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1 TdSUV Traitement du signal

Cours 2 et 3

Représentation fréquentielle des signaux

Transformation de Fourier

ASI 3

2 TdSContenu du cours

Introduction Notion de fréquence Pourquoi la représentation fréquentielle ? Décomposition en série de Fourier Définition Quelques propriétés Transformée de Fourier des signaux à énergie finie Définition, conditions d'existence Propriétés de la TF Notion de densité spectrale d'énergie TF au sens des distributions Définition Transformée de l'impulsion de Dirac Transformée de Fourier des signaux périodiques

3 TdSIntroduction

Notion de fréquence Qu'est ce qu'une fréquence ? HLa fréquence est le nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit pendant une durée déterminée

HC'est donc l'inverse de la période f = 1/T

HLa fréquence est mesurée en hertz (= 1/seconde) Dans un son

HSons graves = basses fréquences

HSons aigus = hautes fréquences

=> La fréquence permet de caractériser un certain type d'information

4 TdSIntroduction

Notion de fréquence Dans une image

HSurfaces =

basses fréquences

HContours =

hautes fréquences Dans une onde lumineuse

HLes couleurs dépendent

de la longeur d'onde = la fréquence Image provenant de http://web.ujf-grenoble.fr/ujf/

5 TdSIntroduction

La notion de fréquence est également présente dans : La voix, un téléphone portable, la radio, l'ADSL, les horaires de passage d'un train, la musique electronique, un equaliser, un radar, etc. Toute ces applications véhiculent ou analysent le contenu fréquentiel de l'information Une représentation fréquentielle de l'information est souvent + facile à interpréter que la représentation temporelle

Rep. temporelleRep. frequentielle

6 TdSIntroduction

Autre exemple : Analyse d'ondes cérébrales

Question : Comment obtenir la représentation fréquentielle d'un signal ? Ondes Alpha: engendrées lorsque le

sujet change son niveau d'attention (f modérées, amplitude importante)

Ondes Bêta: produites par une activité

mentale intense (fréquences. élevées, faibles amplitudes)

Ondes Thêta: accompagnent des

sentiments de stress émotionnel (fréquences faibles)Rep. temporelleRep. frequentielle

7 TdSVers une représentation fréquentielle ...

La notion de fréquence est intéressante, mais comment connaitre les fréquences que contient un signal ? Exemple d'un signal sinusoïdal :

Exemple d'une onde lumineuse :xt=cos2πf0t+φf0 est la fréquence du signal

Temps

Fréquences variables au cours du temps

(du rouge au violet). Comment caractériser les informations fréquentielles contenues dans ce signal ?

Analyse fréquentielle des signauxTemps

Onde lumineuse=> Pour un cosinus, c'est facile ... => ici, c'est plus difficile ... idem pour un signal porte, une exponentielle, etc.

8 TdSVers une représentation fréquentielle ...

Petite expérience : mélangeons quelques sinus ... • Il est donc possible d'obtenir des signaux périodiques complexes par une simple combinaison linéaire de signaux élémentaires • C'est le principe inverse de la décomposition en série de Fourier% Code matlab f0 = 0.51; A0 = 1; f1 = 0.11; A1 = 2; f2 = 0.21; A2 = 2; % déclaration de signaux de base x0 = A0*sin(2*pi*f0*t); x1 = A1*sin(2*pi*f1*t); x2 = A2*sin(2*pi*f2*t); % affichage des signaux + combinaison plot(t, x0, 'y'); hold on; plot(t, x1, 'g'); plot(t, x2, 'c'); plot(t, x0+x1+x2, 'k.');

9 TdSDécomposition en Série de Fourier

Principe : • Sous forme de signaux sinusoïdaux, les fréquences d'un signal apparaissent naturellement. • Pour les signaux périodiques, la décomposition en Série de Fourier (DSF) constitue le lien entre la représentation temporelle d'un signal et sa représentation fréquentielle. • Pour les signaux non périodiques, il s'agit de la Transformée de Fourier (TF).

