[PDF] Compléments sur les suites et les séries

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Compléments sur les suites et les séries

Table des matières

1 Compléments sur les suites 2

1.1 Comportement asymptotique des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1 Relation de négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2 Relation d"équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Suites implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Compléments sur les séries 9

2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.1 Sommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.3 Exemples de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.1 Critère de comparaison par inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2.2 Critère de comparaison par équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2.3 Critère de comparaison par négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3 Séries à termes de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 1

1 Compléments sur les suites

1.1 Comportement asymptotique des suites

1.1.1 Relation de négligeabilitéDéfinition 1.1 :Suite négligeable devant une autre suiteOn dit que la suite(un)estnégligeabledevant la suite(vn), s"il existe une suite(?n)qui converge vers0

et qui vérifie, à partir d"un certain rang u n=?nvn. On note :un=+∞o(vn)ouun=n→+∞o(vn).Remarque 1.2 On lit(un)est un "petito" de(vn)au voisinage de+∞.Exemple 1.Vérifier quen=+∞o(n2).

Exemple 2.Vérifier que1n

2=+∞o?1n

.Proposition 1.3 :Suite convergenteUne suite(un)qui vérifieun=+∞o(1)signifie que(un)converge vers0lorsquen→+∞.Démonstration.On a simplement?n=un.Remarque 1.4 :Important !

Attention, la notation de Landau ("petito") repose sur un abus d"écriture :o(wn)ne désigne pas une suite

particulière, mais toute suite possédant la propriété d"être négligeable devant(wn).

Siun=+∞o(wn)etvn=+∞o(wn), on n"a pas nécessairementun=vn...Exemple 3.On an=+∞o(n2)etn+ 2 =+∞o(n2), cependantn?=n+ 2pourn?N.Proposition 1.5 :Caractérisation de la négligeabilitéSivn?= 0à partir d"un certain rang, alors

u n=+∞o(vn)?limn→+∞u nv n= 0.Démonstration.Puisquevn?= 0à partir d"un certain rang, on peut écrire : u n=+∞o(vn)? ??ntel queun=?nvnet?n→n→+∞0??n=unv n→n→+∞0Exemple 4.Vérifier quen+ 2 =+∞o?(n+ 1)2?. 2

Proposition 1.6 :Négligeabilité et transitivitéSiun=+∞o(vn)etvn=+∞o(wn), alorsun=+∞o(wn).Démonstration.On a

•un=+∞o(vn), alors??ntel queun=?nvnet?n→n→+∞0. •vn=+∞o(wn), alors???ntel quevn=??nwnet??n→n→+∞0.

On poseμn=?n??n, on a

u n=μnwnetμn→n→+∞0.

Ainsiun=+∞o(wn).Exemple 5.Commen+ 2 =+∞o?(n+ 1)2?et(n+ 1)2=+∞o?n3?, alorsn+ 2 =+∞o?n3?.Proposition 1.7 :Négligeabilité et combinaisons linéairesSiun=+∞o(wn)etvn=+∞o(wn), alors

?(λ,μ)?R2, λun+μvn=+∞o(wn).Démonstration.Soit(λ,μ)?R2, on a •un=+∞o(wn), alors??ntel queun=?nwnet?n→n→+∞0. •vn=+∞o(wn), alors???ntel quevn=??nwnet??n→n→+∞0.

On poseEn=λ?n+μ??n, on a

λu

Ainsiλun+μvn=+∞o(wn).Exemple 6.Montrer que3n+ 2 =+∞o?n2?.Proposition 1.8 :Négligeabilités usuellesOn peut réécrire les limites de type "croissance comparée" en termes de négligeabilité. Pour toutα >0, on

a :

ln(n) =+∞o(nα)etnα=+∞o(en).Démonstration.Pourn?N?,nα>0eten>0. On a les limites usuelles suivantes :

lim n→+∞ln(n)n

α= 0etlimn→+∞n

αe n= 0.3

1.1.2 Relation d"équivalence

Définition 1.9 :Suites équivalentesLes suites(un)et(vn)sont diteséquivalentes, s"il existe une suite(αn)qui converge vers1et qui vérifie,

