[PDF] LIMITE DUNE SUITE Définition (Suite réelle)





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Suites implicites

En déduire la monotonie de la suite (un) et sa limite lorsque n tend vers +?. Démonstration. Soit n ? N. • Par définition on a : f(un) = n.



Suites

19 jan. 2013 savoir étudier une suite récurrente ou une suite implicite en faisant ... un cas très fréquent est le cas de la définition par récurrence.



Suites

Définition : On appelle suite une fonction sur ? ou sur une partie de ? dans ? iii. de manière implicite : dans ce cas on parle de formule de ...



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Lorsqu'on a une suite implicite il s'agit de regarder si la manière dont on construit un donne bien un et un seul réel appelé "un" Lorsqu'on a une suite 

Définition 1. Une suite implicite (xn) est une suite définie par une équation En qui dépend de n, souvent de la forme xn est l'unique solution de l'équation fn(x)=0. Comme l'indique son nom, une suite implicite n'est pas explicite.

  • C'est quoi une suite implicite ?

    Une suite implicite est une suite (un) de réels dont on a prouvé l'existence mais dont on ne connait pas la valeur. On dit alors qu'ils sont définis implicitement.

  • Comment calculer la limite d'une suite implicite ?

    La suite (un) est donc (strictement) croissante. Deux cas se présentent alors. Étant croissante, elle est convergente vers une limite finie l ? R. En passant à la limite dans l'égalité précédente, on obtient alors : l ln(l)=+?.
  • En mathématiques, une suite définie par récurrence est une suite définie par son (ou ses) premier(s) terme(s) et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent.
LIMITE DUNE SUITE

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

LIMITE D"UNE SUITE

1 UN PEU DE VOCABULAIRE

Définition(Suite réelle)On appellesuite(réelle) toute fonctionude?dans?. Pour toutn??, on préfère noterun

le réelu(n), et(un)n??ou(un)n?0la suiteu.

On travaillera seulement avec des suites définies sur tout?, mais on pourrait bien sûr travailler avec des suites définies

sur?n0,+∞?avecn0??. Il existe au moins deux manières courantes de représenter une suite(un)n??:

— soit comme une fonction de?dans?, c"est-à-dire de manière plane avec?en abscisse et?en ordonnée,

— soit comme un ensemble de valeurs le long d"un axe. nu n 012 u 1u 2 u 3u

4u5u6u7u8u9u10u11

u 12

Définition(Vocabulaire usuel des suites réelles)Soit(un)n??une suite réelle. On dit que(un)n??est :

—majoréesi l"ensembleun|n??est une partie majorée de?, i.e. si :?M??,?n??,un?M.

Un telMest appeléUNmajorantde(un)n??. On dit alors que(un)n??estmajorée par Mou queM majore(un)n??.

—positive(resp.strictement positive) si pout toutn??:un?0 (resp.un>0). —croissante(resp.strictement croissante) si pour toutn??:un?un+1(resp.unOn dispose bien sûr de définitions analogues des suitesminorées, (strictement)négativeset (strictement)décroissantes.

On dit enfin que(un)n??est :

—bornéesi elle est à la fois majorée et minorée, i.e. si :?K?0,?n??,|un|?K.

—monotone(resp.strictement monotone) si elle est (resp. strictement) croissante ou (resp. strictement) décrois-

sante. Pour montrer qu"une suite(un)n??est monotone, deux méthodes courantes :

— étudier le signe deun+1-un,

— si(un)n??estSTRICTEMENT POSITIVE, étudier la position deun+1 unpar rapport à 1. Cette méthode est intéressante

surtout lorsqueunest défini par des produits et des quotients et qu"on peut espérer des simplifications.

?Attention !Une suite majorée ne possèdeJAMAIS UN SEUL MAJORANT, une suite majorée par 2 l"est aussi par 3. Par

ailleurs : Les majorants d"une suite sont par définition des constantes. Une majoration deun par un réelQUI DÉPEND DEnne montre pas que la suite(un)n??est majorée.

Ce qu"une suite a d"intéressant pour nous dans ce chapitre, ce ne sont pas ses premiers termes mais son comportement

asymptotique, i.e. à l"infini. Si par exemple tous ses termes sont majorés par 1 sauf les 30 premiers, on a bien envie de dire

que la suite est " presque » majorée par 1. On dit qu"elle est majorée par 1à partir d"un certain rang.

