Développements limités
Développements limités b) DL en l'infini. Remarque 2.3 (Développement limité en l'infini). Étant donnée une fonction f définie au voisinage de ±?
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS. Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable
Développements limités I Généralités
On dit f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de l'infini. (noté DLn(+?) ou DLn(??)) si f peut s'écrire sous la forme : f(x) = a0 +.
Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites
à l'ordre 5 donne le polynôme de Taylor du développement limité de tan( ) à e) Il faut factoriser par le terme qui tend le plus vite vers l'infini.
toto
de ƒ au voisinage de +? (ou - ?). Exercices - Exemples. E6. = 00 a. Déterminer le développement limité d'or- dre n au voisinage de l'infini de la fonc-.
Développements limités et asymptotiques
Nous allons à présent voir sur deux exemples comment obtenir le développement asymptotique d'une fonction au voisinage de l'infini. 3.1 Développements
Développements limités
Développements limités b) DL en l'infini. Remarque 2.3 (Développement limité en l'infini). Étant donnée une fonction f définie au voisinage de ±?
Les Développements Limités
dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 en abrégé DLn(x0)
Calcul différentiel sur les fonctions réelles 1 Rappels sur les
qui selon la valeur de l'argument nous donne un développement limité ou Déterminer l'équation h de l'asymptote `a Cf au voisinage de l'infini
Développements limités de fonctions réelles
qu'il existe un intervalle infini I tel que a ? I ? E. La fonction réelle f admet P : x ?? ? P(x) comme développement limité d'ordre n en a si et
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Développement limité à linfini - Gilles Dubois
Soit f une fonction définie 'au voisinage de l'infini' c'est à dire dans un intervalle du type ]a+?[ ou bien du type ]-?a[ ou leur réunion
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On dit f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de l'infini (noté DLn(+?) ou DLn(??)) si f peut s'écrire sous la forme : f(x) = a0 +
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Pour a ? I et n ? on dit que f admet un développement limité (DL) au point a et à l'ordre n s'il existe des réels c0c1 cn et une fonction ? : I ?
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Développements limités Définition Soient n ? N et f : I ?? R une fonction continue en x0 ? I f possède un développement limité à l'ordre n en x0 s'il
Quel est le développement limité ?
En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes. Ils permettent également l'obtention d'équivalents.Comment choisir l'ordre d'un développement limité ?
Un développement limité peut être effectué à plusieurs ordres, il permet de donner une approximation d'une fonction par un polynôme au voisinage d'un point. On a par exemple sin(x)=x+o(x) comme DL de sin en 0. Mais on peut aller à un ordre plus élevé et le DL, à l'ordre 3 par exemple : sin(x)=x?x33Comment calculer les développement limité ?
Pour calculer le développement limité d'une fonction réciproque f?1 au voisinage de f(a) :
1on calcule le développement limité de f en a .2on écrit de façon formelle le développement limité de f?1 en f(a) : f?1(f(a)+h)=a+a1h+?+anhn+o(hn). 3on écrit que f?f?1(x)=x f ? f ? 1 ( x ) = x .- On dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 s'il existe des réels a0,…,an a 0 , … , a n et une fonction ? définie sur I et qui tend vers 0 quand x tend vers x0 tels que f(x)=a0+a1(x?x0)+?+an(x?x0)n+(x?x0)n?(x).
