Chapitre 9 : Primitives – Intégration
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 1 PRIMITIVES ET
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Tout le cours sur les primitives en vidéo : https://youtu.be/LIm3DN63bxQ Tout le cours sur les équations différentielles en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8Partie 1 : Primitive d'une fonction
1) Définition et propriétés
Exemple :
On considère les fonctions et définies par : =2+3 et +3-1Si on dérive , on constate que :
=2+3=Lorsque
=, on dit que est une primitive de . Définition : est une fonction continue sur un intervalle . On appelle primitive de , une fonction , telle que :Remarque :
Dans ces conditions, dire que " est une primitive de » revient à dire que " est la dérivée de ». Méthode : Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre fonctionVidéo A venir
Dans chaque cas, dire si est une primitive de . a) 2 2 et b) et (+1). c) ln() et -ln 2Correction
a)2
2Donc est une primitive de .
b) =1× +1Donc est une primitive de .
c) 1×-ln()×1
21-ln()
2Donc n'est pas une primitive de .
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2Propriété : Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une
constante.Démonstration :
Soit et deux primitives de la fonction sur . Alors : '()=() et '()=(). Donc : '()='(), soit ' -'()=0, soit encore (-)'()=0.La fonction - possède une dérivée nulle sur , elle est donc constante sur .
On nomme cette constante. Ainsi :
-()= pour tout de . On en déduit que les deux primitives de diffèrent d'une constante. Propriété : est une fonction continue sur un intervalle . Si est une primitive de alors pour tout réel , la fonction ⟼ + est une primitive de .Démonstration :
est une primitive de .On pose
()+0=Donc est une primitive de .
Exemple :
On a vu dans la méthode précédente que est une primitive de avec : 2 2 etDonc, la fonction définie par
2 2 +5 est également une primitive de .En effet :
2
2 +0== Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Remarque : Bien que l'existence étant assurée, la forme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue. Par exemple, la fonction ⟼ ne possède pas de primitive sous forme explicite. Méthode : Recherche d'une primitive particulièreVidéo https://youtu.be/-q9M7oJ9gkI
Soit la fonction définie sur ℝ* par a) Démontrer que la fonction définie sur ℝ* par est une primitive de . b) Déterminer la primitive de la fonction qui s'annule en =1. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3Correction
1) ′
Donc '= et donc la fonction est une primitive de .2) On cherche la primitive de la fonction qui s'annule en =1, soit :
1 =0. Si est une primitive de alors : +, où est un nombre réel.Donc :
1 1Et donc :
1 +=0Soit :
+=0 +=0 La primitive de la fonction qui s'annule en =1 est telle que :2
2) Primitives des fonctions usuelles
Fonction Une primitive
avec ∈ℕ 1 +1 1Avec >0
ln() 23) Linéarité des primitives
Propriété :
Si est une primitive de et est une primitive de alors : - +est une primitive de +, - est une primitive de ,avec réel.Démonstrations :
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 4Méthode : Déterminer une primitive (1)
Vidéo https://youtu.be/GA6jMgLd_Cw
Vidéo https://youtu.be/82HYI4xuClw
Vidéo https://youtu.be/gxRpmHWnoGQ
Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a) -2 b) =3 1 c) 3 sur0;+∞
d) 2Correction
a) 1 4 -2 b) =3 1 =3 2 -3× donc -3×L- 1M=
3 c) 3 =3× 1 =3ln() Remarque : L'intervalle de recherche de la primitive est0;+∞
, car la fonction est définie pour des valeurs strictement positive. d) 2 =2× 1 =2×2 =44) Primitives de fonctions composées
est une fonction dérivable sur un intervalle I.Fonction Une primitive
2′
avec >0 ln()Méthode : Déterminer une primitive (2)
Vidéo https://youtu.be/iiq6eUQee9g
Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a)2-5
-5+4) b) c) 2 3 +1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 5Correction
a)2-5
-5+4 1 2 ×22-5
-5+4 du type 2′En effet :
-5+4 → =2-5. Une primitive de 2′ est de la formeSoit :
1 2 -5+4 b) 1 2×2
du type ′En effet :
=2.Une primitive de ′
est de la formeSoit :
1 2 c) 2 3 +1 1 33
2 3 +1 du type 5 5En effet :
+1→ =3Une primitive de
5 5 est de la forme ln().Soit :
1 3 ln +1Partie 2 : Équations différentielles
1) Définition d'une équation différentielle
Définition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et
où interviennent des dérivées de cette fonction.Exemples :
a) L'équation =5 est une équation différentielle.L'inconnue est la fonction .
En considérant que est la fonction inconnue qui dépend de , l'équation peut se noter :
=5 b) L'équation =2 -3 est également une équation différentielle. L'inconnue est la fonction dont la dérivée est égale à 2 -3.2) Équation différentielle du type '=
Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle .La fonction est une solution de l'équation différentielle '= si et seulement si
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 6Propriété :
Dire que est une primitive de , revient à dire que est une solution de l'équation
différentielle '=.En effet, '=.
Méthode : Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielleVidéo https://youtu.be/LX8PxR-ScfM
Prouver que la fonction définie sur
0;+∞
par =3 +ln est solution de l'équation différentielle =6+Correction
=3×2+ 1 =6+ 1 Donc, est solution de l'équation différentielle =6+3) Équations différentielles du type '=
Propriété : Les solutions de l'équation différentielle '=, ∈ℝ, sont les fonctions de la
forme ⟼ 0# , où est une constante réelle quelconque.Démonstration :
• Soit la fonction définie sur ℝ par 0# , où est un réel.Alors,
0# 0#Donc
est donc solution de l'équation différentielle '=.• Réciproquement, soit une solution de l'équation différentielle '=.
Et soit la fonction définie sur ℝ par &0# est dérivable sur ℝ et on a : &0# &0# Comme est solution de l'équation différentielle '=, on a : 'Ainsi :
&0# &0# &0# &0# =0. La fonction est donc égale à une constante réelle , soit : &0#Et donc :
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