Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique
La fonction f(t) est une fonction impaire ; son développement en séries de Fourier ne comportera que des termes en sinus (les coefficients~ sont nuls). *** Si
Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques
signal périodique ou non (détermination de la période) Montrer que le développement en série de Fourier d'un signal créneau s'écrit : s( t ) =.
Transformée de Fourier
Pour les signaux périodiques la décomposition en Série de Fourier (DSF) constitue le lien entre la représentation temporelle d'un signal et sa.
Le développement en série de Fourier dun signal analogique
Le développement en série de Fourier d'un signal analogique périodique. 1. Définitions. = (t)x. T. Signal analogique périodique de période T. Si (t)x.
Décomposition en séries de Fourier. Filtrage
signal périodique. 2. Exemple. Coefficients de Fourier. Le développement en série de Fourier d'un signal périodique est unique et on montre que:.
Série de Fourier dun signal périodique et système linéaire
qui est la valeur moyenne de u. Si la fonction est de classe C? alors la somme peut être arrêtée à un rang fini car les coefficients de Fourier sont nuls à
GELE2511 Chapitre 3 : Série de Fourier
La série de Fourier permet de prendre n'importe quel signal périodique et le décomposer en une somme de sinuso¨?des. Gabriel Cormier (UdeM). GELE2511 Chapitre
GELE2511 Chapitre 3 : Série de Fourier
La série de Fourier permet de prendre n'importe quel signal périodique et le décomposer en une somme de sinuso¨?des. Gabriel Cormier (UdeM). GELE2511 Chapitre
GELE2511 - Chapitre 3
série de Fourier permet de transformer n'importe quel signal périodique en une somme de sinuso?des. On peut donc prendre un signal périodique complexe et le
Chapitre 5 - Séries de Fourier et réponse fréquentielle
définie et périodique uniquement si a(t) à moyenne nulle Exercice 69 - Etablir le développement en série de Fourier du signal x(t) représenté ci-dessous ...
[PDF] Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique
Le développement en séries de Fourier ne contient alors que des termes en cosinus ((les coefficients bn sont nuls) 1-2) Spectre en fréquences : Le terme
[PDF] Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques
Permet de mettre en évidence certaines caractéristiques : • signal périodique ou non (détermination de la période) • amplitude (valeur moyenne maximale )
[PDF] Transformée de Fourier - Moodle INSA Rouen
Pour les signaux périodiques la décomposition en Série de Fourier (DSF) constitue le lien entre la représentation temporelle d'un signal et sa
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Le spectre du signal carré est caractérisé par une décroissance de l'amplitude des harmoniques en 1/n ce qui constitue une décroissance très lente Une
SÉRIE DE FOURIER - femto-physiquefr
24 jan 2020 · Cours gratuit sur l'analyse de Fourier des signaux périodiques et son application en physique
Le développement en série de Fourier dun signal analogique
Le développement en série de Fourier d'un signal analogique périodique 1 Définitions = (t)x T Signal analogique périodique de période T
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20 jan 2008 · La transformée de Fourier a été développée initialement pour étudier les fonctions de durée finie et étendue aux fonctions périodiques Nous
252 Signal triangulaire - Séries de Fourier
Spectre d'amplitude obtenu en utilisant le développement complexe de la série de Fourier · 2 10 Exemples de calcul direct d'une série de Fourier complexe
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Développement en séries de Fourier www emse fr/~dutertre/enseignement html - 2009 1 Développement en séries de Fourier ? Pour un signal x(t) périodique
[PDF] Séries de Fourier
1 Trouvez son développement en série de Fourier 2 Comparer l'amplitude de l'harmonique de rang n = 11 pour ce signal et le
Comment Peut-on calculer la série Fourier d'un signal périodique ?
Sous certaines conditions mathématiques assez peu restrictives pour les grandeurs physiques, on montre qu'un signal périodique f(t) est développable en série de Fourier, comme suit : f(t)=a0+??n=1ancos(n2??t)+bnsin(n2??t)avecn?N(6) (6) f ( t ) = a 0 + ? n = 1 ? a n cos ? ( n 2 ? ? t ) + b n sin ? ( n 2 ? ? t ) avec n ? 24 jan. 2020Comment développer une fonction en série de Fourier ?
Pour développer une fonction en série de Fourier il est nécessaire que cette fonction soit périodique. 1°) Une fonction f peut être développée en série de Fourier si et seulement si elle est non sinuso?le, continue et périodique sur [??,+?]. Ici la courbe bleue est confondue avec la fonction traitée (courbe noire).Comment Peut-on obtient le spectre d'un signal périodique et un signal non périodique ?
Afin d'obtenir le spectre de signaux non périodiques, on n'exploite plus la décomposition en série de Fourier. On utilise les transformations de Fourier. ? A retenir : Le spectre d'un signal périodique est constitué de raies discrètes.- La plus basse non nulle est nommée fréquence fondamentale f.
![Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques](https://pdfprof.com/Listes/17/59416-17TdS-Serie_Fourier.pdf.pdf.jpg)
TdS H. Garnier 1
Hugues GARNIER
hugues.garnier@univ-lorraine.fr Décomposition en série de Fourier Signaux périodiquesTdS H. Garnier 2
Organisation de l'UE de TdS
I. Introduction
II. Analyse et traitement de signaux déterministes - Analyse de Fourier de signaux analogiques• Signaux à temps continu • Décomposition en série de Fourier • Transformée de Fourier à temps continu
- De l'analogique au numérique - Analyse de Fourier de signaux numériques III. Filtrage des signaux IV. Analyse et traitement de signaux aléatoiresTdS H. Garnier 3
Introduction
• Domaine, jusqu'à présent, habituel pour analyser un signal : - Domaine temporel : analyse de l'évolution du signal dans le temps
• Permet de mettre en évidence certaines caractéristiques :• signal périodique ou non (détermination de la période), • amplitude (valeur moyenne, maximale...), • signal analogique/numérique, énergie finie/infinie, ...
• Déterminer l'expression analytique du signal ci-dessous ?5 s(t) t (ms) 5 0
s(t)=?TdS H. Garnier 4
Introduction
• L'expression mathématique du signal est : - L'observation dans le domaine temporel est s ouvent insuffisante pour déduire l'expression mathématique du signal - Il serait int éressant de tro uver une autre représentation qui app orterait plus d'informations sur le signal que la représentation usuelle temporelle - Cette nouvelle représentation devra faire directement apparaître certaines caractéristiques du signal (par exemple A o , A 1 , A 2 o 1 2) non plus dans le do maine temporel (en fonct ion du temps) mais dans le do maine fréquentiel, c'est à dire en fonction de la fréquence.
5 s(t) t (ms) 5 0
TdS H. Garnier 5
• Représentation habituelle : amplitude du signal en fonction du temps • Nouvelle représentation : amplitude et phase initiale en fonction de la fréquence5 s(t) t (ms) 5 0f (Hz) 0
A o =2 A 1 =5 A 2 =10 A n1000 2500 f (Hz) 0
o =0 ϕ n1000 2500
3 1 2 2TdS H. Garnier 6
Série & transformée de Fourier
Joseph FOURIER
• Auxerre 1768 - Paris 1830 • Grand savant français • A pr ofondément influencé les mathématiques et la physique des sciences de son siècle • L'étude de la propagation de la chaleur l'a amené à la découverte des séries trigonométriques portant son nomTdS H. Garnier 7
Théorème de Fourier Sous certaines conditions de dérivation et de continuité, tout signal à temps continu s(t) périodique de période T
o peut s'écrire sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux Cette somme peut s'écrire de deux manières : - forme trigonométrique réelle - forme exponentielle complexeTdS H. Garnier 8
Forme trigonométrique réelle
avec : Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire :Le terme g énéral u
n (t)=a n cos(nω o t)+b n sin(nω o t)=A n cos(nω o t-ϕ n ) est appelé harmonique de rang n C'est un signal cosinusoïdal d'amplitude A n de période T o /n (fréquence nf o ) et de phase à l 'origine -ϕ nTdS H. Garnier 9
Remarques et propriétés
- a 0 : valeur moyenne du signal (composante continue) - Harmonique d'ordre 1 : fondamental - Amplitudes A n tendent vers 0 lorsque n tend vers l'infini - Décomposition indépendante de l'intervalle [t 0 , t 0 +T o - Si s(t) pair - Si s(t) impairTdS H. Garnier 10
Spectres unilatéraux d'amplitude et de phase
• Spectre d'amplitude de s(t) : tracé de A n en fonction des pulsations (fréquences) • Spectre de phase de s(t) : tracé de ϕ nen fonction des pulsations (fréquences) • On parle de représentation fréquentielle ou spectrale • A
n et ϕ n n'existant que pour des multiples entiers de ω o on parle de spectres de raies. composante continue 0 ω o2 ω
o3 ω
o4 ω
o A 1 A 0 A 2 A 3 A 4 A 55 ω
o A n fondamental ω (rd/s)Spectre unilatéral de phase
0 n o2 ω
o3 ω
o4 ω
o 1 0 2 3 4 55 ω
oω (rd/s)
Spectre unilatéral d
'amplitude 0 T o s(t) tEvolution temporelle du signal
TdS H. Garnier 11
Exemple 1 : cas d'un signal sinusoïdal
• Soit un signal sinusoïdal décrit par : C 'est un signal ne contenant qu'un seul harmonique ! s(t)=2cos(2π10t-π4)Domaine temporel
s(t) t 20.1125 0 0.0125 T
o =0.1s A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 0 10 20304050
