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VARIABLE QUALITATIVE (C1, C4, C6, G, J, K, L)

(18 / 10 / 2021, © Monfort, Dicostat2005, 2005-2021) L'importante notion de variable qualitative désigne un " descripteur », ou un " qualificatif », relatif à un phénomène observable donné : c'est un attribut de type qualitatif attribuable à des unités statistiques concernées par ce phénomène. On distingue usuellement les deux notions suivantes (cf loi multivariée) : (a) celle de variable qualitative simple, ou variable qualitative univariée, qui est une va " unique », ne pouvant s'assimiler à une famille de variables aléatoires. Ainsi, la " couleur des yeux » d'un être humain est une qualitative

élémentaire ;

(b) celle de variable qualitative multiple, ou variable qualitative multivariée, qui est une famille (le plus souvent finie) de va simples du type précédent. Ainsi, le couple (" couleur des yeux », " couleur des cheveux ») d'un être humain est une qualitative multiple. Trois approches font habituellement usage de la notion : (a) l'approche descriptive, (b) l'approche probabiliste et (c) l'approche proprement statistique. (i) En Statistique descriptive, on ne fait pas explicitement référence à un contexte probabiliste. On considère alors (cas univarié) : (a) un ensemble  d'unités statistiques (ou " individus ») composant une population donnée, avec  = {1 ,..., L} dans le cas fini ; (b) un ensemble (généralement fini) K, destiné à qualifier ces unités, et dont les éléments sont appelés modalités. Cet ensemble est généralement " amorphe », au sens où il n'est pas un ensemble algébrique. On le note K = {k1 ,..., kM} dans le cas fini ;

(c) une application  qui associe à tout élément (unité ou individu)  Î  une

" valeur » k =  () Î K. Cette valeur est un " qualificatif » pouvant être attribué à

(observé sur) cet élément. Tout élément  indicié par l = 1 ,..., L se voit donc

attribuer des valeurs klm =  (l) (m = 1 ,..., M). On dit alors que  est une variable qualitative, ou un caractère statistique, simple mesuré sur ces unités.

Par suite, on peut noter nm le nombre d'unités  possédant le caractère km , d'où une

répartition {n1 ,..., nM} des unités de la population entre les M modalités,

d'où résultent : (a) un total L = m=1M nm (dans le cas d'une population finie) (fréquence absolue) ; 1 (b) des proportions empiriques (ou fréquences relatives) fm = nm / L. Ces nombres définissent ainsi un " tableau de contingence empirique » univarié. (ii) En calcul des probabilités, une variable qualitative est considérée comme une variable aléatoire particulière, un moyen commode pour décrire le phénomène examiné : elle fait partie de l'ensemble des " données » associées à l'observation de ce phénomène. On note (, T, P) un espace probabilisé, (K, D) un espace mesurable (ou espace probabilisable) et  :  a K une application mesurable (pr aux tribus

T et D), ie une variable aléatoire :

(a) on dit alors que  est une variable qualitative, ou une variable catégorielle, ou un attribut, ou un caractère (statistique), ou un descripteur, ou un code, simple, ou parfois une variable polytomique (ie une variable à plusieurs modalités), ssi K n'est pas un ensemble numérique, ou qu'il ne peut être identifié à un tel ensemble : eg il n'existe aucune partie K Ì K tq K Ì R. Ainsi, K ne possède pas de structure algébrique particulière ou l'on ne peut définir aucune opération algébrique sur K. En particulier, K ne peut être assimilable à un groupe algébrique (cf groupe mesurable) : les opérations arithmétiques qui sont usuelles sur N, Z, Q, D (nombres décimaux), Q ou R (addition et soustraction,

multiplication et division, racine carrée ou élévation à une puissance) sont dénuées

