[PDF] Equations Déterminer les réels





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:
Equations

Chapitre 1

Equations

1.1 Polynômes du second degré

1.1.1 Point de cours

Définition 1 :une fonction polynôme du second degré est une fonctionfdéfinie surRpar : f(x)=ax 2 +bx+coùa,betcsont des réels donnés aveca?=0. Définition 2 :une fonction polynôme de degrénest une fonctionfdéfinie surRpar : f(x)=an x n +a n-1 x n-1 +···+a 1 x+a 0 oùa n ,a n-1 ,···,a 1 eta 0 sont des réels donnés etan =0.

Définition 3 :x

0 est une racine du polynômefsi et seulement sif(x 0 )=0. 2 +bx+c aveca?=0, on peut trouver deux réelsαetβtels que, pour tout réelx:f(x)=a(x-α)2 Cette écriture est appelée laforme canoniquedu trinômeax 2 +bx+c. Propriété 2 :les variations de la fonctionf(x)=ax 2 +bx+csont données par les tableaux suivants :

•Sia>0x-∞ -

b 2a f f? b 2a? fadmet un minimum en-b

2a•Sia<0

x-∞ - b 2a +∞f? b 2a f fadmet un maximum en-b

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8CHAPITRE 1. EQUATIONS

1.1.2 Exercicesd"application de cours

EXERCICE15minutes

Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions polynômes?

1.f(x)=x

2 +x+1

2.f(x)=-?

2+x-3x

2

3.f(x)=x

2 +3?x-2

4.f(x)=x

2 +3x-2 x 2 +x+15.f(x)=x 3 +2x-2019

6.f(x)=1

2x 2 -1 3x+9

7.f(x)=3x

2 -3

8.f(x)=x

2 +8x-19 15 E

XERCICE25minutes

Déterminer le degré de chaque fonction polynôme :

1.f(x)=3x

5 +x 2 -3

2.f(x)=1+9x+4x

8

3.f(x)=x

2 -2x 4 +6x 3

4.f(x)=x

3 +2x-2

5.f(x)=-6x

201
+4x 102
+8

6.f(x)=x

3 -2x 2 +1 E

XERCICE35minutes

Sans développer les expressions, donner pour chaque polynôme son degré, le coefficient du plus haut degré et le coefficient du degré le plus bas.

1.f(x)=?x

2 +x-8??x 3 -2x 2 +x+2?

2.f(x)=?2x

2 +3x+4??5x 5 +3x 3 -7x?

3.f(x)=?x

2 -2x 4 +6x 3 ?(2x-9)4.f(x)=?x 3 +2x-2??-2x 5 +6x 3 -7x?

5.f(x)=?-6x

201
+4x 102
+8??x 28
+6x 10 -9?

6.f(x)=?x

3 -2x 2 +1??1-3x+2x 2 E

XERCICE45minutes

Sachant queP,QetRsont des fonctions polynômes de degrés respectifs 2, 3 et 5. Quel sera le degré des polynômesPQ,PR,QRetPQR? E

XERCICE55minutes

SoitPune fonction polynôme de degrén.

Exprimer, en fonction den, le degré des polynômes suivants : 1.?x 2 +x+1?×P(x) 2.P 3 =P×P×P 3.P k aveckun entier naturel non nul.

4.λPavecλréel non nul.

E

XERCICE65minutes

Dans chaque cas, vérifier quex

0 est une racine de la fonction polynôme.

1.f(x)=x

2 +2x-3etx 0 =1

2.f(x)=5+9x+4x

8 etx 0 =-1

3.f(x)=x

2 -2x 4 +6x 3 etx 0 =04.f(x)=x 3 -3x 2 +4etx 0 =2

5.f(x)=-6x

201
+4x 102
+2etx 0 =1

6.f(x)=x

3 -2x 2 +1etx 0 =1

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1.1. POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ9

E

XERCICE75minutes

Déterminer les racines de chaque fonction polynôme.

1.f(x)=(x-2)(x+1)

2.f(x)=(2x+3)(x+2)

3.f(x)=(2-x)(1-3x)4.f(x)=(x-1)(x+1)

5.f(x)=(x-2)

2

6.f(x)=(x-2)(1-x)(2x+3)

E

XERCICE810minutes

Déterminer la forme canonique de chaque fonction polynôme.

1.f(x)=x

2 +2x-3

2.f(x)=x

2 +4x+9

3.f(x)=x

2 -6x-14.f(x)=x 2 -2x-3

5.f(x)=x

2 -10x+10

6.f(x)=x

2 +18x+30 E

XERCICE910minutes

Déterminer la forme canonique de chaque fonction polynôme.

1.f(x)=x

2 +x+1

2.f(x)=x

2 +3x+4

3.f(x)=x

2 -9x+94.f(x)=x 2 -3x-3

5.f(x)=x

2 -7x+10

6.f(x)=x

2 +15x+30 E

XERCICE10 10minutes

Déterminer la forme canonique de chaque fonction polynôme.

1.f(x)=2x

2 +4x-3

2.f(x)=3x

2 -x+9

3.f(x)=-2x

2 -6x+34.f(x)=5x 2 -8x-3

5.f(x)=-4x

2 -10x+2

6.f(x)=-5x

2 +12x+3 E

XERCICE11 10minutes

Etablir le tableau de variations de chaque fonction polynôme.

1.f(x)=x

2 +2x-3

2.f(x)=-3x

2 +4x+9

3.f(x)=4x

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