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Développements limités

Aimé Lachal

Cours de mathématiques

1 ercycle, 1reannéeSommaire

1Formule de Taylor-Young

Rappels

Énoncé

Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young

Cas des fonctions usuelles

2Développements limités

DL en un point

DL en l"infini

Cas particulier des DL

0et DL1Quelques propriétés

Opérations1. Formule de Taylor-Younga) Rappels

Rappels

Soitx02R,n2Netfune fonction définie sur un voisinage dex0.1Le fait d"êtredérivable enx0x0x0pourfentraîne lacontinuitédefenx0.2Le fait d"êtrennnfois dérivable enx0x0x0pourfentraîne l"existence def(n1)sur un

voisinage dex0x0x0et a fortiori lacontinuitédefsur un voisinage dex0x0x0.

Plus précisément, on a même

festnnnfois dérivable enx0x0x0

=)fest declasseC(n2)C(n2)C(n2)sur un voisinage dex0x0x0et declasseC(n1)C(n1)C(n1)enx0x0x0.3L"écrituref(x) =x!x0g(x) +oh(x)signifie qu"il existe une fonction"telle que,

au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)h(x)aveclimx0"=0. En particulier, l"écrituref(x) =x!x0g(x) +o(xx0)nsignifie qu"il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)(xx0)n aveclimx0"=0.11. Formule de Taylor-Youngb) Énoncé

Théorème 1.1 (Formule de Taylor-Young à l"ordrennn)Soitx02Retfune fonction définie sur un voisinage dex0.

Sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors

f(x) =x!x0f(x0)+f0(x0)(xx0)+f00(x0)2 (xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+o(xx0)n x!x0n X k=0f (k)(x0)k!(xx0)k+o(xx0)n:

Autre formulation :en posanth=xx0,

f(x0+h) =h!0f(x0) +f0(x0)h+f00(x0)2 h2++f(n)(x0)n!hn+ohn h!0n X k=0f (k)(x0)k!hk+ohn:Exemple 1.2 (Formule de Taylor-Young aux ordres 1 et 2)

1Ordre1:sifestdérivable enx0x0x0, alors

f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +o(xx0):2Ordre2:sifestdeux fois dérivable enx0x0x0, alors f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +f00(x0)2 (xx0)2+o(xx0)2:21. Formule de Taylor-Youngc) Taylor-LagrangeversusTaylor-Young Remarque 1.3 (Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young) Comparons les deux énoncés des formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young : Taylor-Lagrange :sifest declasseCnCnCnsur[x0;x][x0;x][x0;x]et(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur

]x0;x[]x0;x[]x0;x[(ou plus simplement sifest(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur[x0;x][x0;x][x0;x]), alors

9t2]0;1[;f(x) =nX

k=0f Taylor-Young :sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, f(x) =nX k=0f (k)(x0)k!(xx0)k+"(x)(xx0)naveclimx0"=0: Les hypothèses portant surfsontplus fortesavec la formule de Taylor-Lagrange (f(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur un intervalle fermé) qu"avec celle de Taylor-Young (f nnnfois dérivable en un point). Mais la nature du résultat n"est pas la même : la formule de Taylor-Lagrange a un caractèreglobal(les réelsxetx0peuvent

être "très» éloignés);

la formule de Taylor-Young donne un résultatlocal(elle n"a de sens qu"au voisinage d"un point).31. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2

Pour tout2R,

(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)

11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)

11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)

ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)42. Développements limitésa) DL en un point

Définition 2.1 (Développement limité enx0x0x0)Soitfune fonction définie au voisinage dex0(pas nécessairement enx0).

On dit quefadmet undéveloppement limité d"ordrennnenx0x0x0(notéDLn(x0)) lorsqu"il existe des coefficientsa0;:::;antels que f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +a2(xx0)2++an(xx0)n+o(xx0)n: Le polynômea0+a1X+a2X2++anXnest appelépartie régulièreduDLn(x0).

