DIVISIBILIT´E. DIVISION EUCLIDIENNE
1.4.2 Déterminons les entiers n tels que 2n ? 3 divise n + 5 . Si n = 8 2n ? 3 = 13
Contrôle de mathématiques
4) Trouver tous les entiers relatifs n tels que n + 3 divise n + 10. On a 23 = 8 et 8 ? 1 mod 7 d'après la règle de compatibilité avec les puissances
TSspémaths TS spé maths
Déterminer les entiers relatifs n tels que n ? 4 divise 3n ? 17. n ? 4. 3n ? 17 or n ? n ? 4. ?5. ?1. 1. 5 n. ?1. 3. 5. 9. 3n ? 17. ?20. ?8.
DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
56 est un multiple de -8 car 56 = -7 x (-8) Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1. Alors N divise n + 1 - n = 1.
CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE
Par exemple on a 2 ? 8 (mod 3) car 3 divise 2 ? 8 = ?6. doit diviser x ? y et donc x et y sont congrus modulo n. Le cas où a et n non premiers ...
Eléments de base en arithmétique
Quand on divise un nombre par 12 le reste est 8. Quand on divise ce Corrigé Il faut que n divise n + 7 or n divise n donc cela implique que n divise 7.
Licence de mathématiques 18-19 Calculus
Déterminer les entiers naturels n tels que 5 divise n + 2. n = 5. Apres vérification (nécessaire !) les solutions sont : ?8
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Si D un diviseur de b et r alors D divise a = bq + r et donc D est un diviseur de a et b. Il n'existe qu'un nombre fini d'entiers compris entre 0 et r.
Multiples. Division euclidienne. Congruence
25 juin 2018 L'algorithme suivant est basé sur le fait que si d divise N alors N = kd donc le ... donc (n ? 3) est un diviseur de 8.
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que pour tout entier naturel n
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Exemple : Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1 Alors N divise n + 1 - n = 1 Donc N = -1 ou N = 1
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Il n'existe qu'un nombre fini d'entiers compris entre 0 et r Il existe donc un rang k tel que et Ainsi l'ensemble des diviseurs communs de a et b est
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3 – Soient m et n deux entiers naturels impairs montrer que 8 divise m2 + n2 + 6 1 – Soit n?N montrer que : (n2 + 1 – n )(n2 + 1 + n ) = n4 + n2 + 1
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La condition que d divise b est nécessaire c'est à dire si la congruence a une solution alors d divise b En effet si on a ax ? b (mod n) alors il existe
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entier n ? 1 Montrer que a divise b Exercice 8 Soit n un entier strictement positif On appelle k le nombre de diviseurs premiers de n Prouver que :
arithmétique - spé Maths - divisibilité dans Z - définition - Jaicompris
1) Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair 2) Démontrer que lorsque n est un entier impair 8 divise n2?1 Corrigé en vidéo
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On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divi- sibles par 7 a) Vérifier que 103 ? ?1(modulo 7) On a : 1001 = 7 × 143
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Montrer que pour tout entier naturel n 2n+1 divise E((1+ Montrer que n = 4 48 89 (p chiffres 4 et p?1 chiffres 8 et donc 2p chiffres) (en base
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Déterminer tous les nombres entiers naturels compris entre 202et 299 qui sont divisibles par 3et par 5 Exercice 8 : Soit n un entier naturel tel que 2 n ?
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Étudier la propriété suivante : pour tout entier naturel n k divise (k+1)n +2 [000162] Exercice 66 Démontrer que pour n ? 1 le produit de n entiers
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DIVISIBILIT´E. DIVISION EUCLIDIENNE
Table des mati`eres
1 Divisibilit´e dansZ2
1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2
1.2 Th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3
1.4.1 Montrons que la somme de 3 entiers cons´ecutifs est divisible par3 . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.2 D´eterminons les entiersntels que 2n3 divisen+ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.3 Trouvons les diviseurs communs possibles aux entiers a et b lorsquea= 9k+ 2 etb= 12k+ 1,
aveckentier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
2 Division Euclidienne4
2.1 Th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4
2.2 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 4
2.3 Algorithme de recherche des diviseurs d"un entier . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5
2.4.1 n d´esignant un entier naturel non nul, quel est le reste de la division euclidienne de (n+2)2par
n+ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5
2.4.2 n d´esignant un entier naturel non nul, quel est le reste de la division euclidienne de 2n2+npar
n+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5
2.4.3 Montrons que pour tout n entier relatif, l"entierN=n(n2+ 5) est divisible par 3. . . . . . . . 6
2.4.4 Montrons que pour tout entier naturelnl"entierN= 4n1 est divisible par 3 . . . . . . . . 6
1Divisubilit´eLyc´ee Marie Curie de Tarbes
1 Divisibilit´e dansZ
1.1 D´efinition
Soitaetbdeux entiers relatifs.