Développements limités
Aimé Lachal
Cours de mathématiques
1 ercycle, 1reannéeSommaire
1Formule de Taylor-Young
Rappels
Énoncé
Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young
Cas des fonctions usuelles
2Développements limités
DL en un point
DL en l"infini
Cas particulier des DL
0et DL1Quelques propriétés
Opérations
Sommaire
1Formule de Taylor-Young
Rappels
Énoncé
Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young
Cas des fonctions usuelles
2Développements limités
1. Formule de Taylor-Younga) Rappels
Rappels
Soitx02R,n2Netfune fonction définie sur un voisinage dex0.1Le fait d"êtredérivable enx0x0x0pourfentraîne lacontinuitédefenx0.2Le fait d"êtrennnfois dérivable enx0x0x0pourfentraîne l"existence def(n1)sur un
voisinage dex0x0x0et a fortiori lacontinuitédefsur un voisinage dex0x0x0.Plus précisément, on a même
festnnnfois dérivable enx0x0x0=)fest declasseC(n2)C(n2)C(n2)sur un voisinage dex0x0x0et declasseC(n1)C(n1)C(n1)enx0x0x0.3L"écrituref(x) =x!x0g(x) +oh(x)signifie qu"il existe une fonction"telle que,
au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)h(x)aveclimx0"=0.En particulier, l"écrituref(x) =x!x0g(x) +o(xx0)nsignifie qu"il existe une
fonction"telle que, au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)(xx0)n aveclimx0"=0.11. Formule de Taylor-Younga) Rappels
Rappels
Soitx02R,n2Netfune fonction définie sur un voisinage dex0.1Le fait d"êtredérivable enx0x0x0pourfentraîne lacontinuitédefenx0.2Le fait d"êtrennnfois dérivable enx0x0x0pourfentraîne l"existence def(n1)sur un
voisinage dex0x0x0et a fortiori lacontinuitédefsur un voisinage dex0x0x0.Plus précisément, on a même
festnnnfois dérivable enx0x0x0=)fest declasseC(n2)C(n2)C(n2)sur un voisinage dex0x0x0et declasseC(n1)C(n1)C(n1)enx0x0x0.3L"écrituref(x) =x!x0g(x) +oh(x)signifie qu"il existe une fonction"telle que,
au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)h(x)aveclimx0"=0.En particulier, l"écrituref(x) =x!x0g(x) +o(xx0)nsignifie qu"il existe une
fonction"telle que, au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)(xx0)n aveclimx0"=0.11. Formule de Taylor-Younga) Rappels
Rappels
Soitx02R,n2Netfune fonction définie sur un voisinage dex0.1Le fait d"êtredérivable enx0x0x0pourfentraîne lacontinuitédefenx0.2Le fait d"êtrennnfois dérivable enx0x0x0pourfentraîne l"existence def(n1)sur un
voisinage dex0x0x0et a fortiori lacontinuitédefsur un voisinage dex0x0x0.Plus précisément, on a même
festnnnfois dérivable enx0x0x0=)fest declasseC(n2)C(n2)C(n2)sur un voisinage dex0x0x0et declasseC(n1)C(n1)C(n1)enx0x0x0.3L"écrituref(x) =x!x0g(x) +oh(x)signifie qu"il existe une fonction"telle que,
au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)h(x)aveclimx0"=0.En particulier, l"écrituref(x) =x!x0g(x) +o(xx0)nsignifie qu"il existe une
fonction"telle que, au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)(xx0)n aveclimx0"=0.11. Formule de Taylor-Younga) Rappels
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Soitx02R,n2Netfune fonction définie sur un voisinage dex0.1Le fait d"êtredérivable enx0x0x0pourfentraîne lacontinuitédefenx0.2Le fait d"êtrennnfois dérivable enx0x0x0pourfentraîne l"existence def(n1)sur un
voisinage dex0x0x0et a fortiori lacontinuitédefsur un voisinage dex0x0x0.Plus précisément, on a même
festnnnfois dérivable enx0x0x0=)fest declasseC(n2)C(n2)C(n2)sur un voisinage dex0x0x0et declasseC(n1)C(n1)C(n1)enx0x0x0.3L"écrituref(x) =x!x0g(x) +oh(x)signifie qu"il existe une fonction"telle que,
au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)h(x)aveclimx0"=0.En particulier, l"écrituref(x) =x!x0g(x) +o(xx0)nsignifie qu"il existe une
fonction"telle que, au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)(xx0)n aveclimx0"=0.11. Formule de Taylor-Younga) Rappels
Rappels
Soitx02R,n2Netfune fonction définie sur un voisinage dex0.1Le fait d"êtredérivable enx0x0x0pourfentraîne lacontinuitédefenx0.2Le fait d"êtrennnfois dérivable enx0x0x0pourfentraîne l"existence def(n1)sur un
voisinage dex0x0x0et a fortiori lacontinuitédefsur un voisinage dex0x0x0.Plus précisément, on a même
festnnnfois dérivable enx0x0x0=)fest declasseC(n2)C(n2)C(n2)sur un voisinage dex0x0x0et declasseC(n1)C(n1)C(n1)enx0x0x0.3L"écrituref(x) =x!x0g(x) +oh(x)signifie qu"il existe une fonction"telle que,
au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)h(x)aveclimx0"=0.En particulier, l"écrituref(x) =x!x0g(x) +o(xx0)nsignifie qu"il existe une
fonction"telle que, au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)(xx0)n aveclimx0"=0.11. Formule de Taylor-Youngb) Énoncé
Théorème 1.1 (Formule de Taylor-Young à l"ordrennn)Soitx02Retfune fonction définie sur un voisinage dex0.
Sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors
f(x) =x!x0f(x0)+f0(x0)(xx0)+f00(x0)2 (xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+o(xx0)n x!x0n X k=0f (k)(x0)k!(xx0)k+o(xx0)n:Autre formulation :en posanth=xx0, f(x0+h) =h!0f(x0) +f0(x0)h+f00(x0)2 h2++f(n)(x0)n!hn+ohn h!0n X k=0f (k)(x0)k!hk+ohn:Exemple 1.2 (Formule de Taylor-Young aux ordres 1 et 2)1Ordre1:sifestdérivable enx0x0x0, alors
f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +o(xx0):2Ordre2:sifestdeux fois dérivable enx0x0x0, alors f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +f00(x0)2 (xx0)2+o(xx0)2:21. Formule de Taylor-Youngb) Énoncé
Théorème 1.1 (Formule de Taylor-Young à l"ordrennn)Soitx02Retfune fonction définie sur un voisinage dex0.
Sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors
f(x) =x!x0f(x0)+f0(x0)(xx0)+f00(x0)2 (xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+o(xx0)n x!x0n X k=0f (k)(x0)k!(xx0)k+o(xx0)n:Autre formulation :en posanth=xx0, f(x0+h) =h!0f(x0) +f0(x0)h+f00(x0)2 h2++f(n)(x0)n!hn+ohn h!0n X k=0f (k)(x0)k!hk+ohn:Exemple 1.2 (Formule de Taylor-Young aux ordres 1 et 2)1Ordre1:sifestdérivable enx0x0x0, alors
f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +o(xx0):2Ordre2:sifestdeux fois dérivable enx0x0x0, alors f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +f00(x0)2 (xx0)2+o(xx0)2:21. Formule de Taylor-Youngb) Énoncé
Théorème 1.1 (Formule de Taylor-Young à l"ordrennn)Soitx02Retfune fonction définie sur un voisinage dex0.
Sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors
f(x) =x!x0f(x0)+f0(x0)(xx0)+f00(x0)2 (xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+o(xx0)n x!x0n X k=0f (k)(x0)k!(xx0)k+o(xx0)n:Autre formulation :en posanth=xx0, f(x0+h) =h!0f(x0) +f0(x0)h+f00(x0)2 h2++f(n)(x0)n!hn+ohn h!0n X k=0f (k)(x0)k!hk+ohn:Exemple 1.2 (Formule de Taylor-Young aux ordres 1 et 2)1Ordre1:sifestdérivable enx0x0x0, alors
f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +o(xx0):2Ordre2:sifestdeux fois dérivable enx0x0x0, alors f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +f00(x0)2 (xx0)2+o(xx0)2:21. Formule de Taylor-Youngb) Énoncé
Théorème 1.1 (Formule de Taylor-Young à l"ordrennn)Soitx02Retfune fonction définie sur un voisinage dex0.
Sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors
f(x) =x!x0f(x0)+f0(x0)(xx0)+f00(x0)2 (xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+o(xx0)n x!x0n X k=0f (k)(x0)k!(xx0)k+o(xx0)n:Autre formulation :en posanth=xx0, f(x0+h) =h!0f(x0) +f0(x0)h+f00(x0)2 h2++f(n)(x0)n!hn+ohn h!0n X k=0f (k)(x0)k!hk+ohn:Exemple 1.2 (Formule de Taylor-Young aux ordres 1 et 2)1Ordre1:sifestdérivable enx0x0x0, alors
f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +o(xx0):2Ordre2:sifestdeux fois dérivable enx0x0x0, alors f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +f00(x0)2 (xx0)2+o(xx0)2:21. Formule de Taylor-Youngc) Taylor-LagrangeversusTaylor-Young
Remarque 1.3 (Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young) Comparons les deux énoncés des formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young : Taylor-Lagrange :sifest declasseCnCnCnsur[x0;x][x0;x][x0;x]et(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur]x0;x[]x0;x[]x0;x[(ou plus simplement sifest(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur[x0;x][x0;x][x0;x]), alors
9t2]0;1[;f(x) =nX
k=0f Taylor-Young :sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, f(x) =nX k=0f(k)(x0)k!(xx0)k+"(x)(xx0)naveclimx0"=0:Les hypothèses portant surfsontplus fortesavec la formule de Taylor-Lagrange
(f(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur un intervalle fermé) qu"avec celle de Taylor-Young (f nnnfois dérivable en un point). Mais la nature du résultat n"est pas la même : la formule de Taylor-Lagrange a un caractèreglobal(les réelsxetx0peuventêtre "très» éloignés);
la formule de Taylor-Young donne un résultatlocal(elle n"a de sens qu"au voisinage d"un point).31. Formule de Taylor-Youngc) Taylor-LagrangeversusTaylor-Young
Remarque 1.3 (Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young) Comparons les deux énoncés des formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young : Taylor-Lagrange :sifest declasseCnCnCnsur[x0;x][x0;x][x0;x]et(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur]x0;x[]x0;x[]x0;x[(ou plus simplement sifest(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur[x0;x][x0;x][x0;x]), alors
9t2]0;1[;f(x) =nX
k=0f Taylor-Young :sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, f(x) =nX k=0f(k)(x0)k!(xx0)k+"(x)(xx0)naveclimx0"=0:Les hypothèses portant surfsontplus fortesavec la formule de Taylor-Lagrange
(f(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur un intervalle fermé) qu"avec celle de Taylor-Young (f nnnfois dérivable en un point). Mais la nature du résultat n"est pas la même : la formule de Taylor-Lagrange a un caractèreglobal(les réelsxetx0peuventêtre "très» éloignés);
la formule de Taylor-Young donne un résultatlocal(elle n"a de sens qu"au voisinage d"un point).31. Formule de Taylor-Youngc) Taylor-LagrangeversusTaylor-Young
Remarque 1.3 (Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young) Comparons les deux énoncés des formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young : Taylor-Lagrange :sifest declasseCnCnCnsur[x0;x][x0;x][x0;x]et(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur]x0;x[]x0;x[]x0;x[(ou plus simplement sifest(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur[x0;x][x0;x][x0;x]), alors
9t2]0;1[;f(x) =nX
k=0f Taylor-Young :sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, f(x) =nX k=0f(k)(x0)k!(xx0)k+"(x)(xx0)naveclimx0"=0:Les hypothèses portant surfsontplus fortesavec la formule de Taylor-Lagrange
(f(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur un intervalle fermé) qu"avec celle de Taylor-Young (f nnnfois dérivable en un point). Mais la nature du résultat n"est pas la même : la formule de Taylor-Lagrange a un caractèreglobal(les réelsxetx0peuventêtre "très» éloignés);
la formule de Taylor-Young donne un résultatlocal(elle n"a de sens qu"au voisinage d"un point).31. Formule de Taylor-Youngc) Taylor-LagrangeversusTaylor-Young
Remarque 1.3 (Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young) Comparons les deux énoncés des formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young : Taylor-Lagrange :sifest declasseCnCnCnsur[x0;x][x0;x][x0;x]et(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur]x0;x[]x0;x[]x0;x[(ou plus simplement sifest(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur[x0;x][x0;x][x0;x]), alors
9t2]0;1[;f(x) =nX
k=0f Taylor-Young :sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, f(x) =nX k=0f(k)(x0)k!(xx0)k+"(x)(xx0)naveclimx0"=0:Les hypothèses portant surfsontplus fortesavec la formule de Taylor-Lagrange