Définition(Suite de propositions vraie à partir d"un certain rang)Soit?= (?n)n??une suite de propositions.

On dit que?(ou?npar abus de langage) estvraie à partir d"un certain rangsi :?N??,?n?N,?n.

On peut définir une suite principalement de deux façons — soitexplicitement, soit implicitement par récurrence. Ceci ne

veut pas dire qu"il y a deux sortes de suites, ce sont là seulement deux manières de les définir. Une suite géométrique, par

exemple, peut être définie aussi bien explicitement :un=qnu0que par récurrence :un+1=qun. 1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

•Suites définies explicitement :Définir une suite(un)n??explicitement, c"est la définir à l"aide d"une certaine fonction

fpar une relationun=f(n). Il n"est alors pas difficile de calculeru1000, on calcule directementf(1000).

De nombreuses propriétés def— monotonie, signe, caractère majoré/minoré/borné — se transmettent alors telles

quelles à(un)n??, qui n"est après tout que la restriction defà?. fest bornée...... donc(un)n??est bornée. fest croissante... ... donc(un)n??est croissante.

•Suites récurrentesun+1=f(un):On peut définir une suite(un)n??par récurrence par la donnée de son premier

termeu0et d"une relationun+1=f(un)oùfest une fonction fixée. Une telle définition présente un énorme inconvé-

nient, on est obligé pour calculeru1000de calculer les uns après les autresu1,...,u999,u1000. ?Attention !Pour une suite récurrente u n+1=f(un):fest croissante=?(un)n??est croissante. fest décroissante=? (un)n??est décroissante. y=x u0u1u2u3... fest croissanteMAIS(un)n??décroissante. y=x u0u1u2u3u4 fest décroissanteMAIS(un)n??n"est même pas monotone.

2 LIMITE D"UNE SUITE RÉELLE DANS?

2.1 DÉFINITION

Définition(Limite d"une suite)Soient(un)n??une suite réelle et???.

•Définition générale :On dit que(un)n??admet?pour limitesi tout voisinage de?contient tous lesunà partir

d"un certain rang, i.e. si :?V?? ??(?),?N??,?n?N,un?V?. •Cas particulier d"une limite finie :Si???, on dit que(un)n??admet?pour limitesi : ?? >0,?N??,?n??,n?N=? |un-?|< ?, ou bien de manière plus concise, si :?? >0,?N??,?n?N,|un-?|< ?. •Cas particulier de la limite+∞:On dit que(un)n??admet+∞pour limitesi : ?A>0,?N??,?n??,n?N=?un>A, ou bien de manière plus concise, si :?A>0,?N??,?n?N,un>A. •Cas particulier de la limite-∞:On dit que(un)n??admet-∞pour limitesi : ?A<0,?N??,?n??,n?N=?unChristophe Bertault — Mathématiques en MPSI

On peut montrer que les inégalités strictes :|un-?|< ?,un>Aetun

inégalités larges :|un-?|??,un?Aetun?A, cela n"affecte pas la notion de limite. J"utiliserai généralement

des inégalités strictes, mais choisissez ce que vous préférez.

Obscures au premier abord, ces définitions satisfont en réalité parfaitement l"intuition que nous avons des limites.

— Trois voisinagesV1,V2etV3ne suffisent pas à forcer(un)n??à tendre vers?. Il est essentiel que la définition de la

limite commence par "POUR TOUTvoisinageV?de?». ??V1 ?1

Tous lesun

à partir deN1

??V2 ?2

Tous lesun

à partir deN2

??V3 ?3

Tous lesun

à partir deN3

— Les premiers termes de la suite(un)n??ne comptent pas quand on s"intéresse à sa limite, raison pourlaquelle la

définition de la limite piège(un)n??dans un voisinage de?À PARTIR D"UN CERTAIN RANG. — Intuitivement, plus le voisinageV?est petit, plus le rangNest grand. Théorème(Unicité de la limite)Soit(un)n??une suite réelle. Si(un)n??possède une limite, celle-ci est unique et notée limn→+∞un.

Pour tout??

?, la relation limn→+∞un=?est souvent notée :un-----→n→+∞?.

