DIVISIBILIT´E. DIVISION EUCLIDIENNE
1.4.2 Déterminons les entiers n tels que 2n ? 3 divise n + 5 . Si n = 8 2n ? 3 = 13
Contrôle de mathématiques
4) Trouver tous les entiers relatifs n tels que n + 3 divise n + 10. On a 23 = 8 et 8 ? 1 mod 7 d'après la règle de compatibilité avec les puissances
TSspémaths TS spé maths
Déterminer les entiers relatifs n tels que n ? 4 divise 3n ? 17. n ? 4. 3n ? 17 or n ? n ? 4. ?5. ?1. 1. 5 n. ?1. 3. 5. 9. 3n ? 17. ?20. ?8.
DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
56 est un multiple de -8 car 56 = -7 x (-8) Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1. Alors N divise n + 1 - n = 1.
CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE
Par exemple on a 2 ? 8 (mod 3) car 3 divise 2 ? 8 = ?6. doit diviser x ? y et donc x et y sont congrus modulo n. Le cas où a et n non premiers ...
Eléments de base en arithmétique
Quand on divise un nombre par 12 le reste est 8. Quand on divise ce Corrigé Il faut que n divise n + 7 or n divise n donc cela implique que n divise 7.
Licence de mathématiques 18-19 Calculus
Déterminer les entiers naturels n tels que 5 divise n + 2. n = 5. Apres vérification (nécessaire !) les solutions sont : ?8
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Si D un diviseur de b et r alors D divise a = bq + r et donc D est un diviseur de a et b. Il n'existe qu'un nombre fini d'entiers compris entre 0 et r.
Multiples. Division euclidienne. Congruence
25 juin 2018 L'algorithme suivant est basé sur le fait que si d divise N alors N = kd donc le ... donc (n ? 3) est un diviseur de 8.
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que pour tout entier naturel n
[PDF] DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES - maths et tiques
Exemple : Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1 Alors N divise n + 1 - n = 1 Donc N = -1 ou N = 1
[PDF] PGCD ET NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
Il n'existe qu'un nombre fini d'entiers compris entre 0 et r Il existe donc un rang k tel que et Ainsi l'ensemble des diviseurs communs de a et b est
[PDF] Exercices corrigés darithmétique dans N Partie II - AlloSchool
3 – Soient m et n deux entiers naturels impairs montrer que 8 divise m2 + n2 + 6 1 – Soit n?N montrer que : (n2 + 1 – n )(n2 + 1 + n ) = n4 + n2 + 1
[PDF] chapitre 3 : congruences et arithmétique modulaire
La condition que d divise b est nécessaire c'est à dire si la congruence a une solution alors d divise b En effet si on a ax ? b (mod n) alors il existe
[PDF] Cours darithmétique
entier n ? 1 Montrer que a divise b Exercice 8 Soit n un entier strictement positif On appelle k le nombre de diviseurs premiers de n Prouver que :
arithmétique - spé Maths - divisibilité dans Z - définition - Jaicompris
1) Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair 2) Démontrer que lorsque n est un entier impair 8 divise n2?1 Corrigé en vidéo
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On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divi- sibles par 7 a) Vérifier que 103 ? ?1(modulo 7) On a : 1001 = 7 × 143
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Montrer que pour tout entier naturel n 2n+1 divise E((1+ Montrer que n = 4 48 89 (p chiffres 4 et p?1 chiffres 8 et donc 2p chiffres) (en base
[PDF] Lensemble des entiers naturels Notions sur larithmétiques
Déterminer tous les nombres entiers naturels compris entre 202et 299 qui sont divisibles par 3et par 5 Exercice 8 : Soit n un entier naturel tel que 2 n ?
[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques
Étudier la propriété suivante : pour tout entier naturel n k divise (k+1)n +2 [000162] Exercice 66 Démontrer que pour n ? 1 le produit de n entiers
![[PDF] Contrôle de mathématiques - Lycée dAdultes [PDF] Contrôle de mathématiques - Lycée dAdultes](https://pdfprof.com/Listes/17/59054-1701_ctrle_18_10_2010_diviseur_congruence_correction.pdf.pdf.jpg)
Terminale S spé
Contrôle de mathématiques
Lundi 12 octobre 2009
Exercice 1
Diviseurs (5 points)
1) Trouver dansNtous les diviseurs de 810.
D2) Trouver tous les couples d'entiersnaturels(x;y) qui vérifient :
x2=y2+33
(x+y)(x-y)=33Commexetysont des naturels, on ax+y?x-y
De plusD33={1;3;11;33}
Les deux systèmes possibles sont donc :
?x+y=33 x-y=1ou?x+y=11 x-y=3 on obtient alors ?x=17 y=16ou?x=7 y=4S={(17;16);(7;4)}
3) Trouver les entiersrelatifsqui vérifient :
x2+2x=35
x(x+2)=35 Les seuls décompositions de 35 sont : 5×7, (-7)×(-5), 1×35, (-35)×(-1) Les deux décompositions avec des entiers distants de deux sont : 5×7 et (-7)×(-5)On obtient donc :x=5 oux=-7.
4) Trouver tous les entiersrelatifsntels quen+3 divisen+10.
