[PDF] Licence de mathématiques 18-19 Calculus

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Université Paris Descartes

UFR de Mathématiques et Informatique

45, rue des Saints-Pères 75270 Paris cedex 06Licence de mathématiques 18-19

Calculus

TD1 - ArithmétiqueObservations générales : Exercice 1.Déterminer les entiers naturelsntels que5divisen+ 2.Observations :

Éléments de réponse

Solution détaillée :5divisen+2équivaut à : " il existe un entier naturelktel quen+2 = 5k»,

c"est-à-diren= 5k-2.

Commenest un entier naturel,k≥1.

Donc les solutions sont tous les entiers naturelsns"écrivant sous la formen= 5k-2aveck entier naturel etk≥1.

Exercice 2.

1.Déterminer les entiers relatifsntels que2n-3divise6.

2.Répondre par vrai ou faux en justifiant.

1.

Si ?b/a

c/a, alorsbc/a. 2.

Si b/ac, alorsb/aoub/c.

1

3.Dans N?, sia/betb/cetc/a, alorsa=b=c.Observations :

Éléments d"aides

1.1. Aide métho dologique: Pour déterminer les entiersntels quef(n)diviseA, on égale f(n)aux diviseurs deA.

Éléments de réponse

1.1.

Solution détaillée :

L"ensemble des diviseurs dansZde6estDiv(6)={-6;-3;-2;-1;1;2;3;6}.

2n-3divise6si et seulement si2n-3?Div(6).

nétant un entier relatif, seules les équations suivantes ont des solutions dansZ:

2n-3 =-3??n= 0

2n-3 =-1??n= 1

2n-3 = 1??n= 2

2n-3 = 3??n= 3

Donc il y a quatre solutions :0,1,2et3.

1.2.

Solution détaillée :

1. C "estfaux !Il suffit p ours"en con vaincred"observ erl"exemple suiv ant: ?6/12

3/12et18ne divise pas12.

2. C "estfaux !Il suffit p ours"en con vaincred"observ erl"exemple suiv ant:

4/2×6pourtant4ne divise ni2ni6.

3. C "estvrai !Si a/betb/calors, par transitivité,a/c.

Or si, dansN?,a/cetc/a, alorsa=c.

De même, en remplaçant dans les données, si dansN?,c/betb/c, alorsb=c.

Donc, dansN?, sia/betb/cetc/a, alorsa=b=c.

Exercice 3.

1.x/(a+b)etx/(a-b)implique-t-ilx/a?

2.Déterminer les entiers relatifsntels que2n+ 3divisen-5.

3.nest un entier naturel,a= 9n+ 2etb= 12n+ 1.

Prouver que les seuls diviseurs positifs communs aux entiersaetbsont1et5.Observations :

Éléments d"aides

2

1.2.Aide métho dologique: Pour résoudre un problème du typef(n)/g(n), on se ramène

(en utilisant les opérations et la divisibilité) àf(n)/AoùAest un entier naturel.

Éléments de réponse

1.1.

Solution détaillée :

Non! Il suffit pour s"en convaincre d"observer l"exemple suivant :

On posex= 4;a= 6etb= 10.

Doncx/a+betx/a-bpourtant4ne divise pas6.

1.2. Solution détaillée : 2n+ 3divisen-5donc2n+ 3divise2(n-5).

Or2n+ 3divise2n+ 3.

Donc2n+ 3divise2n+ 3-2(n-5) = 13.

Or, dansZ, l"ensemble des diviseurs de13estDiv(13) ={-13;-1;1;13}.

Par conséquent2n+ 3?Div(13).

2n+ 3 =-13??n=-8

2n+ 3 =-1??n=-2

2n+ 3 = 1??n=-1

2n+ 3 = 13??n= 5

Apres vérification (nécessaire!), les solutions sont :-8,-2,-1et5. 1.3.

Solution détaillée :

Soitdun diviseur positif commun aux entiersaetb,ddivise toute combinaison linéaire deaetbdoncddivise4a-3b= 5.

Par conséquentd= 1oud= 5.

Exercice 4.

1.Ecrire la division euclidienne de4321par731.

En déduire tous les entiers naturelsxetyqui vérifient :4321 = 731x+y.

2.Le reste de la division euclidienne de557par le naturelbest89.

Déterminer les valeurs possibles debet du quotient.Observations :

Éléments de réponse

1.1. Solution détaillée : 4321 = 5×731 + 666avec06r= 666<731.

4321-yest un multiple positif (carxest un entier naturel) de731, de plus4321-y

est inférieur à4321(caryest un entier naturel). On cherche les multiples de731positifs et inférieurs à4321.

0;731;1462;2193;2924;3655.