DémonstrationSoient?,????. On veut montrer, sous l"hypothèse que(un)n??admet?et??pour limites, que

?=??. Supposons par l"absurde??=??. Il existe alors un voisinageV?de?et un voisinageV??de??pour lesquels

V

?∩V??=∅. Or, par hypothèse,un?V?à partir d"un certain rangNetun?V??à partir d"un certain rangN?.

Ainsi, pourn0=maxN,N?:un0?V?∩V??=∅— contradiction! V?

Tous lesun

à partir den0

V??

Tous lesun

à partir den0

FOLIE!

Cette preuve illustre une idée importante que nous retrouverons souvent. Si une suite de propositions?1est vraie à partir

d"un rangN1, une suite de propositions?2vraie à partir d"un rangN2... et enfin une suite de propositions?kvraie à partir

d"un rangNk,les suites depropositions?1,...,?ksontalorsTOUTESvraies en mêmetemps àpartir durang maxN1,...,Nk.

Définition(Convergence/divergence)Soit(un)n??une suite réelle. On dit que(un)n??estconvergenteou qu"elle

convergesi elle possède une limiteFINIE. On dit sinon qu"elle estdivergenteou qu"ellediverge.

Limite

finieLimite

±∞Pas de

limite

Convergence

Divergence?Attention !Converger, cen"estpasavoir unelimitemais avoir unelimite FINIE. Diverger, ce n"est pas avoir±∞pour limite, mais éventuellementNE

PAS AVOIR DE LIMITE.

Théorème(Convergence et caractère borné)Toute suite convergente est bornée.

DémonstrationSoit(un)n??une suite convergente, disons de limite?. Pour?=1, la définition de la limite

affirme que l"inégalité|un-?|<1 est vraie à partir d"un certain rangN. Ainsi pour toutn?N, d"après l"inégalité

triangulaire :|un|=??(un-?)+????|un-?|+|?|?|?|+1.

PosonsK=max

|u0|,|u1|,...,|uN-1|,|?|+1 . Le réelKest alors plus grand que|u0|,...,|uN-1|, mais aussi que |un|pour toutn?N. Finalement|un|?KpourTOUTn??, donc(un)n??est bornée. ?Attention !

•La réciproque est fausse, la suite(-1)n

n??est bornée sans être convergente.

•Une suite non bornée n"admet pas forcément+∞ou-∞pour limite. Par exemple, la suite(-1)nn

n??n"est pas bornée et n"a pas de limite — que dire en effet de ses termes d"indice pair/impair? 3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

La manipulation des définitions de la limite n"est pas trop difficile si on se conforme aux recommandations qui suivent.

•Supposons dans un premier temps que???. Pour montrer que :?? >0,?N??,?n?N,|un-?|< ?, on

commence sans réfléchir par " Soit? >0. » Ensuite, pour trouver un rangNà partir duquel|un-?|< ?, on essaie de

MAJORER|un-?|EN RESPECTANT DEUX

RÈGLES:

— La majoration obtenue doitTENDRE VERS0QUANDnTEND VERS+∞. Sans cela, nous ne pourrons pas trouver un rangNà partir duquel|un-?|< ?quand?est trop petit. — La majoration obtenue doitÊTRE SIMPLE VIS-À-VIS DE LA RECHERCHE DU RANGN. Par exemple, la majoration|un-?|?1 npeut être considérée simple car on peut dans ce cas choisirN=!1?! +1. •Dans le cas où?= +∞, on s"adapte. Pour montrer que :?A>0,?N??,?n?N,un>A, on commence

sans réfléchir par " SoitA>0. » Ensuite, pour trouver un rangNà partir duquelun>A, on essaie deMINORERunEN

RESPECTANT DEUX

RÈGLES:

— La minoration obtenue doitTENDRE VERS+∞QUANDnTEND VERS+∞. — La minoration obtenue doitÊTRE SIMPLE VIS-À-VIS DE LA RECHERCHE DU RANGN. Par exemple, la minorationun?n2peut être considérée simple car on peut dans ce cas choisirN=? A+1.

Exemplelimn→+∞nsinnn2+2=0.

DémonstrationNous devons montrer que :?? >0,?N??,?n?N,???nsinnn2+2???

Soit? >0. Pour toutn??, majorons :???nsinn

n2+2??? =n|sinn|n2+2?nn2+2?nn2=1n.