A n fondamental f (Hz) 2Domaine fréquentiel
Spectre unilatéral de phase Spectre unilatéral d 'amplitude 1 2 3 4 50 10 20 30 40 50 ϕ
n f ( Hz )4 π
TdS H. Garnier 12
Exemple 2 : cas d'un créneau
• Montrer que le dévelop pement en s érie de Fourier d'un signal créneau s'écrit : s(t) t A T o 0Domaine temporel
A n 4A 3 4A 3ω 5ω 3ω 5ω n 2Domaine fréquentiel
Spectre unilatéral de phase Spectre unilatéral d 'amplitudeTdS H. Garnier 13
Evolution temporelle des harmoniques Reconstruction du signal à partir des harmoniques0 -2 0 2 0 0 0 0 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 1 1 1 1 1
Harmonique 1 Harmoniques 1 et 3 Harmoniques 1, 3 et 5 Harmoniques 1, 3, 5 et 7 Harmoniques 1, 3, 5 7 et 9 Harmonique 1 Harmonique 5 Harmonique 3 Harmonique 7 Harmonique 9
Ondulations = phénomène de Gibbs
A=2 T o =1TdS H. Garnier 14
Théorème de Fourier
Sous certaines conditions de dérivation et de continuité, tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux. Cette somme peut s'écrire de deux manières : - forme trigonométrique réelle - forme exponentielle complexeTdS H. Garnier 15
De la forme trigonométrique à la forme exponentielle complexe • Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire :En utilisant les formules d'Euler :
• On montre que tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut également s'écrire :Forme trigonométrique
réelleForme exponentielle
complexeTdS H. Garnier 16
Forme exponentielle complexe
• Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire : • Remarques - Les coefficients c nsont appelés coefficients de Fourier - Ces coefficients sont généralement complexes et peuvent
s 'écrire sous forme exponentielle complexe : - L 'harmonique de rang n s'écrit également : L'harmonique de rang n est donc une cosinusoïde de pulsation nω o d'amplitude 2 |c n et de déphasage Arg(c nTdS H. Garnier 17
Spectres bilatéraux d'amplitude et de phase
• Les coefficients de Fourier sont généralement complexes et peuvent s 'écrire : • Spectre d 'amplitude de s(t) : tracé de |c n | en fonction des pulsations • Spectre de phase de s(t) : tracé de Arg(c n ) en fonction des pulsationsSpectre bilatéral de phase
0Spectre bilatéral d
'amplitude 0 T o s(t) tEvolution temporelle du signal
cn=cnejArg(cn)Ic n I 0 o 2ω o 3ω o Ic 1 I c 0 Ic 2 I Ic 3 I fondamentalω (rd/s)
Ic -1 I Ic -2 I Ic -3 I o -2ω o -3ω o Arg(c n 0 o 2ω o 3ω oω (rd/s)
o -2ω o -3ω oTdS H. Garnier 18
Propriétés des spectres bilatéraux
• Il apparaît dans l'expression de s(t) des termes pour les fréquences s'étendant de - ∞ à +∞, d'où le nom de spectres bilatéraux
• Le spectre d'amplitude bilatéral est toujours pair • Le spectre de phase bilatéral est toujours impair • Les 2 spectres ne comportent des composantes qu'aux multiples
entiers de la fréquence du signal, on parle de spectres de raies Spectre bilatéral de phase Spectre bilatéral d'amplitude Ic n I 0 o 2ω o 3ω o Ic 1 I c 0 Ic 2 I Ic 3 I fondamentalω (rd/s)
Ic -1 I Ic -2 I Ic -3 I o -2ω o -3ω o Arg(c n 0 o 2ω o 3ω oω (rd/s)
o -2ω o -3ω oTdS H. Garnier 19
Exemple 1 : cas d'un signal sinusoïdal
• Soit un signal sinusoïdal décrit par : s(t)=2cos(2π10t-π4)Domaine temporel
Domaine fréquentiel
Spectre bilatéral de phase Spectre bilatéral d 'amplitude0 10 20 30 f ( Hz) 1 -20 -10
n c 1 c 1 c c c 3 c 010 20 30f (Hz) -20-10 )c(Arg n 4 4 s(t) t 2
0.1125 0 0.0125 T
o =0.1sTdS H. Garnier 20
Exemple 2 : cas d'un créneau
• Montrer que les coefficients de Fourier sont donnés par : s(t) t A T o 0Domaine temporel Domaine fréquentiel
Spectre bilatéral de phase Spectre bilatéral d 'amplitude 2A 3 2A n c 2A 3 2A -3ω 3ω 5ω 3 5 0 n c Arg2 π 2 π
π 2
TdS H. Garnier 21
Evolution temporelle des harmoniques Reconstruction du signal à partir des harmoniques0 -2 0 2 0 0 0 0 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 1 1 1 1 1
Harmonique 1 Harmoniques 1 et 3 Harmoniques 1, 3 et 5 Harmoniques 1, 3, 5 et 7 Harmoniques 1, 3, 5 7 et 9 Harmonique 1 Harmonique 5 Harmonique 3 Harmonique 7 Harmonique 9
Ondulations = phénomène de Gibbs
A=2 T oquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] développement en série de fourier de cosinus
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