On dit quebdiviseaou queaest un multiple deb, s"il existe un entier relatifktel quea=kb.Exemple 1
3 divise 12 car 12=43
Notationsbdivisease noteb/a. L"ensemble des multiples debest not´ebZ. On a alorsbZ=...3b,2b,b,0,b,2b,3b...
Exemple 2
L"ensemble des multiples de3est 3Z=...18,15,12,9,6,3,0,3,6,9,12,15,18...Remarques :
0 est divisible par tout entier relatifa: 0 =a0 Tout entier relatifaest divisible par 1 ou1 :a=a1 ou
a= (a)(1)1.2 Th´eor`eme
Soita, betctrois entiers relatifs.
Siadivisebetc, alorsadivise toute combinaison lin´eairebu+cv, o`uuetvsont des entiers relatifs.En particulieradiviseb+cou encoreadivisebc.
D´emonstration 1
Siadivisebetcalors il existe deux entiers relatifsketktels queb=kaetc=ka.Et doncbu+cv=kau+kav= (ku+kv)a.
1.3 Propri´et´es
Siadivisebetbdiviseaalorsa=boua=b.
Siadivisebetbdivisecalorsadivisec( transitivit´e )D´emonstration 2
Siadivisebalors il existe un entier relatifktel queb=ka et de mˆeme sibdiviseail existe un entier relatifktel quea=kb. D"o`uab= (kb)(k a) =k kabsoitk k= 1, et donck=k= 1ouk=k=1. Siadivisebetbdivisecalors il existe deux entiers relatifsketktels queb=kaetc=kb.D"o`uc=kkaet doncadivisec
Arithm´etique 1Page 2Francis Rignanese
Divisubilit´eLyc´ee Marie Curie de Tarbes
1.4 Exemples
1.4.1 Montrons que la somme de 3 entiers cons´ecutifs est divisible par 3
3 entiers cons´ecutifs peuvent s"´ecriren1, netn+ 1 o`unest lui-mˆeme un entier.
On a alors (n1) +n+ (n+ 1) = 3n. CQFD
1.4.2 D´eterminons les entiersntels que2n3divisen+ 5
Sinest tel que 2n3 divisen+ 5 alors 2n-3 divise 2(n+ 5) = 2n+ 10 ou encore (2n+ 10)(2n-3) = 13 .Or les diviseurs de 13 sont13,1,1 et 13.
On devrait donc avoir :
soit 2n3 =13 d"o`un=5 soit 2n3 =1 d"o`un= 1 soit 2n-3 = 1 d"o`un= 2 soit 2n-3 = 13 soitn= 8.Nous avons agi par implication ( si...........alors ) nous devons v´erifier la r´eciproque En effet nous avons trouv´e
des valeurs de n tels que 2n-3 divise la diff´erence (2n+ 10)-(2n-3).Or nous savons que si un entiers divise une diff´erence il ne divise pasn´ecessairement chaque terme de cette diff´erence
( 2 divise 7 - 3 mais ne divise ni 7, ni 3 ) Il faut donc v´erifier que les valeurs trouv´ees pournsont bien solutions. Sin=5,2n3 =13, n+ 5 = 0 et -13 divise 0 : 0 = 0(13)Sin= 1,2n3 =1, n+ 5 = 4 et -1 divise 4 : 4 =4(1)
Sin= 2,2n3 = 1, n+ 5 = 7 et 1 divise 7
Sin= 8,2n3 = 13, n+ 5 = 13 et 13 divise 13.
1.4.3 Trouvons les diviseurs communs possibles aux entiersa et b lorsquea= 9k+ 2etb= 12k+ 1,
aveckentier Notonsdun diviseur commun `aaetb. Siddiviseaetbalorsddivise 4a-3b= 4(9k+ 2)-3(12k+ 1) = 5Doncd=5 oud=1 oud= 1 oud= 5.
