Chapitre 5

La fonction f(t) est une fonction impaire ; son développement en séries de Fourier ne comportera que des termes en sinus (les coefficients~ sont nuls). *** Si

Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques

signal périodique ou non (détermination de la période) Montrer que le développement en série de Fourier d'un signal créneau s'écrit : s( t ) =.

Transformée de Fourier

Pour les signaux périodiques la décomposition en Série de Fourier (DSF) constitue le lien entre la représentation temporelle d'un signal et sa.

Le développement en série de Fourier dun signal analogique

Le développement en série de Fourier d'un signal analogique périodique. 1. Définitions. = (t)x. T. Signal analogique périodique de période T. Si (t)x.

Décomposition en séries de Fourier. Filtrage

signal périodique. 2. Exemple. Coefficients de Fourier. Le développement en série de Fourier d'un signal périodique est unique et on montre que:.

Série de Fourier dun signal périodique et système linéaire

qui est la valeur moyenne de u. Si la fonction est de classe C? alors la somme peut être arrêtée à un rang fini car les coefficients de Fourier sont nuls à

GELE2511 Chapitre 3 : Série de Fourier

La série de Fourier permet de prendre n'importe quel signal périodique et le décomposer en une somme de sinuso¨?des. Gabriel Cormier (UdeM). GELE2511 Chapitre

GELE2511 Chapitre 3 : Série de Fourier

La série de Fourier permet de prendre n'importe quel signal périodique et le décomposer en une somme de sinuso¨?des. Gabriel Cormier (UdeM). GELE2511 Chapitre

GELE2511 - Chapitre 3

série de Fourier permet de transformer n'importe quel signal périodique en une somme de sinuso?des. On peut donc prendre un signal périodique complexe et le

Chapitre 5 - Séries de Fourier et réponse fréquentielle

définie et périodique uniquement si a(t) à moyenne nulle Exercice 69 - Etablir le développement en série de Fourier du signal x(t) représenté ci-dessous ...

[PDF] Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique

Le développement en séries de Fourier ne contient alors que des termes en cosinus ((les coefficients bn sont nuls) 1-2) Spectre en fréquences : Le terme

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Permet de mettre en évidence certaines caractéristiques : • signal périodique ou non (détermination de la période) • amplitude (valeur moyenne maximale )

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Pour les signaux périodiques la décomposition en Série de Fourier (DSF) constitue le lien entre la représentation temporelle d'un signal et sa

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Le spectre du signal carré est caractérisé par une décroissance de l'amplitude des harmoniques en 1/n ce qui constitue une décroissance très lente Une

SÉRIE DE FOURIER - femto-physiquefr

24 jan 2020 · Cours gratuit sur l'analyse de Fourier des signaux périodiques et son application en physique

Le développement en série de Fourier dun signal analogique

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252 Signal triangulaire - Séries de Fourier

Spectre d'amplitude obtenu en utilisant le développement complexe de la série de Fourier · 2 10 Exemples de calcul direct d'une série de Fourier complexe

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Développement en séries de Fourier www emse fr/~dutertre/enseignement html - 2009 1 Développement en séries de Fourier ? Pour un signal x(t) périodique

[PDF] Séries de Fourier

1 Trouvez son développement en série de Fourier 2 Comparer l'amplitude de l'harmonique de rang n = 11 pour ce signal et le

Comment Peut-on calculer la série Fourier d'un signal périodique ?
Sous certaines conditions mathématiques assez peu restrictives pour les grandeurs physiques, on montre qu'un signal périodique f(t) est développable en série de Fourier, comme suit : f(t)=a0+??n=1ancos(n2??t)+bnsin(n2??t)avecn?N(6) (6) f ( t ) = a 0 + ? n = 1 ? a n cos ? ( n 2 ? ? t ) + b n sin ? ( n 2 ? ? t ) avec n ? _{24 jan. 2020}
Comment développer une fonction en série de Fourier ?
Pour développer une fonction en série de Fourier il est nécessaire que cette fonction soit périodique. 1°) Une fonction f peut être développée en série de Fourier si et seulement si elle est non sinuso?le, continue et périodique sur [??,+?]. Ici la courbe bleue est confondue avec la fonction traitée (courbe noire).
Comment Peut-on obtient le spectre d'un signal périodique et un signal non périodique ?
Afin d'obtenir le spectre de signaux non périodiques, on n'exploite plus la décomposition en série de Fourier. On utilise les transformations de Fourier. ? A retenir : Le spectre d'un signal périodique est constitué de raies discrètes.
La plus basse non nulle est nommée fréquence fondamentale f.

