[PDF] Agrandissement R duction - Cours - académie de Caen

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Introduction :

Quelle signification donner à une phrase du type : Une figure est deux fois plus grande qu"une autre. Est-ce au point de vue longueurs ? au point de vue aires ? ou au point de vue volumes ? ? Cas des aires :

Considérons un rectangle de dimensions a et b.

Multiplions les dimensions de ce rectangle par 2.

L"aire du nouveau rectangle n"est pas multipliée par 2, mais par 4. Démonstration : ( Le point représentant ici le symbole de multiplication ) L"aire du rectangle initial, de dimensions a et b, est égale à : a . b L"aire du rectangle obtenu en multipliant par 2 les dimensions est égale à :

2 a . 2 b = 2² a . b = 4 a . b

L"aire du nouveau rectangle est donc égale à

4 fois l"aire du rectangle initial.

? Cas des volumes :

Considérons maintenant un parallélépipède rectangle ( pavé droit ) de dimensions a , b et c.

Multiplions les dimensions de ce pavé par 2.

THEME :

AGRANDISSEMENT

REDUCTION

Le volume du nouveau parallélépipède rectangle est multiplié par 8. Démonstration : ( Le point représentant ici le symbole de multiplication ) Le volume du pavé initial, de dimensions a, b et c , a pour valeur : a . b . c Le volume du pavé obtenu en multipliant par 2 les dimensions, a pour valeur :

2 a . 2 b . 2 c = 2

3 a . b . c = 8 a . b . c

Le volume du nouveau pavé est donc égal à

8 fois le volume du pavé initial.

Propriété :

Lorsque les dimensions d"une figure

F sont multipliées par un nombre positif k, nous obtenons une nouvelle figure F ' dont l"aire est multipliée par k² et les volumes , par k3 . Si

k > 1 , la figure F ' est dite être un agrandissement de la figure F . Le nombre k s"appelle alors

le rapport d"agrandissement. Si

k < 1 , la figure F ' est dite être une réduction de la figure F . Le nombre k s"appelle alors le

rapport de réduction .

Remarque :

Le nombre k est défini par le rapport d"une longueur mesurée sur la deuxième figure à celle qui

correspond dans la figure de référence.

Pyramide et cône :

Si nous coupons une pyramide par un plan parallèle à la base, la section obtenue est une réduction du polygone de base. La nouvelle pyramide obtenue est une réduction de la pyramide initiale. Si nous coupons un cône de révolution par un plan parallèle à la base, la section obtenue est un disque qui est une réduction du disque de base. Le nouveau solide est une réduction du cône initial. Le rapport de réduction est égal à l"un des deux rapport égaux suivants : k =h h" R R"= ? Exemple 1 :

Dès l"Antiquité, afin de connaître

l"étendue et la nature des biens de chacun, des plans des différentes propriétés sont établis. Depuis 1807,
ces différents dessins constituent le plan cadastral ou cadastre. IL est disponible en mairie et sert de base au calcul de l"impôt foncier.

Ci-contre, un exemple de plan cadastral.

Sur le plan cadastral de la mairie de ma commune, un terrain rectangulaire que j"envisage

d"acheter, a pour dimensions 4,8 cm sur 2,5 cm. L"échelle du cadastre étant 1/2500 , quelle est

la superficie de ce terrain ?

Solution :

Méthode 1 :

Calcul des dimensions réelles du terrain :

L"échelle du plan cadastral étant ici de 1/2500, les dimensions réelles sont 2500 fois plus grandes que les

dimensions du dessin.

Nous avons donc :

4,8 x 2500 = 12 000 ( cm ) soit 120 m

2,5 x 2500 = 6 250 ( cm ) soit 62, 5 m

La superficie du terrain est donc égale à :

A = 120 x 62,5 = 7 500 m²

Méthode 2 :

Quelle est l"aire, sur le plan cadastral, du rectangle représentant le terrain :

4,8 x 2,5 = 12 ( cm² )

L"aire réelle du terrain est donc égale à ( attention , l"aire n"est pas multipliée par 2500, mais par 2500²!)

A = 12 x 2500² = 12 x 6 250 000 = 75 000 000 ( cm² ) dam² m² dm² cm²

7 5 0 0 0 0 0 0

La superficie du terrain est donc de 7 500 m²

? Exemple 2 : La pyramide de Chéops ( 25 siècles av.

J.C. )

La pyramide de Chéops ( ou Khéops ) est une pyramide régulière. Elle a une hauteur de 138 m et une base carrée de 230 m de côté. a)Calculer son volume. b)On désire faire une maquette en plâtre de cette pyramide . La hauteur de cette réduction est alors de 6,9 cm. Quel est le volume de plâtre utilisé ?

Solution :

a)Volume de la pyramide :

V 400 433 23

138 230² »´= m3

b)Volume de la maquette : La maquette est une réduction de la pyramide existante.

Son rapport ( quotient de la mesure de hauteur de la maquette par la mesure de la hauteur réelle ) est :

2000
1

2000 69

69

138000

69
13800

6,9k=´===

Mêmes unités dans le rapport . Ici les deux mesures sont exprimées en cm .