0 5 10 15 20 1.5

1 0.5 0 0.5 1 1.5

Signal 1

Signal 2

x(t)= Signal 1 + signal 2 La Décomposition en Série de Fourrier consiste à exprimer un signal

périodique comme une combinaison linéaire de signaux sinusoïdaux

10 TdSDécomposition en Série de Fourier

Principe  Définition de la DSF : forme trigonométrique Un signal x(t) de période T, s'exprime sous certaines conditions comme xt=a0∑n=1 ancosn2π

Tt+bnsinn2π

Tt

a0=1

T∫-T/2

T/2 xtdt an=2

T∫-T/2

T/2 xtcosn2π

Ttdtbn=2

T∫-T/2

T/2 xtsinn2π

Ttdt

b0=0Exprimer un signal x(t) de période T comme une combinaison linéaire de fonctions sinusoïdales de fréquences multiples de , dite fréquence fondamentaleTF1=

Coefficients de la série

: valeur moyenne du signal ou composante continue 0a

1³n(avec )=> Somme de sinus et de cosinus : facile à interpréter

11 TdSDécomposition en Série de Fourier

 Définition de la DSF : forme trigonométrique Interprétation :xt=a0∑n=1 ancosn2π

Tt+bnsinn2π

Tt(Figure prise du site de Denis Auquebon)

12 TdSDécomposition en Série de Fourier

Définition de la DSF : forme complexe Rappels : formules de moivre et d'Eulerxt=∑n=-∞ cnexpjn2π

TtOù

cn=1

T∫-T/2

T/2 xtexp-jn2π TtdtLes "cn" sont appelés les coefficients de Fourier de x(t). Ils forment la représentation fréquentielle de x(t). Notation {}Znnctxή)(Posons la relation entre les coefficients c0=a0cn=an-jbn

2sin>0

cn=an+jbn

2sin<0

2

2Application à la DSF

xt=a0∑n=1 ancosn2π

Tt+bnsinn2π

Tt

xt=a01

2∑n=1

an-jbnexpjn2π

TtOn a alorsy

y y

13 TdSDécomposition en Série de Fourier

Remarques Posons . Les deux formes de la DSF s'écrivent alors Les coefficients cn sont complexes en général Dans la forme complexe de la DSF, interviennent des fréquences négatives et positives qui sont introduites par commodité de représentation Quelques propriétés Si le signal x(t) est réel, : les coefficients sont nécessairement complexes conjugués pour restituer x réel car est complexe Si le signal x(t) est réel et pair, Si le signal x(t) est réel et impair,

Théorème de Parseval : la puissance du signal périodique est TF1=xt=a0∑n=1

ancos2πnFt+bnsin2πnFty xt=∑n=-∞ cnexpj2πnFty y F est la fréquence fondamentaley f = nF sont les harmoniques ))arg(exp(nnncjcc= *nncc=- )2exp(nFtj p0=Þ=-nnnbcc

0=Þ-=-nnnacc

P=∑n=-∞

∣cn∣2

14 TdSDécomposition en Série de Fourier

Remarque : Pourquoi les nombres complexes ?

Quand on a des phénomènes périodiques, les complexes sont plus faciles à manipuler.

Exemple : analyse de circuits électriques RLC : => remplacement d'équations différentielles par des équations algébriquesv=Riv=Ldi dti=Cdv dt

En réels :

En complexes :

avec V=ZI

15 TdSExemple de DSF

Soit h(t) de période T tel que sur l'intervalle [0, T] :

Décomposition en Série de Fourier de h(t)

16 TdSExemple de DSF

Donc la série de Fourier de h(t) s'écrit :

Approximation du signal créneau par la série de Fourier en limitant n à différentes valeurs :

n=10n=50n=250

Phénomène de Gibbs = effet de bord aux

∞A nsinnt0

Texpj2nt

T

cn=A nsinnt0

TOn a trouvé que :

17 TdSExemple de DSF

Représentation des Cn:cn=A

nsinnt0

Tc0=At0

TAutre exemple : essayer avec : x(t) = 1 si tT/2Spectre de raie : les Cn indiquent quelles sont les fréquences présentes dans le signal T tmj m emjtx)12(2 12 11 2 1)(+

å++=p

p

18 TdSAutres exemples

Exemples :