Autre formulation : en posanth=xx0,

f(x0+h) =h!0a0+a1h+a2h2++anhn+ohn:

On peut également définir desdéveloppements limités à droite et à gaucheenx0.Remarque 2.2 (Formule Taylor-Young et DL)

La formule de Taylor-Young fournit pour toute fonctionf nnnfois dérivable enx0x0x0un DL n(x0)de coefficientsak=f(k)(x0)k!, 06k6n. Mais en pratique, pour établir des développements limités enx0, on utilisera rarement cette formule qui nécessite le calcul des dérivées successives de la fonction. On s"appuiera sur les développements limités obtenus en 0 par cette formule pour les fonctions usuelles et on utilisera lechangement de variableh=xx0ainsi que les

propriétés des DL qui seront énoncées ultérieurement.52. Développements limitésb) DL en l"infini

Remarque 2.3 (Développement limité en l"infini) Étant donnée une fonctionfdéfinie au voisinage de1, le changement de variable X=1=xpermet d"obtenirun développement limité defffen l"infinià partir d"un DL n(0)def(1=x), c"est-à-dire une écriture valable au voisinage de l"infini de la forme f(x) =x!1a0+a1x +a2x

2++anx

n+o1x n :Exemple 2.4 (Développement asymptotique et asymptote) Si une fonctiongdéfinie au voisinage de l"infini est telle queg(x)=xadmette un DL

2(1)de la formea0+a1x

+a2x 2+o1x 2 , on peut écrire g(x) =x!1a0x+a1+a2x +o1x Cette écriture est appeléedéveloppement limité généraliséoudéveloppement asymptotiqueet met en évidence uneasymptotepourgd"équationy=a0x+a1. De plus le signe du coefficienta2indique laposition localeau voisinage de1de la courbe représentative degpar rapport à cette asymptote. Par exemple, au voisinage de+1, sia2>>>0 (resp.a2<<<0), alors la courbe est

au-dessus(resp.au-dessous) de son asymptote.62. Développements limitésc) Cas particulier des DL

0et DL1Proposition 2.5 (DL

0et DL1)Soitfune fonction définie au voisinage dex0.1fadmet unDL0(x0)ssifadmet unelimite finie enx0x0x0. Plus précisément :

f(x) =x!x0a0+o(1)()limx!x0x6=x0f(x) =a0:

fest alorsprolongeable par continuité enx0x0x0. On poseraf(x0) =a0.2fadmet unDL1(x0)ssifestdérivable enx0x0x0(après prolongement par

continuité enx0). Plus précisément :

f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +o(xx0)()limx!x0f(x) =a0etf0(x0) =a1:Remarque 2.6 (DL et dérivabilité d"ordre supérieur)

Sin>2, pour une fonctionfdéfinie sur un voisinageIdex0, le fait d"êtrenfois dérivable enx0est unecondition suffisantepour admettre un DLn(x0)(donné par la formule de Taylor-Young) maisnon nécessaire. Autrement dit, l"existence d"un DL n(x0)avecn>2ne garantit pasl"existence de la dérivéenedefenx0.

Exemple :la fonctionx7!x3sin1x

admet un DL

2(0)maisn"estpas2 fois

dérivable en 0.7

2. Développements limitésd) Quelques propriétés

Proposition 2.7 (Diverses propriétés)

1Sifadmet unDLn(x0)alorsfadmet unDLp(x0)pour toutp6nobtenu par

"troncature» au degrépduDLn(x0).2Si une fonction admet unDLn(x0)alors celui-ci estunique(i.e. les coefficients

a ksont uniques).

