Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique PDF

La fonction f(t) est une fonction impaire ; son développement en séries de Fourier ne comportera que des termes en sinus (les coefficients~ sont nuls). *** Si

Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques

signal périodique ou non (détermination de la période) Montrer que le développement en série de Fourier d'un signal créneau s'écrit : s( t ) =.

Transformée de Fourier

Pour les signaux périodiques la décomposition en Série de Fourier (DSF) constitue le lien entre la représentation temporelle d'un signal et sa.

Le développement en série de Fourier dun signal analogique

Le développement en série de Fourier d'un signal analogique périodique. 1. Définitions. = (t)x. T. Signal analogique périodique de période T. Si (t)x.

Décomposition en séries de Fourier. Filtrage

signal périodique. 2. Exemple. Coefficients de Fourier. Le développement en série de Fourier d'un signal périodique est unique et on montre que:.

Série de Fourier dun signal périodique et système linéaire

qui est la valeur moyenne de u. Si la fonction est de classe C? alors la somme peut être arrêtée à un rang fini car les coefficients de Fourier sont nuls à

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La série de Fourier permet de prendre n'importe quel signal périodique et le décomposer en une somme de sinuso¨?des. Gabriel Cormier (UdeM). GELE2511 Chapitre

GELE2511 Chapitre 3 : Série de Fourier

La série de Fourier permet de prendre n'importe quel signal périodique et le décomposer en une somme de sinuso¨?des. Gabriel Cormier (UdeM). GELE2511 Chapitre

GELE2511 - Chapitre 3

série de Fourier permet de transformer n'importe quel signal périodique en une somme de sinuso?des. On peut donc prendre un signal périodique complexe et le

Chapitre 5 - Séries de Fourier et réponse fréquentielle

définie et périodique uniquement si a(t) à moyenne nulle Exercice 69 - Etablir le développement en série de Fourier du signal x(t) représenté ci-dessous ...

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Le développement en séries de Fourier ne contient alors que des termes en cosinus ((les coefficients bn sont nuls) 1-2) Spectre en fréquences : Le terme

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Permet de mettre en évidence certaines caractéristiques : • signal périodique ou non (détermination de la période) • amplitude (valeur moyenne maximale )

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Le spectre du signal carré est caractérisé par une décroissance de l'amplitude des harmoniques en 1/n ce qui constitue une décroissance très lente Une

SÉRIE DE FOURIER - femto-physiquefr

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Développement en séries de Fourier www emse fr/~dutertre/enseignement html - 2009 1 Développement en séries de Fourier ? Pour un signal x(t) périodique

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1 Trouvez son développement en série de Fourier 2 Comparer l'amplitude de l'harmonique de rang n = 11 pour ce signal et le

Comment Peut-on calculer la série Fourier d'un signal périodique ?
Sous certaines conditions mathématiques assez peu restrictives pour les grandeurs physiques, on montre qu'un signal périodique f(t) est développable en série de Fourier, comme suit : f(t)=a0+??n=1ancos(n2??t)+bnsin(n2??t)avecn?N(6) (6) f ( t ) = a 0 + ? n = 1 ? a n cos ? ( n 2 ? ? t ) + b n sin ? ( n 2 ? ? t ) avec n ? _{24 jan. 2020}
Comment développer une fonction en série de Fourier ?
Pour développer une fonction en série de Fourier il est nécessaire que cette fonction soit périodique. 1°) Une fonction f peut être développée en série de Fourier si et seulement si elle est non sinuso?le, continue et périodique sur [??,+?]. Ici la courbe bleue est confondue avec la fonction traitée (courbe noire).
Comment Peut-on obtient le spectre d'un signal périodique et un signal non périodique ?
Afin d'obtenir le spectre de signaux non périodiques, on n'exploite plus la décomposition en série de Fourier. On utilise les transformations de Fourier. ? A retenir : Le spectre d'un signal périodique est constitué de raies discrètes.
La plus basse non nulle est nommée fréquence fondamentale f.

I) ASPECf MATHEMATIQUE :

Décomposition en séries de

Fourier d'un signal périodique

1-1) Décomposition en séries de Fourier:

Une fonction périodique f(t) de période T peut, sous certaines conditions mathématiques qui seront toujours réalisées

dans la pratique en physique, se décomposer en une somme de fonctions sinusoï dales de la forme : (décomposition

en séries de Fourier) f(t) = a 0 + L (an cosnwt + bn sinnwt) n=l 2n (n entier et

OJ = -)

Les coefficients ao, au et bn sont indépendants du temps et sont donnés par les intégrales suivantes :

l fT ao =-f(t)dt T o 2fT an =-f(t) cosnwtdt T o 2fT bn =-f(t)sinnwtdt T o

On remarque que a0 est la valeur moyenne de la fonction f(t) : <\>est donc nul si la fonction f(t) est alternative.

Deux cas particuliers :

*** Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet un centre de symétrie situé sur l'axe Ox, alors, en choisissant

ce point comme origine des temps : f( -t)=-f(t)

La fonction f(t) est une fonction impaire ; son développement en séries de Fourier ne comportera que des termes en

sinus (les sont nuls).

*** Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, alors f(-t)=f(t)

(fonction paire). Le développement en séries de Fourier ne contient alors que des termes en cosinus ((les coefficients

bn sont nuls). 1-2) Spectre en fréquences :

Le terme général an cosnwt + bn sinnwt est appelé harmonique de rang n. Il peut être mis sous la forme :

En posant

en +b; coscpn = , il vient: 2 2 an +bn a an cosnwt + bn sinnwt = en cos(nwt-({Jn) Et la fonction périodique f(t) peut alors s'écrire : f(t) = L,en cos(nwt-cpn) n=l L'harmonique de rang 1 est appelé le fondamental. On obtient la représentation spectrale de la fonction f(t) en portant en ordonnée l'amplitude des harmoniques (les termes a,.., bn ou Cn) et en abscisse les pulsations correspondantes, ce qui conduit au diagramme de la figure ci-contre. (avec ici représentés les coefficients Cn)

1-3) :EXemples de décomposition en séries de

Fourier:

a) Signal carré :

0 (J) 2w 3w 4w

5w / w

f(t) +A -A On considère le signal de la figure ci-contre . La fonction f(t) est impaire et sa décomposition ne contiendra que des termes en sinus. On peut calculer: a 0 = 0

2 fT/2 2A 2A

bn = -T f(t) sinnwtdt = -(1-cosnn) = -(1-( -1t) -T/2 nn nn Par conséquent, la décomposition ne comprend que des harmoniques d'ordre impair : 4A/n f

4A [ . 1 . 1 . 5 ]

(t) =-smwt +-sm3wt +-sm ut+ ... n 3 5 4A/3n 4AJ5n

Son spectre est donné sur la figure ci-contre.

0 (J)

3W sw (J)

b) Signal triangulaire :

On considère le signal triangulaire donné ci-dessous (la fonction f(t) est paire). La décomposition en séries de Fourier

s'écrit alors : f(t)

SA/ri-

SA/9ri

SA/2512-

-A 0 (J)

3w 5W (J)

Signal triangulaire Spectre en fréquences

SA [ 1 1 ]

f(t) = - 2 cos ut +--ycos3wt +

2cos5wt+

n 3 5

On peut remarquer que les harmoniques d'ordre supérieur à 1 sont beaucoup moins importants pour le signal

triangulaire que pour le signal carré, ce qui est naturel puisque le signal triangulaire a une forme proche de celle d'un signal sinusoï dal. c) Signal en dents de scie : f(t) (t) =-smwt--sm2wt + -sm3wt--sm4wt+ ... f

2A [ . 1 . 1 . 1 . J

Tr 2 3 4

-A d) Signal sinusoï da1 redressé: f (t) = -+--cos2wt --cos4üt +-cos6wt+ ...

2A 4A[ 1 1 1 J

Tr Tr 3 3.5 5.7

f(t) A 0 T/2 Il) MISE EN EVIDENCE EXPERIMENTALE DES HARMONIQUES D'UN SIGNAL :

On alimente un circuit série (RLC) par un générateur BF (supposé idéal) délivrant des signaux sinusoï daux,

triangulaires ou carrés. Les valeurs des composants utilisés sont:

L=44mH

C=0,1 f.l.F R=lOQ (résistance de la bobine inconnue)

Un oscilloscope bi courbe permet de visualiser les tensions aux bornes du générateur et aux bornes de R.

1) Faire le schéma du montage utilisé en précisant notamment les branchements de l'oscilloscope.

2) Calculer théoriquement la pulsation et la fréquence de résonance d'intensité, ainsi que le facteur de qualité

du circuit (RLC) série.

3) Expérimentalement,

on détermine la fréquence de résonance d'intensité en injectant une tension sinusoï dale à l'entrée du circuit. On mesure tJ=2390 Hz. La tension maximale d'alimentation est Em=0,3 V et la tension maximale aux bornes deR est UR,max=O,l38 V. a) Déterminer l'intensité maximale dans le circuit à la résonance d'intensité. b)

En déduire la résistance totale du circuit. Quelle est la valeur de la résistance de la bobine ?

4) On utilise maintenant une tension d'entrée carrée, de fréquence tJ et de valeur maximale 0,3 V. La valeur

maximale de la tension aux bornes deR est alors de 0,175 V.

a) Quelle est la forme et la fréquence de la tension observée aux bornes de R? Tracer, sur un même

dessin, la tension d'entrée et la tension aux bornes deR. b) Quelle est l'intensité maximale dans le circuit ? c) Faire une analyse de Fourier du signal carré et vérifier que les résultats expérimentaux sont en

accord avec cette décomposition. Déterminer notamment le premier coefficient de cette décomposition.

On utilise désormais un signal d'entrée triangulaire de valeur maximale 0,3 V et de fréquence fo. La valeur

maximale de la tension aux bornes deR est alors 0,108 V.

Répondre

aux mêmes questions qu'en ( 4 ).

6) Observation des harmoniques : on diminue lentement la fréquence du signal d'alimentation en gardant la

même valeur pour sa valeur maximale (0,3 V). On observe des résonances secondaires pour lesquelles l'intensité dans

le circuit est sinusoï dale et passe par une valeur maximale. Les résultats numériques sont consignés dans les tableaux

suivants:

Signaux carrés :

flHz) 2390 796 478 342 266

UR(mV)

175 55

40 33 25

Signaux triangulaires :

flHz) 2390 800 480 345

108 12 5 3

Montrer que ces résultats expérimentaux sont en accord avec la décroissance des coefficients de la

décomposition en série de Fourier en 1/n pour le signal carré et en 1/ul pour le signal triangulaire.

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