[PDF] Exercice en temps libre - Semaine 9

View - Download Exercice en temps libre - Semaine 9

Previous PDF

Next PDF

Exercice en temps libre - Semaine 9

Exercice

1) Quelle est la période de la fonctiontan?

2) Représenter la fonctiontansur l"intervalle?-π

2,π2?.

3) Démontrer l"existence d"une suite de polynômes(Tn)n?Ntelle que;

-T0(X) =X - pour tout natureln,?x??-π

2,π2?,tan(n)(x) =Tn(tan(x))oùtan(n)désigne la dérivéen-ième de la

fonctiontan. On explicitera une relation de récurrence vérifiée entreTnetTn+1.

4) Expliciter les polynômesT1,T2,T3.

5) Soitn?N. Démontrer que les coefficients du polynômeTnsont des entiers naturels. Quel est le degré du

polynômeTn?

6) Justifier qu"il existe une unique suite de nombres entiersnaturels(tn)n?Ntelle que

?n?N?,?x??

2,π2?

,tan(x) =n? j=0t j(2j+ 1)!x2j+1+? x

0(x-t)2n+1(2n+ 1)!T2n+2(tan(t))dt

On citera précisément le théorème utilisé.

Dans la suite on noteraIun intervalle ouvert symétrique par rapport à0etfde classeC∞deIdansR.

On note?x?I ,Rn(x) =1

(n-1)!? x 0 f(n)(t)(x-t)n-1dt On suppose aussi quefest impaire et que?n?N?,?x?I , f(n)(x)?0

7) Justifier que?n?N?,?x?I , Rn(x) =f(n)(0)

n!xn+Rn+1(x)

8) Soitb?Itel queb >0.

a) Montrer que la suite(Rn(b))n?1est convergente. b) Soientx?[0,b]etn?N?. i) JustifierRn(x) =xn (n-1)!? 1 0 f(n)(tx)(1-t)n-1dt ii) En déduire que0?Rn(x)?xn (n-1)!? 1 0 f(n)(tb)(1-t)n-1dt iii) Démontrer queRn(x)??x b? nR n(b) c) En déduire que?x?]-b,b[, f(x) =+∞? n=0f (n)(0) n!xn

9) Démontrer?x??-π

2,π2?,tan(x) =∞?

n=0t n(2n+ 1)!x2n+1

10) Pour les 5/2 : que peut-on dire du rayon de convergence de cette série entière?

1

1) La fonctiontana pour périodeπpuisque son ensemble de définition est invariant parx?→x+πet que

tan(x+π) =sin(x+π) cos(x+π)=-sin(x)-cos(x)= tan(x).

2) La fonctiontanest strictement croissante et impaire sur?-π

2,π2?et elle a pour limite+∞enπ2. La stricte

croissance detansur]-π/2,π/2[montre queπest la plus petite période positive detan.

3) Démontrons par récurrence surnl"existence de la suite(Tn).

tan (0)(x) = tanx=T0(tanx)en posantT0(X) =X. Supposons pour un entiernl"existence d"un polynômeTnvérifianttan(n)(x) =Tn(tanx). En dérivant la fonction composée on obtient :tan(n+1)(x) =T?n(tanx)(1 + tan2(x)). En posantTn+1= (1 +X2)T?non obtienttan(n+1)(x) =Tn+1(tanx)oùTn+1est un polynôme. La propriété est bien démontrée par récurrence.

4)T1= 1 +X2,T2= (1 +X2)×2X= 2X3+ 2XetT3= (1 +X2)×(6X2+ 2) = 6X4+ 8X2+ 2.

5) On démontre par récurrence surnqueTnest un polynôme de degrén+ 1à coefficients dansN.

C"est vrai pourn= 0puisqueT0=Xa pour degré 1.

Supposons le vrai pour un entiern. DeTn+1= (1 +X2)T?non déduit queTn+1est un polynôme à coefficients

entiers (T?nl"étant) et qu"il a pour degrén+2(le degré deT?nestn+1-1 =n). On a bien démontré la propriété

par récurrence.

6) Appliquons la formule de Taylor avec reste intégral :

sifest de classeCN+1sur[a,b]alorsf(b) =?Nk=0(b-a)k k!f(k)(a) +?b a(b-t)NN!f(N+1)(t)dt.

Prenonsf= tan,a= 0,b=xetN= 2n+1. La fonctiontanétant impaire, ses dérivées d"ordre pair sont aussi

des fonction impaires et donc s"annulent en 0. On obtient bien la formule demandée en posanttj= tan(2j+1)(0)

et en utilisantf(2n+2)(t) =T2n+2(tant).

7) On effectue une intégration par parties sur[0,x]?I:

R n(x) =? x

0(x-t)n-1

(n-1)!f(n)(t)dt=? -(x-t)nn!f(n)(t)? x 0+? x

0(x-t)nn!f(n+1)(t)dt=xnn!f(n)(0) +Rn+1(x)

8) a) Puisquef(n)?0etb >0(doncb-t?0), la suite(Rn(b))est positive. De plusRn+1(b) =Rn(b)-

bn n!f(n)(0)?Rn(b). La suite est décroissante, minorée par 0 donc elle converge.

8) b) i) En effectuant le changement de variable défini part=xuon obtient :

R n(x) =?1

0(x-xu)n-1

(n-1)!f(n)(xu)x du=xn(n-1)!? 1

0(1-u)n-1f(n)(xu)du.

ii) On sait déjà queRn(x)?0puisquex?0. Commef(n+1)?0, la fonctionf(n)est croissante donc f (n)(ux)?f(n)(ub)et puisque1-u?0etx?0on obtient bien la majoration demandée. iii) Avec i. et ii. on obtient R n(x)??x b? nbn(n-1)!? 1 0 (1-u)n-1f(n)(tb)t=?xb? nR n(b)

c) Appliquons à nouveau la formule de Taylor avec reste intégral à l"ordrenpour la fonctionfsur l"intervalle

[0,x](avecx >0). f(x) =?nk=0xk k!f(k)(0) +Rn+1(x)et puisque0?Rn(x)??xb? nRn(b)tend vers 0 quandntend vers+∞(car 0Puisquefest impaire, lesf(2n)(0)sont nuls et l"égalité s"étend donc auxxdans]-b,0[par imparité des deux

membres de l"égalité.

9) La fonctiontanvérifie les conditions demandées pourf: elle est de classeC∞sur?-π

2,π2?et pourx??0,π2?,

tan (n)(x) =Tn(tan(x))?0puisqueTnest à coefficients dansNettan(x)?0. Pour toutx??0,π

2?on peut

trouver unb??x,π

2?et le résultat du I B.8.(c) s"applique. Avectan(2n)(0) = 0et en posanttn= tan(2n+1)(0)

on obtient le résultat demandé.

10) D"après la question précédente le rayon de convergence est au moins égal àπ

2. Mais s"il était supérieur àπ2,

la fonction tangente aurait une limite finie en

2, ce qui est faux. Le rayon de convergence est donc égal àπ2.

2quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] dérivée n-ième d'une fonction

[PDF] dérivée nième de cos^3

[PDF] derivee nieme de cos(ax)

[PDF] dérivées partielles exercices corrigés

[PDF] dérivée partielle pdf

[PDF] différentielle totale

[PDF] dérivée partielle fonction composée

[PDF] dérivées partielles secondes

[PDF] dérivée totale

[PDF] différentielle totale exemple

[PDF] dérivée racine carrée

[PDF] dérivée u puissance n

[PDF] formule dérivée

[PDF] dérivée seconde exponentielle

[PDF] convexe