à partir d"un certain rang

u n=αnvn. On note :un≂+∞vnouun≂n→+∞vn.Remarque 1.10

On lit(un)est équivalent à(vn)au voisinage de+∞.Proposition 1.11 :Caractérisation de l"équivalenceSoient deux suites(un)et(vn). On a :

u n≂+∞vn?un=+∞vn+o(vn). Sivn?= 0à partir d"un certain rang, alorsun≂+∞vn?limn→+∞u nv n= 1.Démonstration.On a u n≂+∞vn? ?αntel queun=αnvnetαn→n→+∞1

On pose?n=αn-1,

u

n≂+∞vn? ??ntel queun= (1 +?n)vn=vn+?nvnet?n=αn-1→n→+∞0?un=+∞vn+o(vn).

Sivn?= 0à partir d"un certain rang, on peut écrire : u n≂+∞vn?un=+∞vn+o(vn)?unv n=+∞v n+o(vn)v n?unv n=+∞1 +o(vn)v n→n→+∞1.Exemple 7.en+n2≂+∞en, carlimn→+∞e n+n2e n= limn→+∞?

1 +n2e

n?

= 1.Propriété 1.12 :Équivalence et opérationsOn considère trois suites(un),(vn)et(wn).

•Siun≂+∞vn, alorsunwn≂+∞vnwn. •Siun≂+∞vnetvn≂+∞wn, alorsun≂+∞wn. •Siun≂+∞vnet siun?= 0etvn?= 0à partir d"un certain rang, alors1u n≂+∞1v n. •Siun≂+∞vn, alors pour toutk?N, on a :ukn≂+∞vkn.Démonstration.On a

•Siun≂+∞vn, alors?αntel queun=αnvnetαn→n→+∞1, doncunwn=αnvnwn.

Ainsiunwn≂+∞vnwn.

4

•Siun≂+∞vnetvn≂+∞wn, alors?αn→n→+∞1tel queun=αnvnet?α?n→n→+∞1tel quevn=α?nwn,

doncun=αnα?nwn. Puisqueαnα?n→n→+∞1, alorsun≂+∞wn. •Siun≂+∞vnet siun?= 0etvn?= 0à partir d"un certain rang, alors 1u n1 v n= vnu Donc 1u n≂+∞1v n. •Siun≂+∞vn, alors?αntel queun=αnvnetαn→n→+∞1. Pourk?N, on a : u kn= (αnvn)k=αknvknetαkn→n→+∞1.

Ainsiukn≂+∞vkn.Exemple 8.Donner un équivalent de?en+n2?3.Remarque 1.13 :Opérations interdites sur les équivalentsOn retiendra les trois interdits sur les équivalents:

•Une suite ne peut pas être équivalente à zéro. •On ne peut pas sommer dans les équivalents.

•On ne peut pas composer dans les équivalents.Exemple 9.n2+n≂+∞n2et-n2+n≂+∞-n2, mais?n2+n?+?-n2+n?= 2nn"est pas équivalent à0.

Exemple 10.n+ 1≂+∞n, en composant parx?→ex,en+1n"est pas équivalent àencar e n+1e

n=e→n→+∞e?= 1.Proposition 1.14 :Équivalents usuelsSoit une suite(un)telle quelimn→+∞un= 0. On a les équivalents suivants pourα?= 0:

ln(1 +un)≂+∞uneun-1≂+∞un(1 +un)α-1≂+∞αun.Démonstration.On fait cette démonstration pourun?= 0à partir d"un certain rang :

•Rappel :ln(1 +x)x =ln(1 +x)-ln(1 + 0)x-0→x→0(ln(1 +x))?(0) =11 + 0 = 1, alors ln(1 +un)u n→n→+∞1.

Doncln(1 +un)≂+∞un.

•Rappel :ex-1x =ex-e0x-0→x→0(ex)?(0) =e0= 1, alors e un-1u n→n→+∞1.

Donceun-1≂+∞un.

5 •Rappel :(1 +x)α-1x =(1 +x)α-(1 + 0)αx-0→x→0((1 +x)α)?(0) =α(1 + 0)α-1=α, alors (1 +un)α-1αu n→n→+∞1. Donc(1 +un)α-1≂+∞αun.Exemple 11.Donner un équivalent deln?