On majore enSIMPLIFIANTet en

vérifiant que ce par quoi on ma-

joreTEND TOUJOURS VERS0.On arrête de majorer quandon se sent capable de trouverle rangNcherché.

PosonsN=!1?!

+1. À partir deN, l"inégalité1n< ?est vraie, donc l"inégalité???nsinnn2+2??? < ?aussi.

Exemplelimn→+∞

n2+(-1)nn DémonstrationNous devons montrer que :?A>0,?N??,?n?N,n2+(-1)nn>A. SoitA>0. Pour toutn??, minorons :n2+(-1)nn?n2-n=n(n-1)?(n-1)2.

On minore enSIMPLIFIANTet en

vérifiant que ce par quoi on mi-

noreTEND TOUJOURS VERS+∞.On arrête de minorer quandon se sent capable de trouverle rangNcherché.

Pour toutn???:(n-1)2>A??n>?A+1. PosonsN=?A+2. À partir deN, l"inégalité (n-1)2>Aest vraie, donc l"inégalitén2+(-1)nn>Aaussi.

2.2 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

Soient(un)n??et(vn)n??deux suites réelles,?,????etλ??. On suppose dans tout ce paragraphe que les limites

limn→+∞unet limn→+∞vnEXISTENT. Dans les tableaux ci-dessous, le symbole ???ne signifie pas une absence de limite mais une

indétermination, i.e. une impossibilité de conclure en toute généralité, qui nécessite donc un traitement au cas par cas.

SOMME limn→+∞(un+vn)lim n→+∞vnlim n→+∞un 4

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

PRODUIT

limn→+∞(unvn)lim n→+∞vnlim n→+∞un +∞+∞? >0 ou+∞ +∞-∞? <0 ou-∞ -∞? >0 ou+∞ +∞? <0 ou-∞???

0+∞

ou-∞

MULTIPLICATION

PAR UN RÉEL

limn→+∞(λun)lim n→+∞unλ >0λ=0λ <0

0peu importe

INVERSE

limn→+∞1unlim n→+∞un

1???=0

0+∞

ou-∞ +∞0u n>0

à partir d"un

certain rang 0u n<0

à partir d"un

certain rang???

0sinon

Mais finalement, c"est quoi uneforme indéterminée? C"est une formeÀ déterminer. Le symbole???signifie qu"en effec-

tuant une opération(+∞)-(+∞)ou 0×(+∞), on peut tomber a priori surN"IMPORTE QUEL RÉSULTAT.

•Cas de la forme indéterminée(+∞)-(+∞):

— On peut obtenir n"importe quel réel?: limn→+∞(n+?) = +∞et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞(n+?)-n=?.

— On peut obtenir±∞: limn→+∞2n= +∞et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞(2n-n) = +∞.

— On peut ne pas obtenir de limite : lim

n→+∞n+(-1)n= +∞et limn→+∞n= +∞, maisn+(-1)n-n= (-1)nn"a pas de limite. •Cas de la forme indéterminée0×(+∞): — On peut obtenir n"importe quel réel?: limn→+∞? n=0 et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞! ?n×n! — On peut obtenir±∞: limn→+∞1 n=0 et limn→+∞n2= +∞, mais limn→+∞!

1n×n2!

— On peut ne pas obtenir de limite : lim

n→+∞(-1)n n=0 et limn→+∞n= +∞, mais (-1)n n×n= (-1)nn"a pas de limite. DémonstrationNous ne démontrerons pas tous les résultats des tableaux précédents.

•Somme de deux limites finies :On suppose que limn→+∞un=?et limn→+∞vn=??. Soit? >0. Pour toutn??,

d"après l"inégalité triangulaire :??(un+vn)-(?+??)??=??(un-?)+(vn-??)???|un-?|+|vn-??|.

Ici,SIMPLIFIER, c"est faire ap-

paraître les quantités|un-?| et|vn-??|de l"hypothèse.On majore enSIMPLIFIANTet en vérifiant que ce par quoi on ma- joreTEND TOUJOURS VERS0.

Or par hypothèse,|un-?| donc pour toutn?maxN,N?:??(un+vn)-(?+??)???|un-?|+|vn-??|2+?2=?.