Le volume de la maquette est donc :

Vmaquette = 2 433 300 ´ (2000

1 )3

Vmaquette = 000 000 000 8

300 433 2

000 000 000 8

1300 433 2

2000

1300 433 23=´=´» 3,04 ´ 10-4 m3

Vmaquette » 3,04 ´ 10-1 dm3 » 0,3 dm3

? Exemple 3 : Concours Kangourou La tour Eiffel a 300 mètres de hauteur, est entièrement construite en fer et pèse 8 000

tonnes. On veut construire un modèle réduit, en fer aussi, qui pèse 1 kilogramme. Quelle doit

être sa hauteur ?

A 8 cm B 80 cm C 8 m D 1,5 m E 0,0375 m

Note de l"éditeur de Jeux & découvertes mathématiques : 11 % des 6ème ont répondu juste à cette

question, 10% en 5

ème, 7% en 4ème et seulement 6% en 3ème.On voit que les résultats ne s"améliorent pas

avec l"âge ! )

Solution :

Remarquons tout d"abord que la masse est proportionnelle au volume.

Rapport de réduction :

Le rapport des volumes est égal au rapport des masses ( attention aux unités - les masses sont exprimées ici en kg )

000 000 8

1

La maquette est donc en volume 8 000 000 fois plus petite que la construction réelle. Or nous savons que

ce nombre est le cube du rapport des longueurs. Existe t"il un nombre qui élevé à la puissance 3 ( au cube ) donne 8 000 000.

Ce nombre est 2 00 ( 200

3 = 8 000 000 )

La maquette est donc, en longueurs, 200 fois plus petite que la Tour réelle.

Le rapport de réduction est donc

200
1. La hauteur de la Tour Eiffel est de 300m. La maquette mesure alors : 1,52 3 200

300300200

1===´ ( m ) Réponse D

Remarque :

Nous cherchions un nombre k tel que

000 000 8

1k3= Ce nombre s"obtient en calculant la racine cubique de

000 000 8

1 2001

000 000 81k==

3 ( voir, par curiosité, le livret d"accompagnement de votre

calculatrice ) ? Exemple 4 : La pyramide SEFG est une réduction à l"échelle 3

1 de la pyramide SABC.

1)L"arête SA mesure 24 cm. Quelle est la longueur réelle de

SE ?

2)L"aire de la base ABCD est de 144 cm². Quelle est l"aire de

la base de la pyramide réduite SEFGH ?

3)L"aire totale des faces de la pyramide réduite SEFG est de

56,348 cm². Quelle est l"aire totale des faces de la

pyramide SABC ?

4)Le volume de la pyramide SABC représentée ci-contre est

de 480,6 cm

3. Quelle est le volume de la pyramide réduite

SEFG ?

Solution :

La pyramide SABCD est coupée par un plan parallèle à la base. La nouvelle pyramide SEFGH obtenue est

une réduction de la pyramide SABCD. Le rapport de réduction est donnée dans le texte : 3 1

Ce rapport est la valeur constante obtenue en divisant la mesure d"une arête quelconque de la pyramide

SEFGH obtenue par la mesure de l"arête associée de la pyramide initiale SABCD.

Nous avons :

3 1 AD EH CD GH BC FG AB EF SD SH SC SG SB SF SA

SE========

Les arêtes de la pyramide SEFGH sont trois fois plus petites que les arêtes associées de la pyramide

SABCD .

a) Longueur réelle de SE :

1,5 m pour une masse de 1 kg.

La Tour Eiffel est très légère !

Le rapport de réduction est de 3

1 , donc 3

1 SA SE=

Par suite

3 1 24
SE= 83

24SE==

b) Aire de la base de la pyramide réduite SEFGH : L"aire de la base ABCD de la pyramide SABCD est de 144 cm². L"aire de la base de la pyramide réduite SEFGH est égale à :

AEFGH = 14431

2 = cm² 16 9

16 9 9

144 1449

1=´==´

3) Aire totale des faces de la pyramide SABC :?

La pyramide SEFGH est un réduction de la pyramide SABCD de rapport 3 1 ;

Donc la pyramide SABCD est un agrandissement

de la pyramide SEFGH de rapport 3 ( l"inverse de 3 1 ) L"aire totale des faces de la pyramide réduite SEFG est de 56,348 cm².

L"aire de chaque face de la pyramide SABCD est 3² fois plus grande que l"aire de chaque face associée

de la pyramide SEFGH. Donc A Faces Pyramide SABCD = 3² ´ A Faces Pyramide SEFGH A Faces Pyramide SABCD = 3²´ 56,348 = 9 ´ 56,348 = 507,132 ( cm² )

4) Volume de la pyramide réduite SEFG :

Le volume de la pyramide SABC est de 480,6 cm3

Le coefficient de réduction est de

3

1. Par conséquent, les volumes sont multipliés par

3 31)
((soit 3 3 3 1, c"est à dire 27 1.

VSEFGH = 27

1´ VSABCD

VSEFGH = 27

1´480,6 = 27

480,6 = 17,8 ( cm3 )

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