[PDF] Les puissances-cours est une puissance du nombre

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Chapitre n°5 Les puissances

1. Puissances entières d'un nombre relatif

Activité d'introduction : Une bactérie mise en culture à l'air libre se développe d'une

façon particulière : Au bout de 4 h, elle se partage en deux bactéries, après 4 h chacune

des deux nouvelles bactéries obtenues se partage en deux nouvelles bactéries etc. Calculer le nombre de bactéries obtenues au bout : de 8 h ; 12 h ; 1j ; 2j.

Durée 4 h 8 h 12 h 1 jour 2 jours

Nombres de bactéries 2 2×2 2×2×2 2x2x2x2x2x2 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2

Vocabulaire :

· Le nombre n est appelé exposant.

· an est une puissance du nombre a et se lit " a exposant n ». · Si n=2, a²se lit " a exposant 2 » ou " a au carré ». · Si n=3, a3 se lit " a exposant 3 » ou " a au cube ». · Pour a ≠ 0, le nombre a -n est l'inverse de .

Cas particuliers :

· Pour n ≠ 0, 0n = 0.

· a1 = a.

· Pour a ≠ 0, on convient que : a0 = 1.

Exemple : Écris les puissances suivantes sous forme décimale ou fractionnaire.

54 = 625 0100 = 0 130 = 1 (-2)4= 16

-24 = -16 7-2 =1 72=1

49 (-2

5)=-8

125 (-2

5)=(-5

2)=-125

8

Etude du signe d'une puissance

Propriété(

admise)

1. Toute puissance entière d'un nombre positif est positive.

2. Toute puissance entière d'exposant pair d'un nombre négatif est positive.

3. Toute puissance entière d'exposant impair d'un nombre négatif est négative.

Exemple : Calculer les nombres suivants :

· 33= 27

· (-5)2= 25

· (-2)3= -8

Exercices 3p30, 6p31

Calcul d'une expression utilisant les puissances

Définition : Soit a un nombre relatif et n un nombre entier positif non nul. Le produit de n facteurs tous égaux à a se note an. a n =a×a×a×...×a a -n = 1 =1

××...× si a est non nul.

n facteurs n facteurs 2 n facteurs Propriété (admise) : Dans un calcul, on effectue dans l'ordre :

1. les calculs entre parenthèses ;

2. les puissances ;

3. les multiplications et les divisions ;

4. les additions et les soustractions.

Exemple : Calcule l'expression suivante :

A= 4 ×(1 - 4)

+ 3 × 2

A= 4 ×(-3)

+ 3 × 2

A= 4 × 9 + 3 × 0,5

A= 36 + 1,5

A=37,5

Exercice 2p32

2. Puissances de 10 et préfixes

Exemple : Écris sous forme décimale.

10

6 = 1 000 000

10 -5 = 0,000 01

Règles de calcul sur les puissances de 10

Activité d'introduction : Effectue sans calculatrice les produits suivants.

104 x 102= 106 x 103 = 107 x 101 =

(104)2 = (106)3 = (107)1 =

Que peux-tu conjecturer ?

Propriété (admise)

: n désigne un nombre entier positif non nul. Le produit de n facteurs tous égaux à 10 se note 10 n. 10 n = 10 x 10 x 10 x 10x...x10= 10...0

Le nombre 10-n est l'inverse du nombre 10n.

10 -n = # =1

10×10×...×10= 0,0...01

n facteurs n zéros n zéros 3 Propriétés (admises) : m et n désignent deux nombres entiers relatifs. 10m x 10n = 10m+n #= 10% (10m)n = 10mxn Exemples : Écris sous la forme d'une seule puissance de 10.

108 x 103= 108+3=1011 &

= 10 8-3 =10-5 (108)3 =10 8x3 =1024

10-8 x 103 = 10 -8+3 =10-5 '&

= 10 -8-3 =10-11 (10-8)3=10 -8x3 =10-24 Remarque : Cette propriété est valable pour toutes les bases étant des nombres relatifs différents de zéro.

Propriété (admise

): Pour multiplier un nombre en écriture décimale : • par 10n, on décale la virgule de n rangs vers la droite, par 10-n, on décale la virgule de n rangs vers la gauche, en complétant éventuellement avec des zéros.

Exemple : Calcule.

On utilise des préfixes pour simplifier le nom et l'écriture de mesures exprimées en puissances de 10 de certaines unités. Puissances de 10 et ordre de grandeurs https://www.youtube.com/watch?v=SE31-5hlcpI

Exercices 1,3 5 p33 ex2, 10p35

3. Écriture scientifique d'un nombre décimal

Activité d'introduction :

La masse de la Terre est d'environ 5 972 000 000 000 000 000 000 000 kg. La masse d'une molécule d'eau est d'environ 0,000 000 000 000 000 000 000 03g. Que peut-on dire de l'écriture de ces deux masses ? Propose une autre écriture. Tout nombre décimal peut s'écrire sous différentes formes en utilisant des puissances de 10. 4

Définition : L'écriture scientifique d'un nombre décimal non nul est l'unique écriture de la

forme ax10n dans laquelle : n est un nombre entier relatif. Exemple : Quelle est l'écriture scientifique des nombres 12 542 et 0,0034 ? 12542 = 1,2 x 10

4 0,0034 =3,4 x 10-3

Intérêt : La notation scientifique est pratique pour avoir un ordre de grandeur, ou

comparer et encadrer des nombres très grands ou très petits.

Définition

: Soit x un nombre décimal non nul dont l'écriture scientifique est ax10n. Un encadrement de x par deux puissances consécutives de 10 est :

10n Un ordre de grandeur de x est bx10n, avec b l'arrondi à l'unité de d. Exemple : Donner un encadrement de 2017 par des puissances de 10 et un ordre de grandeur.

· Un encadrement : 103< 2017 <104

· Un ordre de grandeur de 2017 est 2x103.

Exercices 10p35 ;1, 3 p37 ; 6 p38 ; 2 et 3p36

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