2-e-1n

2? .Proposition 1.15 :PolynômesSiak?= 0alors a a knk+ak-1nk-1+···+a1n+a0a knk= 1 +ak-1a k1n +...a1a k1n k-1+a0a k1n

k→n→+∞1.Exemple 12.On a(2n+ 3)4≂+∞16n4.Proposition 1.16 :Limite et équivalenceOn considère deux suites(un)et(vn).

•Siun≂+∞vnet si(vn)n?Nconverge vers un réell, alors(un)n?Nconverge aussi versl. •Soitlun réel non nul, limn→+∞un=l?un≂+∞l. •Sivn=+∞o(un), alors u n+vn≂+∞un.Démonstration.On a

•Siun≂+∞vn, alors?αntel queun=αnvnetαn→n→+∞1. De plus,vn→n→+∞l.

Ainsiun→n→+∞1×l=l.

•Siun→n→+∞l,alorsunl →n→+∞1. Doncun≂+∞l. •Sivn=+∞o(un), alors??ntel quevn=αnunet?n→n→+∞0. Ainsi u

n+vn=un+?nun= (1 +?n)unavec1 +?n→n→+∞1.Méthode 1.17 :Comment trouver un équivalent directement?Il est souvent très intéressant de factoriser par le facteur prépondérant puis éventuellement simplifier (en

cas de fraction).Exemple 13.Soit(un)n?Ndéfinie par :?n?N?, un=n-(lnn)2. Donner un équivalent deun.Méthode 1.18 :Comment étudier la nature d"une suite à l"aide d"équivalents?Siun≂+∞vnet si la suite(vn)n?Na une limite, alors la suite(un)n?Na la même limite.6

Méthode 1.18 :Comment étudier la nature d"une suite à l"aide d"équivalents?Siun≂+∞vnet si la suite(vn)n?Na une limite, alors la suite(un)n?Na la même limite.Exemple 14.Soitk?Nfixé. Calculer la limite de?

n k?n klorsquentend vers+∞.

1.2 Suites implicitesDéfinition 1.19 :Suite impliciteUne suite impliciteest une suite définie par une équation.Soitfnune famille de fonctions définies sur un intervalleI. On suppose que, pour toutn?N, l"équation

fn(x) = 0admet une unique solution dansI, notéeun(car dépendant den).Méthode 1.20 :Étude des suites implicitesL"étude des suites implicites suit généralement le plan suivant.

1.

On utilise le théorème de la bijection monotone appliqué àfnpour prouver l"existence et l"unicité

du réelunpour tout entier natureln. 2.

On compareunà un réel fixéa: on compare d"abordfn(un)(qui vaut0) àfn(a), puis on utilise la

monotonie de la fonctionfnsurI. 3. On détermine le sens de v ariationde la suite (un): (a)

On étudie le signe de fn+1(x)-fn(x)surI.

(b) On applique la formule précédente enx=unpour comparerfn+1(un)etfn(un) = 0 = fn+1(un+1). (c) On conclut en utilisan tla monotonie de la fonction fn+1.Remarque 1.21 Il ne faut jamais perdre de vue que la seule formule vérifiée par la suite(un)est ?n?N, fn(un) = 0.Exemple 15.Soitn?N?, on définit la fonctionfnsurR+définie par f n(x) =xn+1+xn-1. 1. Mon trerque p ourtout n?N?, l"équationfn(x) = 0admet une unique solution dansR+, notéeun. 2.

Mon trerp ourtout n?N?,un<1.

3. P ourx?[0,1[, déterminer le signe defn+1(x)-fn(x). 4. Déterminer la monotonie de (un). En déduire la convergence de la suite(un). 7

1.3 Suites définies par récurrence

Définition 1.22 :Point fixe d"une fonctionSoitfune fonction définie sur une partieAdeR. On appelle point fixedeftout réelx?Avérifiant

f(x) =x.Proposition 1.23 :Limite d"une suite récurrente (proposition hors programme)Soitfune fonction définie sur une partieAdeRet(un)n?Nune suite de réels deAdéfinie par

u n+1=f(un). Si(un)n?Nconverge verslet sifest continue enl, alorslest un point fixe def. On a donc :

f(l) =l.Démonstration.Siun→n→+∞l, alorsun+1→n→+∞l. Par continuité de la fonctionfenl,

f(un)→n→+∞f(l).