Séries de Fourier et réponse

fréquentielle

5.1 Rappel théorique

Définitions des séries de Fourier

Un signal continux(t)?L

2 [0,T)(signal de périodeTou à support compact inférieur àT) peut être exprimé par une somme de signaux harmoniques de fréquences multiples de1/T: x(t)=1T k=-∞ x k e jk 2π T t Cette représentation dexest appelée sasérie de Fourier. Lescoefficients de Fourierxk peuvent être calcu- lés par la formule x k T 0 x(t)e -jk 2π Tt dt , k?Z.

Les caractérisations dexpar ses valeurs temporellesx(t),t?[0,T), ou par ses coefficients de Fourierx

k k?Z, sont équivalentes.

Similairement, un signal discretx

[n]?l2 [0,N-1](signal de périodeNou à support compact inférieur

ou égal àN) peut être exprimé par une somme de signaux harmoniques de fréquences multiples de1/N.

Les signaux discrets ne peuvent pas varier arbitrairement vite; c"est pourquoi la série de Fourier contient

un nombre fini de signaux harmoniques : x[n]=1N N-1 k=0 x k e jk 2π N n

Lescoefficients de Fourierx

kpeuvent être calculés par la formule x k N-1 k=0 x[n]e -jk 2π N n ,k=0...N-1. Les caractérisations dexpar sesNvaleurs temporellesx[n],n=0...N-1, ou par sesNcoefficients de

Fourierxk

,k=0...N-1, sont équivalentes. 42
CHAPITRE 5. SÉRIES DE FOURIER ET RÉPONSE FRÉQUENTIELLE 43

Propriétés des séries de Fourier

La démonstration des propriétés suivantes des séries de Fourier est un exercice tout à fait accessible.

En temps-continu, on considère les signauxa(t)etb(t)?L 2 [0,T)et leurs coefficients de Fourier respectifsa k etb k ,k?Z. Propriété Signal temporel Coefficients de Fourier k +βb k

Décalage temporela(t-t

0 )e -jt

02π

T k a k

Inversion temporellea(-t)a

-k

Complexe conjugué(a(t))

(a -k

Dérivée temporelle

d dt a(t)?

2πj

T k?a k

Intégration temporelle?

t a(τ)dτ? T

2πj1k

a k ! définie et périodique uniquement sia(t)à moyenne nullea 0 =0

Signal réel paira(t)=a(-t)?Ra

k =a -k ?R

Signal imaginaire paira(t)=a(-t)?jRa

k =a -k ?jR

Signal réel impaira(t)=-a(-t)?Ra

k =-a -k ?jR!

Signal imaginaire impaira(t)=-a(-t)?jRa

k =-a -k ?R!

On a les propriétés strictement similaires en temps discret (excepté la dérivée qui n"a plus de sens).

Réponse d"un système LTI

Réponse impulsionnelleh(t)?L

2 [0,T)→coefficients de Fourierh k ,k?Z

Signal d"entréeu(t)?L

2 [0,T)→coefficients de Fourieru k ,k?Z ?Sortie du système LTI associé àh(t)pour l"entréeu(t): y(t)=u(t)?h(t)=? T 0 h((t-τ)modT)u(τ)dτ?L 2 [0,T) →coefficients de Fouriery k =h k u k ,k?Z.

Réponse impulsionnelleh[n]?l

2 [0,N-1]→coefficients de Fourierh k ,k=0...N-1

Signal d"entréeu[n]?l

2 [0,N-1]→coefficients de Fourieru k ,k=0...N-1 ?Sortie du système LTI associé àh[n]pour l"entréeu[n]: y[n]=u[n]?h[n]= N-1 k=0 h[(n-k)modN]u[k]?l 2 [0,N-1] →coefficients de Fouriery k =h k u k ,k=0...N-1. CHAPITRE 5. SÉRIES DE FOURIER ET RÉPONSE FRÉQUENTIELLE 44

5.2 Exercices 67 - 81.

Exercice 67- A partir de l"expression générale du développement en série de Fourier d"un signalx(t)de

périodeT 0 2π 0 x(t)= k=-∞ c k e jkω 0 t

établir l"expression trigonométrique (coefficients des sinusoïdes et cosinusoïdes) de ce développement.

Exercice 68- Etablir les développements en série de Fourier des signaux continus suivants . a)x 1 (t) = cos(ω 0 t) b)x 2 (t) = sin(ω 0 t) c)x 3 (t) = cos(2t+π/4) d)x 4 (t) = cos(4t) + sin(6t) e)x 5 (t) = sin 2 (t)

Exercice 69- Etablir le développement en série de Fourier du signalx(t)représenté ci-dessous.

T0 2 T 0 2T 0 -T 0 T0 2 0A tx(t)

Exercice 70- (+Ex 80) - Etablir le développement en série de Fourier du signalx[n]représenté ci-

dessous.