Sin+3 divisen+10 alors?k?Ztel que :n+10=k(n+3)
On a alors :n+3+7=k(n+3) soit (n+3)(k-1)=7
Doncn+3 divise 7. On obtient alors :
n+3=-7 ,n+3=-1 ,n+3=1 etn+3=7 soit : n?{-10;-4,-2,4}Paul Milan 1 sur 5 15 novembre 2019
contrˆole de math´ematiquesTerminale S spéExercice 2
Division euclidienne (2 points)
1) Si on divise un nombreapar 18, le reste est 13. Quel est le reste de la division dea
par 6?On a :
a=18q+13 a=6(3q)+6×2+1 a=6(3q+2)+1Le reste est donc 1
2) Si l'on divise un nombreApar 6, le reste est 4. Quels sont les restes possibles de la
division deApar 18?On a :
A=6q+4
siq≡0 (modulo3) soitq=3kA=6(3k)+4=18k+4
siq≡1 (modulo3) soitq=3k+1A=6(3k+1)+4=18k+10
siq≡2 (modulo3) soitq=3k+2A=6(3k+2)+4=18k+16
Les restes possibles sont donc : 4, 10 et 16
Exercice 3
Congruence (5 points)
1) Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addi-
tion, la multiplication et les puissances. Démontrer la propriété de compatibilité avec l'addition.Voir le cours
2) a) Démontrer que pour tout nombre entier naturelkon a : 23k≡1(modulo 7).
On a 2
3=8 et 8≡1 mod 7, d'après la règle de compatibilité avec les puissances,
on a : (23)k≡1kmod 7 et donc 23k≡1 mod 7
Paul Milan 2 sur 5 15 novembre 2019
contrˆole de math´ematiquesTerminale S spé b) Quel est le reste dans la division euclidienne de 22009par 7? On a 2009=3×669+2, donc d'après la question précédente, on a : 23×669≡1 mod 7
23×669×22≡4 mod 7
22009≡4 mod 7
Le reste de 2
2009par la division par 7 est 4.
3) Soientaetbdeux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 aveca?0.
On considère le nombreN=a×103+b. On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la formeN= a00b. On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturelsNceux qui sont divi- sibles par 7. a) Vérifier que 103≡ -1(modulo 7).
On a : 1001=7×143, donc 1001≡0 mod 7 et donc 1000≡ -1 mod 7 b) En déduire tous les nombres entiersNcherchés. on doit donc avoir :b-a≡0 mod 7, de plus commeaetbsont des chiffres (anon nul), on a-9?b-a?8Nous avons donc les équations suivantes :
b-a=-7b-a=0b-a=7 ce qui donne comme possibilités :7000 - 8001 - 9002
1001 - 2002 - 3003 - 4004 - 5005 - 6006 - 7007 - 8008 - 9009
1008 - 2009
Exercice 4
Liban juin 2009 (10 points)
Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturelndont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel quen3≡2009 mod 10000.Partie A
1) Déterminer le reste de la division euclidienne de 2009
2par 16.
On a : 2009≡9 mod 16 car 2009=16×125+9. On en déduit que : 20092≡92mod 16 donc 20092≡1 mod 16 car 81=16×5+1
2) En déduire que 2009
8001≡2009 mod 16.
De 1), on a d'après les règles de compatibilité : 20092≡1 mod 16
(20092)4000≡14000mod 16
2009×(20092)4000≡2009 mod 16
20098001≡2009 mod 16
Paul Milan 3 sur 5 15 novembre 2019
contrˆole de math´ematiquesTerminale S spéPartie B
On considère la suite(un)définie surNpar :u0=20092-1 et, pour tout entier naturel n,un+1=(un+1)5-1.1) a) Démontrer queu0est divisible par 5.
On a : 2010≡0 mod 5 car 2010 est divisible par 5 donc 2009≡ -1 mod 5 et donc 20092≡1 mod 5Conclusion :u0=20092-1 est divisible par 5.
b) On a : (un+1)5-1=u5n+5u4n+10u3n+10u2n+5un+1-1 =un(u4n+5u3n+10u2n+10un+5) =un?u4n+5(u3n+2u2n+2un+1)? c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,unest divisible par 5n+1. ✒Initialisation: on a vu queu0est divisible par 5. la proposition est donc vraieà l'ordre 0
✒Hérédité: Supposons queunest divisible par 5n+1, montrons queun+1est divi- sible par 5 n+2. on a :un+1=un?u4n+5(u3n+2u2n+2un+1)?, et par hypothèseun=k5n+1 On en déduit donc que :un+1=k5n+1?u4n+5(u3n+2u2n+2un+1)?orunest au moins divisible par 5, doncu4n+5(u3n+2u2n+2un+1) est au moins divisible par5, on en déduit queun+1est divisible par 5n+2
2) a) Vérifier queu3=2009250-1 puis en déduire que 2009250≡1 mod 625.
On a :
u1=(u0-1)5-1=200910-1
u2=(u1-1)5-1=200950-1
u3=(u2-1)5-1=2009250-1
D'après la question précédente,u3est divisible par 53+1=625 et donc que 2009250≡1 mod 625
b) Démontrer alors que 20098001≡2009 mod 625.
On a, d'après les lois de compatibilité :
2009250≡1 mod 625?2009250?16≡116mod 625
2009×?2009250?16≡1×2009 mod 625
20098001≡2009 mod 625
Paul Milan 4 sur 5 15 novembre 2019
contrˆole de math´ematiquesTerminale S spéPartie C
On admet que l'on peut montrer que 20098001-2009 est divisible par 10000. Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009.On sait que 2009
8001-2009 est divisible par 10000, donc 20098001se termine par
2009. Or 8001=3×2667 donc le nombre cherché est 20092667
Paul Milan 5 sur 5 15 novembre 2019
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