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Développer un produit cest lécrire sous la forme dune somme (ou

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2) Produit de deux puissances d'un même nombre On somme les deux exposants. ... On ne peut pas l'écrire sous forme d'une seule puissance.



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  • Comment écrire sous la forme d'un produit ?

    Somme et produit:S = a + b = 7 P = a . b = 10Solution de:x² – 7x + 10 = 0Calcul sous radical:S² – P = (7/2)² – 10 = 49/4 – 40/4 = 9/4Valeur de ce radical:(S² – P) = (9/4) = 3/2

  • Quelle est la formule de somme et produit ?

    1Chercher deux nombres m et n dont le produit est égal à la valeur de a multipliée par c et dont la somme est égale à la valeur de b . Produit =ac Somme =b.2Décomposer le terme bx dans le trinôme par les deux nombres trouvés.3Effectuer une mise en évidence double.

  • Comment faire le produit d'une somme ?

    Le produit est le résultat d'une multiplication. La somme est le résultat d'une addition. Le quotient est le résultat d'une division. La différence est le résultat d'une soustraction.
les entiers naturels qui sont somme de deux carres les entiers naturels qui sont sommes de deux carrés par Alhamide Haki du lycée George Sand, Le

Mée sur Seine (77), Deniz Bugday, Sébastien

Bazabas et Samir Bentahar du lycée Romain

Rolland, Argenteuil (95)

enseignantes : Sabine Giros, Dominique Guy et Jo‘lle Rhodes chercheur : Lo•c Allys lycée Romain Rolland d'Argenteuil (95) - nombres sommes de carrés

Recherche des nombres entiers naturels ntels que

l'équation x2+y2=nadmette des solutions entières. Quelles sont les propriétés de tels nombres ? Combien existe-t-il de solutions pour un nombre ndonné ?

SUJET :

Est-ce que tout nombre entier peut s'écrire

sous la forme d'une somme de deux carrés ?

Quels sont les nombres ntels que n=a2+b2,

avec aet bdes entiers naturels ?

Démarche :

Nous avons commencé par faire la liste des

nombres de 0 à 99 qui sont somme de deux carrés [NDLC. Voir l'annexe, page 26].

Remarques :

• Certains nombres peuvent s'écrire de deux façons : 25 = 52+ 02= 42+ 32

50 = 52+ 52= 72+ 12

125 = 102+ 52= 112+ 22

• Solutions triviales : tout carré parfait (nombre qui s'écrit sous la forme P2+ 02) ainsi que le nombre qui le suit (qui s'écrit sous la forme P2+ 12) sont solutions du pro- blème.

Exemple : 25 = 52+ 02et 26 = 52+ 12

• Nous n'avons pas trouvé de loi qui nous permette de déterminer les nombres n. En vertu de cela, on a cherché à étudier quelques propriétés de ces nombres, comme la multi- plication, l'addition et la parité.

Produit : Si deux nombres sont sommes de

deux carrés, alors leur produit est somme de deux carrés.

Démonstration.Si N=a2+b2et P=c2+d2

alors N´P= (a2+ b2) (c2+ d2) = a2c2+ a2d2+ b2c2+ b2d2 = a2c2+ a2d2+ b2c2+ b2d2Ð 2abcd+ 2abcd = (a2c2+2abcd+b2d2)+(a2b2Ð 2abcd+ b2c2) et :N´P= (ac+ bd)2+ (adÐ bc)2

Exemples :

• 5 = 22+ 12et 13 = 32+ 22alors 5 ´13 = 65 et 65 = 82+ 12, •9 = 32+ 12et 13 = 32+ 22alors 9´13 = 117 et 117 = 92+ 62.

Conséquence.

Soit un entier naturel z. Si les facteurs

p remiers dont zest le produit sont tous sommes de deux carrés, alors zest aussi somme de deux carrés. page 23

ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997

Somme : La somme de deux nombre s

somme de deux carrés n'est pas forcément somme de deux carrés.

Exemple : (12+ 12) + (22+ 12) = 7, or 7

n'est pas somme de deux carrés [comme on peut le vérifier facilement].

La parité.

Le cas des nombres pairs :

Si Nest pair et s'écrit sous la forme d'une

somme de deux carrés alors N/ 2s ' é c r i t sous la forme d'une somme de deux carrés.

Démonstration.Soit N= 2 pet N=a2+b2

avec a³ b, alors ; et donc N/2 est somme de deux carrés. [NDLR : a2et aont la même parité, de même que b2et b;aet bont donc la même parité : ils ne peuvent être l'un pair et l'autre impair, sinon a2et b2seraient l'un pair et l'autre impair et Nserait impair ; donc a+bet aÐb sont pairs.]

Exemple :N= 34 = 25 + 9 = 52+ 32. On

divise 34 par 2 et on obtient :

Conséquence :

Pour savoir si un nombre pairnest somme

de deux carrés, on se ramène au nombre impairn0tel que n= 2pn0.

Conclusion :

Il reste à savoir comment écrire un nombre

impair sous la forme d'une somme de deux carrés.

Le cas des nombres impairs :

On cherche donc maintenant à écrire un

nombre impair, sous la forme d'une somme de deux carrés.

