiques" (TLM1), les polynômes ont été vus comme desfonctionsde
RdansR:Ici, nous les considérons d"un point de vue plusalgébrique, comme des objets mathématiques sur lesquels sont
dé...nies des opérations (addition, multiplication, division euclidienne...). On parle alors depolynômes formels. Ce point de vue
permet de mieux mettre en valeur la parenté des propriétés des polynômes formels avec celles d"autres objets mathématiques
(entiers relatifs par exemple).Pour indiquer qu"il s"agit de polynômes formels, la variable sera notéeXau lieu dex:On remarquera que les propriétés des
polynômes formels ne remplacent pas celles des fonctions polynômes, bien au contraire; les deux points de vue s"enrichissent
mutuellement.1 Polynômes formels
Dans tout ce chapitre,KdésigneRouC. Unpolynômede l"indéterminéeX;àcoe¢ cientsdansK=RouC;est une
expression de la formeP=a0+a1X+a2X2++anXn(1)
où lesai2K. On noteK[X]l"ensemble despolynômes à coe¢ cients dansK:Ladé...nition théoriqued"un polynôme est un peu plus compliquée, puisqu"un polynôme est une suite(ak)k2N(dite des
coe¢ cients) nulle à partir d"un certain rang. Ce qu"il faut comprendre dans cette dé...nition, c"est que l"on peut toujours
ajouter des termes dans un polynôme. Par exempleP=1+2X+3X2peut aussi s"écrireP=1+2X+3X3+0X4+0X5;
etc. Cela permet d"écrire deux polynômesPetQsous forme condensée, avec le même domaine de sommation :
P=nX k=0a kXk;Q=nX k=0b kXk;(2)Cela signi...e quePetQsont de degré au plusn. On noteKn[X]l"ensemble des polynômes de degré au plusn:
SiPest un polynôme, on dé...nit sondegré, noté degPcomme l"indice du dernier coe¢ cient non nul. Plus précisément, si
la suite des coe¢ cients dePest(ak)k2N, alorsdest le degré dePsi et seulement siad6=0et siak=0pourk > d.
Par dé...nition, le coe¢ cientadn"est pas nul. Ce coe¢ cient est ditcoe¢ cient dominantdeP. Lorsque le coe¢ cient
dominant vaut1;on dit quePestunitaireounormalisé.Par convention, le degré du polynôme nul est-1;et on convient que pour tout entiern;-1< n;-1+n= -1et
que (-1)+(-1)= -1.Nous dé...nissons maintenant, du point de vue formel, les premières opérations sur les polynômes. SiPetQsont deux
polynômes formels écrits comme en (2);et si2K;on pose P=nX k=0( ak)Xk;P+Q=nX k=0( ak+bk)Xk(3) Puisque les termes dominants dePetQpeuvent s"annuler lorsqu"on les ajoute, il est clair que deg (P+Q)max(degP;degQ):(4) avec égalité si degP6=degQ:De plus, si6=0;on a deg (P)=degP:(5)TLM1Compléments sur les polynômes2Exemple 1SoitP=(X+1)netQ=(X-1)npourn2N. En développant par la formule du binôme de Newton, on
voit queP+Q=nX
k=0 n k1+(-1)n-k
Xk: Le terme en facteur deXnest donc2:Ainsi deg(P+Q)=degP=degQ:Par contre on voit queP-Q=nP
k=0 n k1-(-1)n-k
X k:Ainsi deg
(P-Q)PQ=a0+a1X+a2X2++anXnb0+b1X+b2X2++bnXn
De manière condensée, on a
nX k=0a kXk! nX k=0b kXk! =2nX i=0c iXi, avecci=iX k=0a kbi-k:(6)pour obtenir le coe¢ cient deXidans le produitPQ;on additionne tous les produitsakXkbi-kXi-k=akbi-kXi:
L"expression
(6)du coe¢ cient du produit peut être utile dans certains cas.Remarque 1
(K[X];+;)est un anneau commutatif (voir le complément de cours "Anneaux et corps").Exemple 2SoitP=Q=(X+1)n. Alors on a
PQ=(X+1)2n=2nX
i=0 2n i X i:(7) Mais en développantPetQpar la formule du binôme, on a aussi par(6): PQ= nX k=0 n k X k! nX k=0 n k X k! =2nX i=0" iX k=0 n k n i-k X i;(8) avec la convention n p=0sip > n:En comparant les termes de degréidans(7)et(8);on obtient i X k=0 n k n i-k =2n i :(9)Si nous nous intéressons au degré du produit de deux polynômes, nous voyons immédiatement que
deg (PQ)=degP+degQ:(10)On en déduit le
Théorème 1SoientPetQdansK[X]. Alors
PQ=0()(P=0ouQ=0):(11)
On traduit ce résultat en disant que l"anneauK[X]estintègre(voir le complément de cours "Anneaux et corps").