Nous ne v´erifions pas la r´eciproque puisque nous r´epondons `a d"´eventuelles solutions
Arithm´etique 1Page 3Francis Rignanese
Divisubilit´eLyc´ee Marie Curie de Tarbes
2 Division Euclidienne
2.1 Th´eor`eme
Soitaun entier relatif etbun entier naturel non nul. Il existe un couple d"entiers unique (q;r), q´etant un entier
relatif etrnaturel, tel que a=bq+ravec 0r < bExemple 3
Sia= 21etb= 5,(q;r) = (4;1)car21 = 54 + 1
D´emonstration 3
Nous d´emontrons l"existence du couple(q;r)puis son unicit´e.1. Existence :
SoitbZ=...3b,2b,b,0,b,2b,3b...,l" ensemble des multiples deb. SiabZalors il existe un entier relatifqtel quea=bqet icir= 0. SiabZalors on peut encadreraentre deux ´el´ements debZ. On ´ecritbq < a < b(q+ 1) On r´esume les deux cas pr´ec´edents en ´ecrivantbqa < b(q+ 1)soit0abq < b. En posantr=abq(rd´esignant la distance entreaetbq) on obtienta=bq+ravec0r < b -3b -2b -b 0 b 2b 3b qb (q+1)ba2. Unicit´e : par l"absurde
On suppose qu"il existe deux couples(q;r)e t(q;r)tels quea=bq+r=bq+r.Et on suppose de plus par exemple quer> r.
On obtientrr=b(qq)doncrrest un multiple deb.
Or0r < bet0r< boub r <0et par additionbrr < b.
0 ´etant le seul multiple de b compris entre -b et b, on en d´eduit que r" - r = 0 d"o`u r = r" et q = q ".
2.2 D´efinitions
Soitaun entier relatif et b un entier naturel non nul.Arithm´etique 1Page 4Francis Rignanese
Divisubilit´eLyc´ee Marie Curie de Tarbes
Effectuer la division euclidienne deaparbc"est d´eterminer l"unique couple (q,r) tel que a=bq+ravec 0r < b aest le dividende,ble diviseur,qle quotient etrle reste.Exemple 4
Sia= 356etb= 17on a356 = 1720 + 16soitq= 20etr= 16 Sia=356etb= 17on a356 = 17(21) + 1soitq=21etr= 1il ne faut pas perdre de vue que le reste d´esigne une distance donc est toujours positif.Sia= 356etb=17on a356 =17(20) + 16soitq=20etr= 16
Ici nous envisageons un cas plus g´en´eral que celui ´etudi´e pr´ec´edemment car b est n´egatif,0r Les restes possibles dans la division euclidienne denpar 3 sont 0, 1, 2. Donc tout entierns"´ecrit de l"une des Conclusion les 3 cas pr´ec´edents permettent de dire que pour tout entier relatifn,Nest divisible par 3. - On suppose la propri´et´e vraie au rangnet montrons qu"elle est alors vraie au rangn+ 1,autrement dit - On a montr´e que la propri´et´e est vraie au rang 0 et qui si elle est vraie au rangnelle est aussi au rangn+1 .2.3 Algorithme de recherche des diviseurs d"un entier
D´ebut
Lire N
d1 Tant qued?Nfaire
RReste (N/d)
SiR= 0 alors ´ecrire d. Fsi
dd+ 1 Ftq FIN 2.4 Exemples
2.4.1 n d´esignant un entier naturel non nul, quel est le reste de la division euclidienne de(n+2)2par
n+ 4 (n+ 2)2=n2+ 4n+ 4 = (n+ 4)n+ 4 avec 0?4< n+ 4 2.4.2 n d´esignant un entier naturel non nul, quel est le reste de la division euclidienne de2n2+npar
n+ 1 2n2+n= (n+ 1)(2n1) + 1 avec 0?1< n+ 1
Arithm´etique 1Page 5Francis Rignanese
Divisubilit´eLyc´ee Marie Curie de Tarbes
2.4.3 Montrons que pour tout n entier relatif, l"entierN=n(n2+ 5)est divisible par 3.
M´ethode exhaustive ou de disjonction des cas
2.4.4 Montrons que pour tout entier naturelnl"entierN= 4n1est divisible par 3
Par r´ecurrence
Soit la propri´et´ePn:N= 4n1 est divisible par 3. - Pourn= 0, N= 401 = 11 = 0 Et 0 est divisible par 3. Donc la propri´et´e est vraie pourn= 0. Arithm´etique 1Page 6Francis Rignanese
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