(f(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur un intervalle fermé) qu"avec celle de Taylor-Young (f nnnfois dérivable en un point). Mais la nature du résultat n"est pas la même : la formule de Taylor-Lagrange a un caractèreglobal(les réelsxetx0peuventêtre "très» éloignés);
la formule de Taylor-Young donne un résultatlocal(elle n"a de sens qu"au voisinage d"un point).31. Formule de Taylor-Youngc) Taylor-LagrangeversusTaylor-Young
Remarque 1.3 (Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young) Comparons les deux énoncés des formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young : Taylor-Lagrange :sifest declasseCnCnCnsur[x0;x][x0;x][x0;x]et(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur]x0;x[]x0;x[]x0;x[(ou plus simplement sifest(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur[x0;x][x0;x][x0;x]), alors
9t2]0;1[;f(x) =nX
k=0f Taylor-Young :sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, f(x) =nX k=0f(k)(x0)k!(xx0)k+"(x)(xx0)naveclimx0"=0:Les hypothèses portant surfsontplus fortesavec la formule de Taylor-Lagrange
(f(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur un intervalle fermé) qu"avec celle de Taylor-Young (f nnnfois dérivable en un point). Mais la nature du résultat n"est pas la même : la formule de Taylor-Lagrange a un caractèreglobal(les réelsxetx0peuventêtre "très» éloignés);
la formule de Taylor-Young donne un résultatlocal(elle n"a de sens qu"au voisinage d"un point).31. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles
Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2Pour tout2R,
(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)
11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)
ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)41. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles
Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2Pour tout2R,
(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)
11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)
ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)41. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles
Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2Pour tout2R,
(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)
11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)
ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)41. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles
Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2Pour tout2R,
(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)
11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)
ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)41. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles
Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2Pour tout2R,
(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)
11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)
ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)41. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles
Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2Pour tout2R,
(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)
11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)
ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)4Sommaire
1Formule de Taylor-Young
2Développements limités
DL en un point
DL en l"infini
Cas particulier des DL
0et DL1Quelques propriétés
Opérations
2. Développements limitésa) DL en un point
Définition 2.1 (Développement limité enx0x0x0)Soitfune fonction définie au voisinage dex0(pas nécessairement enx0).
On dit quefadmet undéveloppement limité d"ordrennnenx0x0x0(notéDLn(x0)) lorsqu"il existe des coefficientsa0;:::;antels que f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +a2(xx0)2++an(xx0)n+o(xx0)n:Le polynômea0+a1X+a2X2++anXnest appelépartie régulièreduDLn(x0).Autre formulation : en posanth=xx0,
f(x0+h) =h!0a0+a1h+a2h2++anhn+ohn:On peut également définir desdéveloppements limités à droite et à gaucheenx0.Remarque 2.2 (Formule Taylor-Young et DL)
La formule de Taylor-Young fournit pour toute fonctionf nnnfois dérivable enx0x0x0un DLn(x0)de coefficientsak=f(k)(x0)k!, 06k6n.Mais en pratique, pour établir des développements limités enx0, on utilisera
rarement cette formule qui nécessite le calcul des dérivées successives de la fonction. On s"appuiera sur les développements limités obtenus en 0 par cette formule pour les fonctions usuelles et on utilisera lechangement de variableh=xx0ainsi que les propriétés des DL qui seront énoncées ultérieurement.52. Développements limitésa) DL en un point
Définition 2.1 (Développement limité enx0x0x0)Soitfune fonction définie au voisinage dex0(pas nécessairement enx0).