Conséquences :

Sifadmet unDLn(x0)et estnnnfois dérivable enx0x0x0, alors la formule de

Taylor-Young fournitleDLn(x0)def:

8k2 f0;:::;ng;ak=f(k)(x0)k!:

Sifestpaireet admet unDLn(0)alors sa partie régulière estpaire(i.e. uniquement avec des exposants pairs). Sifestimpaireet admet unDLn(0)alors sa partie régulière estimpaire (i.e. uniquement avec des exposants impairs).Exemple 2.8

1Les fonctionscoset ch sontpaireset admettent des DL de partie régulièrepaire.2Les fonctionssinet sh sontimpaireset admettent des DL de partie régulièreimpaire.82. Développements limitése) Opérations

Proposition 2.9 (Addition, multiplication, division) Soitfetgdeux fonctions admettant desDLn(x0)de la forme f(x) =x!x0P(xx0) +o(xx0)netg(x) =x!x0Q(xx0) +o(xx0)n oùPetQsont des polynômes de degré au plusn. Alors :1f+gadmet pourDLn(x0): (f+g)(x) =x!x0(P+Q)(xx0) +o(xx0)n;2fgadmet pourDLn(x0): (fg)(x) =x!x0(PQ)(n)(xx0) +o(xx0)n où(PQ)(n)est le polynôme déduit dePQen ne conservant que les termes de degré au plusn;3si de plusg(x0)6=0,fg admet pourDLn(x0): fg (x) =x!x0R(xx0) +o(xx0)n oùRest le quotient de la division suivant les puissancescroissantesdePparQ à l"ordren.92. Développements limitése) Opérations

Exemple 2.10 (Autour des fonctions cos et ch)

CalculonslesDL

On part des DL

7(0)decosxet chx:

cosx=x!0112 x2+124 x41720 x6+o(x7)et chx=x!01+12 x2+124 x4+1720 x6+o(x7):

Somme :cosx+chx=x!02+112

x4+o(x7):

Produit :(cosx)(chx) =x!0116

x4+o(x7): Remarque :si on développe complètement le produit des parties régulières, on trouve 112
x2+124 x41720 x6 1+12 x2+124 x4+1720 x6 =116 x4+12880 x81518400 x12:

Les termes

12880
x8et1518400 x12sont inutiles puisque l"on doit tronquer ce produit à l"ordre 7. De plus, ces termesne sont pas significatifs.Si l"on pousse les DL decoset ch à l"ordre 12, on trouve en effet(cosx)(chx) =x!0116 x4+12520 x8+17484400 x12+o(x12):

Autre produit :(cosx1)(chx1) =x!014

x4+o(x7): Remarque :ici, il est suffisant de prendre des DL decoset ch d"ordre 5 :

cosx1=x!012x2+124x4+o(x5)et chx1=x!012x2+124x4+o(x5):102. Développements limitése) Opérations

Exemple 2.11 (Tangente/cotangente)

Calculons le DL

3(0)de la fonctiontan. On part des DL3(0)decosxetsinx:

cosx=x!0112 x2+o(x3)etsinx=x!0x16 x3+o(x3):

Division desinxsinxsinxparcosxcosxcosx.

Puisquecos(0)6=0,tanadmet un DL3(0)obtenu par division suivant les puissancescroissantesdex16 x3par1 12 x2à l"ordre 3 : x16 x3112 x2(x12 x3)x+13 x3 13 x3 13 x30soittanx=x!0x+13 x3+o(x3):

Division decosxcosxcosxparsinxsinxsinx.

En revanche,sin(0) =0. Pour obtenir un développement decot, on ne peut pas utiliser directement la règle, mais on peut toutefois effectuerformellementune division suivant les puissancescroissantesde1 12 x2+o(x3)parx16 x3+o(x3): 112
x2+o(x3)x16 x3+o(x3)(116 x2+o(x2))1 x 13 x+o(x) 13 x2+o(x2) 13 x2+o(x2)o(x2)soitcotx=x!01x 13 x+o(x):

Il s"agit d"un DL généralisé...

112. Développements limitése) Opérations

Exemple 2.12 (Asymptote oblique)

Étude en1de la fonctionfdéfinie parf(x) =x26x+142x4.

Équivalent asymptotique :on af(x)x!1x2

donclimx!1f(x) =1. La courbe représentativeCfadmet une branche infinie en1que l"on va étudier.