Par unicité de la limite,f(l) =l.Remarque 1.24 :Limites finies possibles d"une suite récurrenteSi la fonctionfest continue sur l"intervalle considéré, alors les limites finiespossiblesde la suite(un)sont

données par les points fixes def.Méthode 1.25 :Étude des suites récurrentes

La combinaison des deux propriétés précédentes est très puissante : une des grandes méthodes d"études

des suites récurrentes suit le plan suivant 1. (a)

On étudie les v ariationsde f.

(b)

On détermine les p ointsfixes de f:

•soit en résolvant l"équationf(x) =x. soit en utilisant le théorème de la bijection monotone àx?→f(x)-x(dans ce cas on ne disposera pas d"une expression explicite pour les éventuels points fixes.). 2. On trouv eun in tervallecon tenanttous les termes de la suite (un)n?N. 3.

On détermine la monotonie de la suite (un)n?N.

4.

On détermine si la suite (un)n?Nconverge :

(a)

Si la suite(un)n?Nest bornée, on en déduit par le théorème de la limite monotone que(un)n?N

converge vers une limitel. Par unicité de la limite, on en déduit quef(l) =l. (b) Sinon on montre par l"absurde que la suite(un)n?Nn"est pas bornée, la suite(un)n?Ntend alors vers+∞si elle est croissante (resp.-∞si elle est décroissante).Exemple 16. Soita >0etfla fonction définie surR?+parf(x) =x-ln(x). On définit la suite(un)n?N par la relation?u 0=a, u n+1=f(un). 8

1.Étudier fet faire un tableau de variations def.

2.

Étudier le signe de f(x)-xpourx >0.

3. Mon trerque (un)n?Nest une suite strictement positive. 4. P ourquelle v aleurde a,(un)n?Nest une suite constante? 5.

On sup posea >1.

(a)

Mon trerque p ourn?N,un>1.

(b)

Étudier les v ariationsde (un)n?N.

(c) En dédu ireque (un)n?Nconverge et calculer sa limite. 6.

On sup posea <1.

(a)

Mon trerque p ourn?N?,un>1.

(b) Mon trerque (un)n?Nconverge et calculer sa limite. 7. Écrire un programme en Scilabdemandantnetu0et permettant de calculerun. u0étant demandé à l"utilisateur.

2 Compléments sur les séries

2.1 Rappels

2.1.1 SommationDéfinition 2.1 :SommeSoientn?N?, etu1,u2,...,undes réels. On note la quantité

u

1+u2+···+un=n?

k=1u

k.Propriété 2.2 :Formules de calcul élémentairesSoientn?N?,u1,u2,...,unetv1,v2,...,vndes réels. Alors

n k=1(uk+vk) =n? k=1u k+n? k=1v k.

Soitλun réel, alorsn?

k=1(λuk) =λn? k=1u k. n k=1u k=m? k=1u k+n? k=m+1u k.9 Proposition 2.3 :Changement d"indiceSoientm,n?N, etum+1,um+2,...,um+ndes réels. n k=1u k+m=n+m? i=1+mu i

On dit qu"on a effectué le changement d"indicei=k+m.Exemple 17.Dans le cadre d"une somme télescopique, calculern?

k=11k(k+ 1).

2.1.2 DéfinitionDéfinition 2.4 :SérieSoit(un)n?N?une suite de nombres réels. On appellesérie de terme généralun, la suite(SN)N?N?définie

par S

N=u1+u2+···+uN=N?

n=1u n. Pour toutn?N?,unest appelé le terme d"indicende la série etSNla somme partielle d"indiceN.

On note?u

n(ou? n≥1u

n) la série de terme généralun.Définition 2.5 :Série convergente et somme de la série

On dit que la série?u

nconverge si la suite(SN)N?Nconverge. La limite de cette suite est alors appelée somme de la sérieet est notée n=1u n.

Si la série

?u nne converge pas, on dit qu"elle diverge.Remarque 2.6

Il ne faut pas confondre :

?u n,N? n=1u net+∞? n=1u n.2.1.3 Exemples de référence

Proposition 2.7 :Série géométriqueSoitqun réel. La série de terme généralqnconverge si, et seulement si,|q|<1, et alors

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