On dit quefadmet undéveloppement limité d"ordrennnenx0x0x0(notéDLn(x0)) lorsqu"il existe des coefficientsa0;:::;antels que f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +a2(xx0)2++an(xx0)n+o(xx0)n:Le polynômea0+a1X+a2X2++anXnest appelépartie régulièreduDLn(x0).Autre formulation : en posanth=xx0,
f(x0+h) =h!0a0+a1h+a2h2++anhn+ohn:On peut également définir desdéveloppements limités à droite et à gaucheenx0.Remarque 2.2 (Formule Taylor-Young et DL)
La formule de Taylor-Young fournit pour toute fonctionf nnnfois dérivable enx0x0x0un DLn(x0)de coefficientsak=f(k)(x0)k!, 06k6n.Mais en pratique, pour établir des développements limités enx0, on utilisera
rarement cette formule qui nécessite le calcul des dérivées successives de la fonction. On s"appuiera sur les développements limités obtenus en 0 par cette formule pour les fonctions usuelles et on utilisera lechangement de variableh=xx0ainsi que les propriétés des DL qui seront énoncées ultérieurement.52. Développements limitésa) DL en un point
Définition 2.1 (Développement limité enx0x0x0)Soitfune fonction définie au voisinage dex0(pas nécessairement enx0).
On dit quefadmet undéveloppement limité d"ordrennnenx0x0x0(notéDLn(x0)) lorsqu"il existe des coefficientsa0;:::;antels que f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +a2(xx0)2++an(xx0)n+o(xx0)n:Le polynômea0+a1X+a2X2++anXnest appelépartie régulièreduDLn(x0).Autre formulation : en posanth=xx0,
f(x0+h) =h!0a0+a1h+a2h2++anhn+ohn:On peut également définir desdéveloppements limités à droite et à gaucheenx0.Remarque 2.2 (Formule Taylor-Young et DL)
La formule de Taylor-Young fournit pour toute fonctionf nnnfois dérivable enx0x0x0un DLn(x0)de coefficientsak=f(k)(x0)k!, 06k6n.Mais en pratique, pour établir des développements limités enx0, on utilisera
rarement cette formule qui nécessite le calcul des dérivées successives de la fonction. On s"appuiera sur les développements limités obtenus en 0 par cette formule pour les fonctions usuelles et on utilisera lechangement de variableh=xx0ainsi que les propriétés des DL qui seront énoncées ultérieurement.52. Développements limitésa) DL en un point
Définition 2.1 (Développement limité enx0x0x0)Soitfune fonction définie au voisinage dex0(pas nécessairement enx0).
On dit quefadmet undéveloppement limité d"ordrennnenx0x0x0(notéDLn(x0)) lorsqu"il existe des coefficientsa0;:::;antels que f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +a2(xx0)2++an(xx0)n+o(xx0)n:Le polynômea0+a1X+a2X2++anXnest appelépartie régulièreduDLn(x0).Autre formulation : en posanth=xx0,
f(x0+h) =h!0a0+a1h+a2h2++anhn+ohn:On peut également définir desdéveloppements limités à droite et à gaucheenx0.Remarque 2.2 (Formule Taylor-Young et DL)
La formule de Taylor-Young fournit pour toute fonctionf nnnfois dérivable enx0x0x0un DLn(x0)de coefficientsak=f(k)(x0)k!, 06k6n.Mais en pratique, pour établir des développements limités enx0, on utilisera
rarement cette formule qui nécessite le calcul des dérivées successives de la fonction. On s"appuiera sur les développements limités obtenus en 0 par cette formule pour les fonctions usuelles et on utilisera lechangement de variableh=xx0ainsi que les propriétés des DL qui seront énoncées ultérieurement.52. Développements limitésa) DL en un point
Définition 2.1 (Développement limité enx0x0x0)Soitfune fonction définie au voisinage dex0(pas nécessairement enx0).