•Somme d"une limite finie et d"une limite+∞:On suppose que limn→+∞un=?et limn→+∞vn= +∞. Soit

A>0. Par hypothèse,|un-?|<1 à partir d"un certain rangN, doncun> ?-1, etvn>A-?+1 à partir d"un certain rangN?, donc pour toutn?maxN,N?:un+vn>(?-1)+(A-?+1) =A. 5

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

•Somme de deux limites+∞:On suppose que limn→+∞un= +∞et limn→+∞vn= +∞. SoitA>0. Par

hypothèse,un>Aà partir d"un certain rangNetvn>0 à partir d"un certain rangN?, donc pour tout

n?maxN,N?:un+vn>A+0=A.

•Produit de deux limites finies :On suppose que limn→+∞un=?et limn→+∞vn=??. Soit? >0. Pour toutn??,

d"après l"inégalité triangulaire :??unvn-?????=??(un-?)vn+?(vn-??)???|un-?|.|vn|+|?|.|vn-??|.

Or(vn)n??est convergente donc bornée, disons parKen valeur absolue. En outre,|un-?|2Kà partir d"un certain rangNet|vn-??|2|?|+1à partir d"un certain rangN?, donc pour toutn?maxN,N?: unvn-??????|un-?|.|vn|+|?|.|vn-??|2K×K+|?|×?2|?|+1??2+?2=?.

•Produit?×(+∞)avec????+:On suppose que limn→+∞un=????+et limn→+∞vn= +∞. SoitA>0. Par

hypothèse,|un-?|2à partir d"un certain rangN, doncun> ?-?2=?2>0, etvn>2A?>0 à partir d"un certain rangN?, donc pour toutn?maxN,N?:unvn>?

2×2A?=A.

•Produit de deux limites+∞:On suppose que limn→+∞un= +∞et limn→+∞vn= +∞. SoitA>0. Par

hypothèse,un>Aà partir d"un certain rangNetvn>1 à partir d"un certain rangN?, donc pour tout

n?maxN,N?:unvn>A×1=A.

•Inverse d"une limite finie non nulle :On suppose que limn→+∞un=??=0. Ainsi,un?=0 à partir d"un certain

rangN. Soit? >0. Pour toutn?N:???1 un-1???? =|un-?||un|.|?|. Or par hypothèse,|un-?|<|?|2à partir d"un certain rangN?, donc :|un|=??(un-?)+????|?|-|un-?|>|?|-|?|

2=|?|2d"après l"inégalité triangulaire,

donc pour tout toutn?maxN,N?:???1 un-1???? ?2|?|2|un-?|. Mais comme|un-?|<|?|22?à partir d"un certain rangN??, pour toutn?maxN,N?,N??:???1 un-1????

•Inverse d"une limite+∞:On suppose que limn→+∞un= +∞. Ainsiun?=0 à partir d"un certain rang

N. Soit? >0. Par hypothèse,un>1

?à partir d"un certain rangN?, donc pour toutn?maxN,N?:???1 un??? =1un< ?.

•Inverse d"une limite nulle de suite strictement positive :On suppose que limn→+∞un=0 avecun>0 à

partir d"un certain rangN. SoitA>0. Par hypothèse,|un|<1

Aà partir d"un certain rangN?, donc pour tout

n?maxN,N?:1 un=1|un|>A.

Le résultat suivant est momentanément admis car il requiertla notion de limite d"une fonction de?dans?— que vous

connaissez intuitivement, mais qui ne sera définie proprement que dans quelques mois.

Théorème(Composition à gauche par une fonction)SoientIun intervalle,f:I-→?une fonction,???adhérent

àI,L?

?et(un)n??une suite à valeurs dansI. Si limn→+∞un=?et limx→?f(x) =L, alors limn→+∞f(un) =L.

ExemplePour toutx??:ex=limn→+∞

1+xn n.Résultat à connaître!

DémonstrationOn peut supposerx?=0.

Pour toutn???:

1+x n n=enln 1+x n . Or lim t→0ln(1+t)t=ln?(1) =1, donc limn→+∞ln 1+x n x n=1 par composition, i.e. lim n→+∞nln 1+xn =x, et on compose enfin avec la limite limt→xet=ex.

?Attention !limn→+∞un=1=?limn→+∞unn=1.En résumé, 1+∞EST UNE NOUVELLE FORME INDÉTERMINÉE.

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