OK pour les signaux périodiques ...Attention à l'écriture alternative avec la pulsation=2f

19 TdSEt pour les signaux non périodiques ?

La DSF n'est applicable qu'aux signaux périodiques Comment faire pour les signaux non périodiques ? Considérons que la période T est infinie (donc F tend vers 0) Et comme les harmoniques sont des multiples de F ... ... l'écart entre les raies du spectre va donc devenir infiniment petit On tend alors vers une représentation fréquentielle continue C'est la Transformée de Fourier, qui peut être vue comme une généralisation des séries de Fourier aux signaux non périodiques

20 TdSSpectres de raie pour différentes périodes

Plus la période augmente,

plus l'écart entre les Cn diminue ...

21 TdSTransformée de Fourier

Définition de la TF Transformée de Fourier inverse Notations X(f) et x(t) sont deux descriptions équivalentes (temporelle ou fréquentielle) du même signal. On écrit : x(t) " X(f) Soit signal x(t) un signal non périodique. La TF de x(t), si elle existe, estXf=∫-∞ xte-j2πftdt xt=∫-∞

Xfej2πftdfX(f) indique la "quantité" de fréquence f présente dans le signal x(t) sur

l'intervalle . X(f) donne des informations fréquentielles sur x(t). [,]+¥¥-y X(f) : fonction complexe (de la variable réelle f) qui admet H Un spectre d'amplitude H un spectre de phasey )(fXAf= ())(arg)(fXf=fSi elle existe, la TF inverse est définie par ())()(txfXF=y ())()(1fXtx-=Fy

22 TdSExemple de calcul de TFXf=∫0

T

1.e-j2πftdt=-1

j2πf[e-j2πfT-1]

Xf=e-jπfT

πf

Xf=Te-jπfTsincπfTAmplitude spectralePhase Spectralex(t)=1 pour 0

23 TdSExemple de calcul de TF

A vous de jouer avec xt=exp-att(a>1)

24 TdSConditions d'existence de la TF

Questions

Quand est-ce que la TF de g(t) existe ?

Quand est-ce que g(t) = gf (t) ?avec dudfeeugtgftjfuj f pp22)()(òò=+¥ -Conditions d'existence

Condition d'égalité Si

dttg2 )(alors 0)()(2 dttgtgf dttg)(Cas de certains signaux ne respectant pas ces conditions Si ce signal définit une distribution (exemple Impulsion de Dirac), on peut définir une transformée de Fourieret g(t) continue par morceaux et admet un nombre de discontinuités et d'extrema fini Si g(t) satisfait à la condition d'existence de la TF alors g(t)) et gf (t) ) sont égaux presque partout sauf aux discontinuitésOU dttg2 )(Il faut que :

25 TdSPropriétés de la TF

Linéarité Décalage temporel Décalage fréquentiel Changement d'échelle Dérivation ae"a fXaa tx1)(L'amplitude Af ne change pas. La phase est modifié de -j2 pft0 La contraction dans le domaine temporel (a ³ 1) correspond à la dilatation dans le domaine fréquentiel et inversement dxt dt↔j2πfXfSoit P[x(t)] la primitive de x(t)

P[xt]↔1

j2πfXf!La TF et la TF inverse ne sont pas toujours définies*Îaxatarrow

26 TdSPropriétés de la TF

Inversion temporelle Conjugaison complexe Symétrie dans le cas de signaux réels Symétrie dans le cas de signaux imaginaires purs ParitéSi x(t) est un signal réel alors donc et Si x(t) est un signal imaginaire pur alors)()(**fXtx-"()fXtx-"-)(

∣Xf∣=∣X-f∣φf=-φ-fLe spectre d'amplitude est une

fonction paire et le spectre d'argument est impair

Xf=-X-fy Si x(t) est un signal réel et pair alors X(f) est réelle et paire

y Si x(t) est un signal réel et impair alors X(f) est imaginaire pure et impaire

Xf=X-f

27 TdSExemple d'application des propriétés de la TF

Xf=Tsincπf-foTPar la propriété de décalage en fréquence de la TFor Ce résultat est fondamental en modulation de signaux Les radios Longues Ondes utilisent ce principe pour transmettre un message m informatif dont le contenu fréquentiel est compris entre 0Hz et 20kHz f|M(f)| 0 tfj