On dit quefadmet undéveloppement limité d"ordrennnenx0x0x0(notéDLn(x0)) lorsqu"il existe des coefficientsa0;:::;antels que f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +a2(xx0)2++an(xx0)n+o(xx0)n:Le polynômea0+a1X+a2X2++anXnest appelépartie régulièreduDLn(x0).Autre formulation : en posanth=xx0,
f(x0+h) =h!0a0+a1h+a2h2++anhn+ohn:On peut également définir desdéveloppements limités à droite et à gaucheenx0.Remarque 2.2 (Formule Taylor-Young et DL)
La formule de Taylor-Young fournit pour toute fonctionf nnnfois dérivable enx0x0x0un DLn(x0)de coefficientsak=f(k)(x0)k!, 06k6n.Mais en pratique, pour établir des développements limités enx0, on utilisera
rarement cette formule qui nécessite le calcul des dérivées successives de la fonction. On s"appuiera sur les développements limités obtenus en 0 par cette formule pour les fonctions usuelles et on utilisera lechangement de variableh=xx0ainsi que les propriétés des DL qui seront énoncées ultérieurement.52. Développements limitésb) DL en l"infini
Remarque 2.3 (Développement limité en l"infini) Étant donnée une fonctionfdéfinie au voisinage de1, le changement de variable X=1=xpermet d"obtenirun développement limité defffen l"infinià partir d"un DL n(0)def(1=x), c"est-à-dire une écriture valable au voisinage de l"infini de la forme f(x) =x!1a0+a1x +a2x2++anx
n+o1x n :Exemple 2.4 (Développement asymptotique et asymptote) Si une fonctiongdéfinie au voisinage de l"infini est telle queg(x)=xadmette un DL2(1)de la formea0+a1x
+a2x 2+o1x 2 , on peut écrire g(x) =x!1a0x+a1+a2x +o1x :Cette écriture est appeléedéveloppement limité généraliséoudéveloppementasymptotiqueet met en évidence uneasymptotepourgd"équationy=a0x+a1.De plus le signe du coefficienta2indique laposition localeau voisinage de1de
la courbe représentative degpar rapport à cette asymptote.Par exemple, au voisinage de+1, sia2>>>0 (resp.a2<<<0), alors la courbe est
au-dessus(resp.au-dessous) de son asymptote.62. Développements limitésb) DL en l"infini
Remarque 2.3 (Développement limité en l"infini) Étant donnée une fonctionfdéfinie au voisinage de1, le changement de variable X=1=xpermet d"obtenirun développement limité defffen l"infinià partir d"un DL n(0)def(1=x), c"est-à-dire une écriture valable au voisinage de l"infini de la forme f(x) =x!1a0+a1x +a2x2++anx
n+o1x n :Exemple 2.4 (Développement asymptotique et asymptote) Si une fonctiongdéfinie au voisinage de l"infini est telle queg(x)=xadmette un DL2(1)de la formea0+a1x
+a2x 2+o1x 2 , on peut écrire g(x) =x!1a0x+a1+a2x +o1x :Cette écriture est appeléedéveloppement limité généraliséoudéveloppementasymptotiqueet met en évidence uneasymptotepourgd"équationy=a0x+a1.De plus le signe du coefficienta2indique laposition localeau voisinage de1de
la courbe représentative degpar rapport à cette asymptote.Par exemple, au voisinage de+1, sia2>>>0 (resp.a2<<<0), alors la courbe est
au-dessus(resp.au-dessous) de son asymptote.62. Développements limitésb) DL en l"infini
Remarque 2.3 (Développement limité en l"infini) Étant donnée une fonctionfdéfinie au voisinage de1, le changement de variable X=1=xpermet d"obtenirun développement limité defffen l"infinià partir d"un DLquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] formule de taylor exercices corrigés
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