DémonstrationSiP=0ouQ=0;il est clair quePQ=0:Réciproquement, par contraposition, siP6=0etQ6=0alors degP0et degQ0car le polynôme nul est le seul qui ait un degré négatif (égal à-1):Donc deg(PQ)0. Ainsi
PQ6=0.
TLM1Compléments sur les polynômes32 Divisibilité dansK[X]Cette section est à mettre en parallèle avec le chapitre 28 de TLM1, où on étudie les propriétés arithmétiques des entiers.
On peut faire de même avec les polynômes car il existe unedivision euclidiennedansK[X]. L"outil fondamental qui permet
d"arithmétiserK[X]est le degré.2.1 Multiples et diviseurs
Dé...nition 1SoientAetBdansK[X]:On dit queBdiviseA;ou queBest undiviseurdeA;s"il existeQ2K[X]tel queA=BQ.On note alorsBjA. On dit également queAest unmultipledeB. X n-1=(X-1)Xn-1+Xn-2++1:(12)Cette formule se véri...e aisément en développant le membre de droite, et doit être connue.
Remarque 4SiB=0dans la dé...nition 1, alorsA=0etQest quelconque.SiB6=0;le polynômeQest unique. En
Remarque 5Le degré d"un produit est la somme des degrés; on en déduit que siBdiviseAet siA6=0;alors
degBdegA. Par contraposition, il vient : si degB >degAet siBdiviseAalorsA=0:On mettra cette remarque en
parallèle avec la remarque 28.2, page 340 de TLM1. On se convaincra alors que le degré joue, pour les polynômes formels,
un rôleanalogueà celui de la valeur absolue dansZ. Dé...nition 2On dit que que les polynômesAetB2K[X]sontassociéss"il existe2Ktel queA=B. Théorème 2AetB2K[X]sont associés si et seulement siAjBetBjA: DémonstrationSiAetBsont associés, il existe2Ktel queA=B.DoncBjAcar2Kest un polynôme de degré 0. De mêmeB=1A;doncAjB:
Réciproquement, supposons queAjBetBjA:Alors il existe deux polynômesPetQtels queB=APetA=BQ:En prenant les degrés, il vient degB=degA+degPet degA=degB+degQ:Par addition de ces deux égalités, il vient
degP+degQ=0:La seule valeur négative du degré étant-1;ceci implique degP=degQ=0:DoncQest un polynôme
de degré0;c"est-à-direQ=2K:AinsiAetBsont associés.2.2 Division euclidienne
Théorème 3SoientAetBdansK[X]avecB6=0; alors il existe un unique couple(Q;R)dansK[X]tel queA=BQ+R
etdegRA=BQ1+R1=BQ2+R2=)B(Q1-Q2)=R2-R1:
On en déduit queBdiviseR2-R1. Mais deg(R2-R1)max(degR1;degR2) est de degré strictement plus petit quenpuisqu"on s"est arrangé pour éliminer les termes de degrén. Si degA1 TLM1Compléments sur les polynômes4Sinon, on recommence le procédé avecA1:On élimine le terme de plus haut degré deA1en multipliantBpar un facteur En poursuivant de même, on dé...nit une suiteAnde degréstrictement décroissanttelle queAn-1=nXnB+An: Puisque degAnest une suite d"entiersqui décroît strictement, il existe un entierNtel que degAN On notera que la démonstration proposée ici traduit très exactement, dans le cas général, leprocédé pratiquede division euclidienne tel qu"il a été exposé dans l"exemple 34.5 de TLM1, auquel on se reportera. La formule 13 exprime, en fait, que l"on multiplieBpar un facteur convenable de façon à éliminer, par soustraction, le terme de plus haut degré deA:On répète Remarque 7On notera l"analogie avec la division euclidienne dansZ. De nouveau, le degré joue dansK[X]le même De la même manière que pour les entiers relatifs, on dé...nit les notions de pgcd et de ppcm. Le théorème 3 de la division euclidienne des polynômes prouve que les diviseurs communs àAetBsont ceux communs àBetR, oùRest le reste de la division deAparB(comparer avec le théorème 28.3 de TLM1, page 343). Si on réitère le procédé en divisantBparR; on obtient un nouveau resteR1; en notant(A;B)l"ensemble des diviseurs communs àAetB;on a(A;B)=(R;R1). Puisque degR1 on obtient un reste nul. Si on noteDle dernier reste non nul, on a(A;B)=(D;0);ensemble des diviseurs deD. Le polynôme obtenu ennormalisantD(c"est-à-dire en le divisant par son coe¢ cient dominant) est appelé le pgcd deA et on dispose d"un procédé pratique pour déterminerD:Ce procédé, que l"on vient d"exposer, est l"algorithme d"Euclide. Comme pour les