4321 = 0×731 + 4321donc(x;y) = (0;4321)

4321 = 1×731 + 3590donc(x;y) = (1;3590)

4321 = 2×731 + 2859donc(x;y) = (2;2859)

4321 = 3×731 + 2128donc(x;y) = (3;2128)

4321 = 4×731 + 1397donc(x;y) = (4;1397)

4321 = 5×731 + 666donc(x;y) = (5;666).

3

1.2.Solution détaillée : Ecrivons la division euclidienne de557parb.

557 =bq+ 89avec06r= 89< b.

Ceci équivaut àbq= 468avecb >89.

Cela revient à chercher les diviseurs de468supérieurs à89.

Ce sont :117;156;234et4680

Sib= 117alorsq= 4,

sib= 156alorsq= 3, sib= 234alorsq= 2, sib= 468alorsq= 1. Exercice 5.Montrer que tout entiernnon divisible par5a un carré de la forme :5p+ 1 ou5p-1avecpentier.Observations :

Éléments d"aides

Aide méthodologique :

Dans la division euclidienne denpar5, les restes sont :0,1,2,3ou 4. Doncns"écrit sous la formen= 5qoun= 5q+1oun= 5q+2oun= 5q+3oun= 5q+4, oùq?Z.

Éléments de réponse

Solution détaillée :

Soitnun entier relatif non divisible par5, alorsns"écrit sous la forme n= 5q+ 1oun= 5q+ 2oun= 5q+ 3oun= 5q+ 4, avecq?Z. Sin= 5q+ 1alorsn2= (5q+ 1)2= 5(5q2+ 2q) + 1doncn2s"écrit sous la forme5p+ 1. Sin= 5q+ 2alorsn2=(5q+ 2)2= 5(5q2+ 4q+ 1)-1doncn2s"écrit sous la forme5p-1. Sin= 5q+ 3alorsn2=(5q+ 3)2= 5(5q2+ 6q+ 2)-1doncn2s"écrit sous la forme5p-1. Sin= 5q+ 4alorsn2=(5q+ 4)2= 5(5q2+ 8q+ 3)+ 1doncn2s"écrit sous la forme5p+ 1. Donc tout entiernnon divisible par5a un carré de la forme :5p+ 1ou5p-1avecpentier.

Exercice 6.Un entiernvérifien≡100(11).

Quel est le reste de la division euclidienne denpar11?Observations :

Éléments de réponse

4

Solution détaillée :100 = 9×11 + 1donc100≡1(11).Commen≡100(11),net100ont le même reste dans la division euclidienne par11, c"est-à-dire

1.

Exercice 7.

Déterminer les entiersntels que l"entierN=n2-3n+ 6soit divisible par5.Observations :

Éléments d"aides

Aide méthodologique :

Faire un tableau de congruences modulo5pour étudier les cas où

Nest congru à0modulo5.

Éléments de réponse

Solution détaillée :On peut utiliser un tableau de congruences modulo5.n01234 N=n2-3n+ 66≡1(5)44110≡0(5)D"après le tableau :N≡0(5)??n≡4(5). Donc les entiersntels queN=n2-3n+ 6soit divisible par5sont les entiersnde la forme n= 5q+ 4avecq?Z. Exercice 8.Déterminer l"ensembleEdes entiersxtels que :x+ 5≡3(8). Déterminer l"ensembleFdes entiersxtels que :3x≡5(8).Observations :

Éléments d"aides

Aide méthodologique :

Pour résoudre une équation formée d"une congruence modulon,on applique les règles de calcul, ou on fait un tableau modulonrecensant tous les cas possibles pour la variable.

Éléments de réponse

Solution détaillée :x+ 5≡3(8)??x≡3-5(8)??x≡ -2(8)??x≡6(8) Les entiersxtels quex+ 5≡3(8)sont les entiersxde la formex= 8q+ 6avecq?Z. On peut utiliser un tableau de congruences modulo8. 5 x≡01234567

3x≡03614725

D"après le tableau,3x≡5(8)??x≡7(8).

Les entiersxtels que3x≡5(8)sont les entiersxde la formex= 8q+ 7avecq?Z. Exercice 9.Déterminer le reste de la division par3de2n,nétant un entier naturel. En déduire le reste de la division par3de214607.Observations :

Éléments d"aides

Aide méthodologique :On cherche d"abord les restes avec les exposants les plus petits :0,

1,2,3,4,5etc., puis on cherche une périodicité des restes.

Éléments de réponse

Solution détaillée :20≡1(3);21≡2(3);22≡1(3) Sinest pair, alorsn= 2pet2n≡22p≡(22)p≡1p(3), donc2n≡1(3). Sinest impair, alorsn= 2p+ 1et2n≡22p+1≡2×(22)p≡2×1p(3), donc2n≡2(3).

14607est impair donc214607≡2(3).

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