01234567891

nx[n] Exercice 71-Septembre 1999(+Ex 147) - Calculer la série de Fourier du signal périodiquex p (t)repré- senté ci-dessous. ?t??? x p (t) -T 1 T 1 1 -T/2T/2 CHAPITRE 5. SÉRIES DE FOURIER ET RÉPONSE FRÉQUENTIELLE 45

Exercice 72-Signal & Systems, Oppenheim and Willsky- Evaluer les coefficients de la série de Fourier

du signal périodique x[n]= m=-∞ {4δ[n-4m]+8δ[n-1-4m]} Exercice 73-Signal & Systems, Oppenheim and Willsky- Soitx 1 (t)un signal périodique en temps- continu avec une fréquence fondamentaleω 1 et des coefficients de Fouriera k . Sachant que x 2 (t)=x 1 (1-t)+x 1 (t-1) comment est la fréquence fondamentaleω 2 dex 2 (t)par rapport àω 1 ? Trouver également une relation entre les coefficients de Fourierb k dex 2 (t)et les coefficientsa k

Exercice 74-Signal & Systems, Oppenheim and Willsky- Déterminer la représentation en série de Fou-

rier du signal périodique de période 2 dont la valeur entre-1et1est x(t)=e -t

Exercice 75-Signal & Systems, Oppenheim and Willsky- Déterminer la représentation en série de Fou-

rier du signal suivant ?t ?x(t) 1-11 -1

Exercice 76-Signal & Systems, Oppenheim and Willsky- Déterminer la représentation en série de Fou-

rier du signal suivant (utiliser une propriété des séries de Fourier) ?t ?x(t) -111 Exercice 77- Soit un filtre passe-bas idéal de pulsation de coupureω c =4πauquel on applique le signal d"entréeu(t)représenté ci-dessous. tu(t) 10

12345-1-2 0

CHAPITRE 5. SÉRIES DE FOURIER ET RÉPONSE FRÉQUENTIELLE 46 Déterminer la sortiey(t)produite par le filtre. Exercice 78-Signal & Systems, Oppenheim and Willsky- On fait passer un signalu[n]par un filtre

passe-bas idéal de fréquence de coupureπ/8. Montrer que, siu[n]a une périodeN=3, alors la sortie

y[n]a seulement un coefficient de Fourier non nul.

Exercice 79- Une antenne est située à proximité d"une montagne. Des tests sont effectués afin de

connaître l"impact du relief sur la transmission des signaux. Pour ce faire, l"antenne envoie un signal carré

d"amplitudeaen direction d"un récepteur comportant un filtre passe-bas parfait de fréquence de coupure

de 100000 rad/s. En augmentant progressivement la fréquence du signal, partant de valeurs très faibles, on

s"aperçoit que le récepteur, à la sortie du filtre, récolte un signal harmonique pur pour une fréquence de

22440 rad/s. Sachant que le récepteur reçoit la superposition de l"onde directement émise par l"antenne et

de celle qui se réfléchit (sans atténuation) sur la montagne, on demande d"évaluer :

a)la distance supplémentaire parcourue par l"onde réfléchie sur la montagne par rapport au chemin

direct vers le récepteur (vitesse de l"onde :3.10 8 m/s); b)l"amplitude de l"onde sinusoïdale reçue. Exercice 80- (+Ex 70) - Un filtre FIR est défini par l"équation y[n]=1 7 3 i=-3 u[n-i].(5.1) a)Calculer la réponse impulsionnelle du filtre; b)Donner sa décomposition en série de Fourier dansl 2 [0,N s -1]avecN s ≥7. Noter que la sortie du filtre pour une entrée de périodeN u peut se calculer par convolution cyclique en prenantN s =N u ; cette condition assure que les opérations peuvent s"effectuer correctement dans le domaine temporel et en passant par les coefficients de Fourier.

Pour effectuer la convolutionnon-cyclique, avec une entréenon-périodique, il faudrait considérer

N s

→+∞; cette opération sera formalisée par lestransformées de Fourierau chapitre 10.

c)Evaluer les coefficients de Fourier de la sortie du filtre si l"entrée est le signal défini dans l"exercice

70.

Exercice 81- Quelle est la réponse fréquentielle (réponse impulsionnelle exprimée dans la base harmo-

nique del 2 [0,N s -1]) du filtre FIR de l"exercice 80 généralisé sous la forme y[n]=1 N (N-1)/2 i=-(N-1)/2 u[n-i](5.2) avecNimpair?

5.3 Application MATLAB

ApplicationReprésenter les coefficients de Fourier de la réponse impulsionnelle du flitre de l"exercice

81 comme un signal discret. Qu"observe-t-on lorsqueN

s >> N?quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] Chapitre 5 - Séries de Fourier et réponse fréquentielle

Comment Peut-on calculer la série Fourier d'un signal périodique ?

Comment développer une fonction en série de Fourier ?

Comment Peut-on obtient le spectre d'un signal périodique et un signal non périodique ?