de sens sur K ; (b) tout élément k Î K est appelé modalité, ou état, ou catégorie, ou parfois classe, de  (ou même de K). La tribu D est généralement la tribu discrète P(K) (famille des parties de K) ; (c) l'espace (K, D) des qualificatifs est parfois appelé espace qualitatif ; (d) en pratique, K est souvent un ensemble non numérique fini. On le note alors K = {k1 ,..., kM}, avec M Î N*, Card K = M (nombre fini de modalités km), où l'on suppose toujours que les km sont distincts deux à deux. On note parfois, plus simplement, K = {1 ,..., M} (les indices m jouant le rôle des modalités km). (iii) La loi de probabilité d'une variable qualitative (simple) , est, par définition, l'image de P par  : on peut la noter P ou L (). C'est donc une loi qualitative, généralement représentée sous forme de tableau de contingence théorique (ici à une entrée, ou " tableau unidimensionnel ») (cf graphique infra). 2 Si K = {k1 ,..., kM} désigne la famille des modalités de , la famille {p1 ,..., pM} des probabilités élémentaires associées à P est tq, par définition : (1)pm = P ([k = km]) = P ([-1 (km)])," m Î NM* = {1 ,..., M}. 3

Variable qualitative simple (diagramme probabiliste)(" distances » entre modalités km non significatives)Variable qualitative simple (diagramme tabulaire)

(tableau

de contingence (K, P))(iv) Une variable qualitative (simple) peut appartenir à l'un des deux types suivants :

(a) variable nominale. Si K n'est pas structuré (ie ne possède aucune

structure interne particulière), ses éléments (modalités), quoique de même

" nature », sont sans relations entre eux. Dans ce cas,  (voire aussi K) est appelée caractère qualitatif non ordonné, ou caractère qualitatif nominal, ou simplement caractère nominal. Ce type de variables provient souvent d'une classification ou d'une " catégorisation » : éléments chimiques (classification de MENDELEEV) ou objets célestes (étoiles, astéroïdes, nébuleuses, etc) (physique), couleurs des yeux ou des cheveux (biologie), espèces (animales ou végétales) (écologie), dysfonctionnements mentaux (névroses, psychoses) (psychologie), groupes politiques ou sociaux, nomenclature d'agents ou d'opérations économiques (classifications) (sociologie) ; 4 (b) variable ordinale. Si les éléments (modalités) de K sont ordonnés (au sens courant du terme) entre eux, on peut considérer que K est doté d'une structure d'ordre (cf relation d'ordre) ou de préordre, notée £, ce qui définit un ensemble (pré)ordonné (K, £) = {k1 ,..., kM}, avec km-1 £ km (au sens de l'ordinalité £), " m Î NM* \ {1} = {2 ,..., M} (cf aussi échelle ordinale). Par suite,  est appelée variable qualitative ordinale, ou caractère qualitatif ordonné, ou caractère qualitatif ordinal, Ainsi, l'ensemble des modalités d'un questionnaire sur des préférences, l'ensemble des modalités d'une grandeur exprimant une magnitude (taille : " petit », " moyen »,

" grand » ; revenu : " sous un seuil de pauvreté », " faible », " moyen », " aisé »,

" élevé »), une inclusion ensembliste monotone (ie croissante ou décroissante) ou encore une variable de classification (déduite d'un codage de variables numériques : eg catégories de couleurs, de sons) sont des variables qualitatives ordinales ; (v) Une variable qualitative nominale (simple)  peut, dans certains contextes, être transformée en une va (simple) d'un autre type, eg : (a) transformation en qualitative ordinale (simple). Ceci peut résulter : (a)1 de l'existence d'un (pré)ordre a priori. Si  est nominale, l'homme de l'art ou le statisticien peuvent parfois lui attribuer un (pré)ordre £u , et lui associer ainsi une

ordinale  . En effet, si u : K a R désigne leur fonction d'utilité (préférences a

priori entre modalités), les valeurs um = u (km) (m = 1 ,..., M) peuvent être ordonnées

selon u = {u(1) ,..., u(M)}, avec u(m-1) £ u(m) , " m = 2 ,..., M (ordre numérique

croissant £ de R), où  Î SM désigne la permutation de NM* associée à cet ordre.