entiers, on peut "remonter"l"algorithme d"Euclide et en déduire l"existence de deux polynômesUetV TLM1Compléments sur les polynômes5Si le pgcd deAetBest le polynôme constant égal à1;on dit queAetBsontpremiers entre eux. Alors lethéorème de Théorème 4Les polynômesAetBsont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômesUetVtels que Remarque 8SiAest premier avecBetC;alorsAest premier avecBC(voir corollaire 28.1). On en déduit l"important Par la remarque8;on obtient par récurrence surpqueX-aet(X-b)psont premiers entre eux, puis par récurrence Pour ...nir, dé...nissons le ppcm de deux polynômes. Soit(A;B)est l"ensemble des multiples communs àAetB;etM l"ensemble des degrés des polynômes non nuls de(A;B), c"est-à-direM=fdegP; P2M(A;B)etP6=0g:Mest une partie non vide deN(elle contient degA+degBcarAB2(A;B)). Elle admet donc un plus petit élémentm:SoitMun polynôme de(A;B)de degrém. Alors82K; Mest encore un multiple commun àAetBde degrém:On dé...nit le ppcm deA A_B; par dé...nition deA_B;on aR=0. On a donc prouvé que tout multiple commun àAetBest un multiple deA_B. Remarque 9Dans "pgcd"et "ppcm"les termes "grand"et "petit"doivent donc être compris au sens de la divisibilité : Les propriétés du pgcd et du ppcm vues au chapitre 28 de TLM1 s"étendent aux polynômes. Les théorèmes33:2; 33:6et Théorème 7SoientAetB2K[X]. AlorsABet(A^B)(A_B)sont associés (c"est-à-dire sont égaux à une constante En particulier, siAetBsont premiers entre eux, leur ppcm estA_B=ABoùest l"inverse du produit des coe¢ cients Dans cette section, nous montrons comment exprimer un polynôme à l"aide de ses dérivées successives en un point. Cependant, puisque nous travaillons sur despolynômes formels, nous ne pouvons pas utiliser la notion usuelle de dérivée, qui utilise les propriétés deRet notamment la notion de limite (dé...nition 10.1 de TLM1). Nous devons donc donner d"abord unedé...nition de la dérivée formelle d"un polynôme. Celle-ci s"obtient par "dérivation terme à terme"et redonne bien sûr la La formule de dérivation d"un produit déjà rencontrée pour les fonctions reste valable pour la dérivée formelle des Dans ce cas cependant, elle n"est pas du tout évidente car la démonstration du théorème 10.4, page 108 de TLM 1, n"est pas valable. Il faut démontrer la formule de dérivation d"un produità partir de(16):Pour ce faire, posons En utilisant la distributivité de la multiplication sur l"addition dansK[X]et la linéarité de la dérivation [formule(17)];2-R1=0;puis par intégrité (B6=0) queQ1=Q2.
Prouvons maintenant l"existence, ce qui donnera l"algorithme de la division euclidienne dansK[X]. Si degA Alors le polynôme
A 1=A-anb
qXn-qB=anXn+-anb qXn-q(bqXq+)(13) 2X2et en dé...nissant doncA2tel que degA2
A=1X1B+A1=1X1B+2X2B+A2=
=1X1+2X2++NXNB+An: Le théorème de division euclidienne est démontré. Remarque 6BdiviseAsi et seulement siR=0.
2.3 Arithmétique des polynômes
PjAetPjB()Pj(A^B):(14)
A=B(8X-10)+X2-X-2:
On a doncR=X2-X-2:On divise ensuiteBparRet on obtient B=(X-1)R+(X-2):
En...n la division deRparX-2donneR=(X-2)(X+1)+0.
Le dernier reste non nul est le polynôme unitaireX-2;qui est le pgcd deAetB. A=B(8X-10)+X2-X-2;B=(X-1)X2-X-2+(X-2):
On en déduit que
X-2=B-(X-1)X2-X-2=B-(X-1)(A-B(8X-10))
(X-1)A+8X2-18X+11B: Bézouts"écrit :
AU+BV=1.
La réciproque étant immédiate, on a :
AjPetBjP()A_BjP:(15)
Pest plus "petit"queQsiPdiviseQ.
33:8donnent des théorèmes auxformulations identiquespour les polynômes. En revanche, le théorème 28.9 s"énonce ainsi :
3 Formule de Taylor
Dé...nition 3SoitP=a0+a1X++anXn=nP
k=0a kXk2K[X]. On appellepolynôme dérivédePle polynôme P 0=a1+2a2X++nanXn-1=nX
k=0ka kXk-1(16) P 0=0,a1=a2=:::=an=0,P=a0:
Par ailleurs degP0=deg(P)-1siPn"est pas constant.
D"après la dé...nition, on a pour tout
(P;Q)2K[X]2,(;)2K: P+Q)0=P0+Q0:(17)
Cette propriété porte le nom delinéarité de la dérivation. PQ)0=P0Q+PQ0(18)
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