AMetmtm02)()(p´=|MAM(f)|

f0f0Même messageModule de X(f)

France Inter f0= 195 kHz

28 TdSDualité de la TF

Les définitions symétriques de la TF et de la TF inverse permettent de mettre en avant une propriété de la TF appelée Dualité de la TF. Soit x(t) , une fonction quelconque dont la TF est bien définieò -=dtetxfXftjp2)()(etò =dfefXtxftjp2)()(On a donc -=-dfefXtxftjp2)()(En intervertissant les variables temporelles et fréquentielles, on obtient : ())()()(2tXdtetXfxtfjF==-ò -p )()(fXtx¾®¾F )()(fxtX-¾®¾FDonc si alors

29 TdSTF et énergie des signaux

Relation de Parseval

Loi de conservation de l'énergie

Dans le cas où les intégrales existent, on aòò=+¥ dffXdttx22 )()(La Transformée de Fourier conserve l'énergie du signal

Application

Montrer que l' énergie de vaut Fo

FosincπtFo

30 TdSDensité spectrale d'énergie

Comme la TF conserve l'énergie, on peut définir une notion d'énergie par

unité de fréquence, la densité spectrale d'énergie (DSE)2)()(fXfSxx=Théorème de Wiener-Kintchine

La densité spectrale Sxx(f) de x(t) est

la TF de sa fonction d'autocorrélation.

Sxxf=∫-∞

Cxxτe-j2πfτdτCe théorème est valable aussi pour les signaux aléatoires Energie dans une bande de fréquence Df f|X(f)| 0 Df f0

EΔf=∫f0-Δf/2

f0+Δf/2

SxxfdfEnergie totaleòò

==dffSdffXExx)()(2Cas des signaux à puissance moyenne finie Ce sont des signaux à énergie infinie. On définit alors une densité spectrale de puissance

La densité spectrale de puissance est la

TF de la fonction d'autocorrélation)()()(ttxtxTTP´= [])()(txfXTTF= xT(t) est le signal x(t) prélevé sur une fenêtre de largeur T T fXfPT Txx 2 )(lim)(¥®

31 TdSThéorème de Bernstein

Ce théorème permet de relier le support en fréquence d'un signal et la variation de ce signal

ÉnoncéUn signal est dit "à support borné en fréquence" si 0)(,max=>"fXff borné càd

 à support borné en fréquence

Mtxt<")(,Alors

∣dxt

Interprétation

Les variations d'un signal sont liées à la dérivée de ce signal. Comme cette dérivée est bornée, le signal ne peut pas varier arbitrairement vite.

Conséquence :

Un signal présentant des discontinuités est un signal à support en fréquence non borné.

32 TdSTF d'une distribution

Question Définition

Application : quelle est la TF d'une impulsion de Dirac ?Comment faire quand la TF d'un signal n'est pas définie ?

0 on considère si possible le signal comme une distribution.

La transformée de Fourier d'une distribution D est une distribution notée F [D] telle que pour la fonction j(t) indéfiniment dérivable et à support borné

〈F[D],ϕ〉=〈D,F[ϕ]〉De même, grâce à la propriété de décalage temporel :La TF de l'impulsion de Dirac est une constante

F[δt-a]=e-j2πafor

F=∫-∞

te-j2ftdtdonc tdt=∫-∞

1∗tdt=〈D1,〉Par définition :

FD=D1En notation " fonction » :

F=1

33 TdSApplications de la TF d'une distribution

Question : Comment faire lorsque l'intégrale n'est pas définie car divergente ?

Ex. : 1, cos, exp, etc.

0 application de la théorie des distributions

(décalage fréquentiel)Quelle est la TF de la distribution associée à 1 ?cos2πf0t=ej2πf0t+e-j2πf0t

2F[cos2πf0t]=1

2∫-∞

e-j2πf-f0tdt+1

2∫-∞

e-j2πf+f0tdt e-j2πf-f0tdtest la TF de

F[cos2πf0t]=1

2δf-f01

2jδf-f0-1

2jδf+f0

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