Changement de variable :h=1x

que l"on reporte dansf(x): f(x)=16h+14h22h4h2=1h '(h) (h)avec'(h)=16h+14h2et (h)=24h:

Division de'(h)'(h)'(h)par (h) (h) (h).

Puisque (0)6=0,'(h) (h)admet un DL2(0)obtenu par division suivant les puissancescroissantesde 16h+14h2par 24hà l"ordre 2 :

16h+14h224h(12h)1

2

2h+3h2

4h+14h2(4h+8h2)6h2ce qui fournit

'(h) (h)=h!012

2h+3h2+o(h2)

puisf(x) =h!012h2+3h+o(h) soitf(x) =x!1x2 2+3x +o1x

Il s"agit d"un DL généralisé...

122. Développements limitése) Opérations

Exemple 2.13 (Asymptote oblique)

Étude en1de la fonctionfdéfinie parf(x) =x26x+142x4.

Interprétation géométrique :

Le DLGf(x) =x!1x2

2+3x +o1x fournit l"équivalentf(x)x2 2 x!13x

Ainsilimx!1h

f(x)x2 2i =0etlimx!+1h f(x)x2 2i =0+. Donc la courbeCfadmet uneasymptoteDd"équationy=x2

2 en1.

De plusCfse situeau-dessousdeDau voisinage de1etau-dessusdeDau voisinage de+1.xy y=x2

2y=f(x)12345678910111213141234567

-1-2-3-4-5-6-7-8-9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -70

132. Développements limitése) Opérations

Proposition 2.14 (Composition)

Soitfune fonction définiesur un voisinage dex0x0x0admettant unDLn(x0)de la forme f(x) =x!x0P(xx0) +o(xx0)n etgune fonction définiesur un voisinage dey0=f(x0)y0=f(x0)y0=f(x0)admettant unDLn(y0)de la formeg(y) =y!y0Q(yy0) +o(yy0)n oùPetQsont des polynômes de degré au plusn. Alorsgfadmet pourDLn(x0): (gf)(x) =x!x0(QP1)(n)(xx0) +o(xx0)n oùP1=Py0est le polynômePprivé de son terme constant et(QP1)(n)est le polynôme déduit deQP1en ne conservant que les termes de degré au plusn. Formulation simplifiée :sifetgsont des fonctions définiessur un voisinage de 0 telles quef(0) =0f(0) =0f(0) =0admettant desDLn(0)de la forme f(x) =x!0P(x) +oxnetg(y) =y!0Q(y) +oyn alorsgfadmet pourDLn(0): (gf)(x) =x!0(QP)(n)(x) +oxn:142. Développements limitése) Opérations Exemple 2.15 (Composée d"exponentielle et de racine carrée)

Déterminons le DL

3(0)de la fonction':x7!pe

4x+1. On part des DL3(0):

e u=u!01+u+12 u2+16 u3+ou3etp1+v=v!01+12 v18 v2+116 v3+ov3:

On a e

4x+1=x!02+4x+8x2+323

x3+ox3=x!021+2x+4x2+163 x3+ox3 que l"on reporte dans'(x)(prendre garde au facteur 2 du DL ci-dessus) : '(x)=p2=x!0q1+2x+4x2+163 x3+ox3 x!01+12

2x+4x2+163

x3+ox318

2x+4x2+163

x3+ox32 116

2x+4x2+163

x3+ox33+o2x+4x2+163 x3+ox33 x!01+x+2x2+83 x3+ox318 (2x)1+2x+83 x2+ox22 116
(2x)1+2x+83 x2+ox23+ox3 x!01+x+2x2+83 x3+ox312 x2[1+4x+o(x)]+ 12 x3[1+o1]+ ox3 x!01+x+32 x2+76 x3+ox3: Remarque:en pratique, on pourra omettre dans les calculs tous les "o» excepté le dernierox3.

La fonction'admet ainsi le DL3(0):

'(x) =x!0p2+p2x+3p2quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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