Un nombre impair est la somme d'un nombre

pair et d'un nombre impair. Si a2est un nombre pair et b2un nombre impair, néces- sairement aest pair et best impair. Soit a= 2 Ket b= 2 K' + 1. On a donc : a2+ b2= (2 K)2+ (2 K' + 1)2 = 4 K2+ 4 K'2+ 4 K+ 1 = 4 (K2+ K'2+ K) + 1 = 4 K" + 1

Conclusion :

Si un nombre impair est somme de deux

carrés, alors il est de la forme 4 K+ 1.

Exemple :

13 = 32+ 22

= (2 ´1)2+ (2 ´1 + 1)2 = 4 (12+ 12+ 1) + 1 = 4 ´3 + 1

La réciproque est fausse: en effet si un

nombre est de la forme 4 K+ 1, il n'est pas forcement somme de deux carrés. Contre-exemple : 21= 4 ´5 + 1 ne s'écrit pas sous la forme de deux carrés.

Conséquence :

Si un nombre impair s'écrit sous la forme

4K+ 3, alors il ne peut pas être somme de

deux carrés. La démarche suivante a été de démontrer que si un nombre somme de deux carrés est multiple de 3alors il est multiple de 9.

Démonstration.

Soient N=a2+b2et N= 3n. Dans la division

par 3 de aet b, les restes possibles sont 0, 1 ou 2. On écrit asous la forme 3xou 3x+ 1 ou 3x+ 2 et bsous la forme 3you 3y+ 1 ou 3y+ 2. On a envisagé tous les cas pos- sibles : p = N 2 (a2 + b2) 2 (a2 + 2 a b + b2) 4 (a2 Ð 2 a b + b2) 4 = a + b 2 2 a Ð b 2 2 17 =

5 Ð 3

2 2 + 5 + 3 2 2 = 12 + 42 page 24

ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997

I) N= (3x)2+ (3y)2= 9 (x2+ y2).

Nest un multiple de 3et aussi un multiple

de 9.

II) N= (3x)2+ (3y+1)2

= 3[3(x2+ y2)+ 2y] + 1

Nn'est alors pas multiple de 3.

III) N= (3x)2+ (3y+2)2

= 3[3(x2+ y2) + 4y+1] + 1 Idem.

IV) N= (3x+1)2+ (3y)2

= 3[3(x2+ y2) + 2x] + 1 Idem.

V) N= (3x+2)2+ (3y)2

=3[3(x2+ y2) + 4x+ 1 ] + 1 Idem.

VI) N= (3x+1)2+ (3y+1)2

= 3[3(x2+ y2) + 2x+ 2y] + 2

Idem. [NDLR : restent encore trois cas :]

VII) N= (3x+1)2+ (3y+2)2

= 3[3(x2+ y2) + 2x+ 4y] + 5 = 3[3(x2+ y2) + 2x+ 4y+ 1] + 2

VIII) N= (3x+2)2+ (3y+1)2

= 3[3(x2+ y2) + 4x+ 2y] + 5 = 3[3(x2+ y2) + 4x+ 2y+ 1] + 2

IX) N= (3x+2)2+ (3y+2)2

= 3[3(x2+ y2) + 4x+ 4y] + 8 = 3[3(x2+ y2) + 4x+ 4y+ 2] + 2

On obtient un multiple de 3 seulement dans le

premier cas et alors c'est aussi un multiple de 9.

Généralisation : Si N, somme de deux

carrés, est multiple de 4k+ 3alors Ne s t multiple de (4k+3)2.

D é m o n s t r a t i o n .Soit N= (4k+3) P et

N=X2+Y2. Posons X= (4k+3)a+aet

Y= (4k+ 3 )b+ bavec aet binférieurs

à 4k+3. Alors :

N= [(4k+3)a+ a]2+ [(4k+3)b+ b]2

= [(4k+3)a]2+ 2(4k+3)aa+ a2 + [(4k+3)b]2+ 2(4k+3)bb+ b2 = (4k+3) [(4k+3)a2+ 2aa+ (4k+3)b2+ 2bb] + a2+ b2

Or a2+ b2est une somme de deux carrés

et 4k+3 ne peut donc pas diviser a2+ b2.

Ainsi a2+ b2= 0 et donc a= b= 0

soit X= (4k+ 3 )aet Y= (4k+ 3 )bet donc N= (4k+3)2(a2+ b2).

Conséquence.Si un nombre, somme de deux

carrés X2et Y2est multiple de (4k+3) alors X et Yle sont aussi.

Conclusion. Pour un nombre Ndonné,

on décompose Nen facteurs premiers :

N= p1p2É pn.

Si p1,p2, É, pnsont sommes de deux carrés,

alors Naussi (d'après les résultats sur le pro- duit, page 23).

Si des nombres pine sont pas somme de deux

carrés, alors, il faut qu'ils apparaissent 2, 4, 6 ou 2nfois pour que Nsoit somme de deux carrés. [ N D L C .On trouvera page suivante l'annexe annoncée, donnant une table de décomposi- tion des 100 premiers entiers.] page 25

ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997

ANNEXE

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
a2+b2 02+02 02+12 12+12 22+02
12+22 22+22
32+02
12+92 22+32
42+02
42+12
32+32
42+22
52+02
52+12
52+22
42+42
52+32
62+02
62+12
62+22
42+52
62+32
72+02
n 50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
a2+b2 52+52
52+42
72+22
72+32
62+52
82+02
82+12
82+22
62+62
82+32
82+42
92+02
92+12
52+82
92+32
42+92
72+72
page 26

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