Par suite,  peut être assimilée à une ordinale, avec k(m-1) £u k(m) , " m = 2 ,..., M (£u

désignant l'ordre induit par £ sur K) ; (a)2 de l'existence d'un (pré)ordre imputé à la Nature. Dans le même ordre d'idées, on peut attribuer à une nominale  un autre (pré)ordre £N , et la transformer encore en ordinale. En effet, si {k1 ,..., kM} désigne la famille (non structurée) des modalités

de  et {p1 ,..., pM} la famille des probabilités élémentaires associées, on peut parfois

admettre que ces probabilités sont " représentatives » de leurs modalités

respectives : ces dernières représentent (ou sont assimilées à) des " états », ou préférences, de la Nature. Par suite, on peut imputer à ces états un pré(ordre) (de

préférences) £N défini à partir de la suite ordonnée {p(1) ,..., p(M)}, avec p(m-1) £ p(m) ,

" m = 2 ,..., M (ordre numérique croissant de R), où  Î SM désigne la permutation

concernée de NM*. De façon conforme,  est assimilable à une variable ordinale  ,

dont les modalités sont globalement les mêmes, ie {k(1) ,..., k(M)}, avec k(m-1) £N

k(m) , " m Î NM* \ {1} (où £N désigne l'ordre induit) ; (b) transformation en variable qualitative " valuée », ou valuation. S'il existe une application injective v : K a R tq  = v (), alors la nouvelle variable  5

est numérique et sa loi L () = L (v ()) est généralement une loi discrète. Cette

situation est réalisée eg par codage (cf aussi codage d'un modèle statistique). La plupart des caractéristiques légales (moments, modes, quantiles, etc) peuvent alors être définies et calculées. (vi) Dans le cas général, les caractéristiques légales usuelles (espérance ou moments, médiane ou quantiles, cumulants) peuvent ne pas être définies pour la loi d'une qualitative  car les valeurs de  ne sont généralement pas totalement ordonnées ni ne sont additives (cf groupe algébrique ordonné, ordre, relation d'ordre). Soit  Î K = {k1 ,..., kM} une variable qualitative (simple) quelconque à M modalités

(M << ¥) et P = m=1M 1{k(m)} . pm sa loi de probabilité, où 1A désigne l'indicatrice

d'une partie A de K : (a) si  est quelconque, la notion d'espérance (ou de moyenne) ne peut être définie comme celle d'une variable quantitative puisque K est un ensemble amorphe dans lequel aucune opération entre éléments n'est définie, et qu'il n'est généralement pas totalement ordonné. On peut, au mieux, considérer les suites, associées entre elles, (k1 ,..., kM) Î KM et (p1 ,..., pM) Î SM (simplexe de RM), avec pm

³ 0, " m, et m=1M pm = 1 ;

(b) cependant, dans le même contexte, si  : K a E (ensemble numérique totalement largement ordonné) est un codage de K, les valeurs {1 (k1) ,..., M (kM)} sont numériques et diverses notions (eg mode, fonction de répartition ou encore quantile dont la médiane) ont un sens. Ainsi, le moment algébrique d'ordre j = 1 ,..., p s'écrit simplement mj = M-1 m=1M (M (kM))j ; (c) enfin, certaines " types » de qualitatives  admettent des caractéristiques tq les précédentes. C'est le cas pour une variable ordinale, ou pour une nominale associée à un (pré)ordre (cf préordre). L'intérêt de transformations tq (5)(a) ou (5)(b) est de permettre l'extension de la liste des caractéristiques de la loi qualitative P : notamment, sa fonction de répartition, un quantile ou un quantile conditionnel (cf relation fonctionnelle) ; Variable qualitative ordinale simple (diagramme probabiliste) (fonction de répartition)(" distances » entre modalités km non significatives)6 (vii) Les variables qualitatives et les variables quantitatives (ou variables numériques) peuvent faire l'objet de diverses transformations entre elles, car elles entretiennent des relations dans les deux sens : (a) le sens numérique ® qualitatif (cf eg classification) et (b) le sens qualitatif ® numérique (cf attribut, code, codage, codage d'un modèle statistique) : (a) classification. Une qualitative peut être définie (de façon non unique) à partir d'une variable quantitative  à valeurs dans R. Ainsi, R = {R1 ,..., RM} désignant une partition finie de R, la bijection {x Î Rm} a {k = km} définit une qualitative  dont les modalités sont K = {k1 ,..., kM}. Cette qualitative dépend donc du choix de R . Ce type de transformation s'étend directement à une variable multiple. Un exemple consiste à attribuer à des " plages » de fréquences du spectre lumineux (visible) une dénomination de couleur ; (b) codage (statistique). Inversement, une variable numérique peut être définie à partir d'une qualitative (de type indifférent). Il est, en effet, possible d'associer à une variable qualitative (simple) une (ou plusieurs) variables quantitatives : c'est l'objet de la théorie du codage statistique.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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