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EQUATIONS DE LA DROITE DANS LE PLAN 1

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Chapitre 1 : Équations de la droite dans le plan

§ 1.1 Introduction

Exercice d'introduction :

On considère l'équation vectorielle:

x y =3 2 +k3 2 Représenter, dans un système d'axes Oxy, les points (x ; y) correspondant aux valeurs du paramètre k = -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3.

Par exemple, si k = 4, alors on obtient

x y =3 2 +43
2 =9 10 on représente le point P(9 ; 10).

Vous aurez constaté que tous les points obte

nus sont situés sur une même droite. Nous allons maintenant caractériser les droites dans le plan par leurs équations. § 1.2 Équation vectorielle paramétrique de la droite dans le plan

La droite " vectorielle »:

• Une droite d est entièrement caractérisée par l'un de ses points A(a 1 ; a 2 ) et un vecteur v =v 1 v 2 définissant son orientation. • Ce vecteur v est appelé vecteur directeur de d. • L'ensemble de tous les points M(x ; y) du plan qui appartiennent à la droite d est caractérisé par l'équation vectorielle paramétrique de la droite suivante:

OM=OA+AM=OA+k

v avec k IR x y =a 1 a 2 +kv 1 v 2 avec k IR Que l'on utilisera aussi sous forme d'un système d'équations paramétriques: x=a 1 +kv 1 y=a 2 +kv 2 avec k IR

2 CHAPITRE 1

2M stand/renf géométrie analytique

Remarque:

Si la droite est donnée par deux points A et B, on prend le vecteur

AB comme vecteur directeur.

Exemple:

Donner une équation vectorielle paramétrique de la droite passant par A(2 ; -5) et de vecteur directeur v =2 3

Exemple:

Donner un système d'équations paramétriques de la droite passant par A(2 ; -5) et B(-3 ; 2).

Exercice 1.1:

a) Que peut-on affirmer au sujet des vecteurs directeurs de deux droites parallèles ? b) On considère la droite d d'équation : x y =2 3 +k5 7 Déterminer l'équation paramétrique de la droite parallèle à d et passant par P(8 ; -9). c) Déterminer l'équation paramétrique de la droite perpendiculaire à d et passant par P(8 ; -9). § 1.3 Équations cartésiennes de la droite dans le plan

Rappels :

Vous avez étudié dans un cours d'algèbre de base qu'une droite dans un système d'axes pouvait s'exprimer sous la forme d'une fonction du type: x ----> mx + h • m s'appelle la pente et correspond au calcul : m=variation verticale variation horizontale=y B y A x B x A =y x • h s'appelle ordonnée à l'origine et donne la hauteur à laquelle la droite coupe l'axe y. Ce point d'intersection admet donc les coordonnées H(0 ; h)

EQUATIONS DE LA DROITE DANS LE PLAN 3

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Une telle droite peut également s'écrire sous la forme d'une

équation: y = mx + h

ou encore en "amenant" tous les termes du même "côté du =" : ax + by + c = 0 où a, b et c sont si possible des entiers. Les 2 formes d'équations cartésiennes d'une droite dans le plan: (1) y = mx + h (2) ax + by + c = 0

Exemples:

• Donner une 2

ème

forme d'équation cartésienne de y=2 3x+3 4. • Donner la 1

ère

forme d'équation cartésienne de 5x + 2y - 8 = 0. • Déterminer la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation : 3x - 2y + 7 = 0. • Donner les 2 formes de l'équation cartésienne de la droite d passant par le point H(0 ; 8) et de vecteur directeur v =2 3

Exercice 1.2:

Déterminer les 2 formes de l'équation cartésienne de la droite : a) de pente m = -1/7 et d'ordonnée à l'origine h = -2 b) de vecteur directeur v =1 3 passant par H(0 ; 1/2)

4 CHAPITRE 1

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Exercice 1.3:

Les points suivants P

1 (0 ; 1/4) ; P 2 (- 2/3 ; 0) ; P 3 (5 ; -1) appartiennent-ils à la droite d'équation: 3x - 8y + 2 = 0 ?

Exercice 1.4:

On considère la droite -3x + 2y - 6 = 0. Chercher le point de cette droite: a) ayant une abscisse égale à 3 (rappel: axe des abscisses = axe Ox) ; b) ayant une ordonnée égale à -4 (rappel: axe des ordonnées = axe Oy) c) ayant ses deux coordonnées égales ; d) situé sur l'axe des abscisses ; e) situé sur l'axe des ordonnées ; f) situé sur la droite 5x - 7y + 4 = 0. § 1.4 Les 4 démarches pour déterminer les équations cartésiennes d'une droite :

Type point - pente :

Donner les 2 formes d'équation cartésienne de la droite passant par A(2 ; 3) et de pente -2.

Exercice 1.5:

Appliquer la même démarche avec A(-1 ; 7) et une pente de 3.

Type point - point :

Donner les 2 formes d'équation cartésienne de la droite passant par A(2 ; 3) et B(-3 ; -5).

Exercice 1.6:

Appliquer la même démarche avec A(-3 ; 4) et B(5 ; 7).

EQUATIONS DE LA DROITE DANS LE PLAN 5

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Type point - vect. dir :

Donner les 2 formes d'équation cartésienne de la droite passant par A(4 ; -1) et de vecteur directeur v =2 3

Exercice 1.7:

Appliquer la même démarche avec A(1 ; -2) et v =6 4

Type point - vect. normal :

Donner les 2 formes d'équation cartésienne de la droite passant par A(4 ; -1) et de vecteur normal v =3 5

Exercice 1.8:

Appliquer la même démarche avec A(1 ; -2) et v =6 4

Exercice 1.9:

Déterminer la pente puis une des équations cartésiennes de la droite donnée par: a) un point A(-5 ; 4) et le vecteur directeur v =3 e 1 e 2 b) un point A(3 ; -7) et la pente m = - 1/5 ; c) un point A(-1/2 ; 3/4) et le vecteur directeur v = 2 3 e 1 1 3 e 2 d) les deux points A(7 ; 2) et B(-5 ; 8) ; e) les deux points A(4/3 ; 2/5) et B(3/4 ; -1/3) ; f) un point A(-7 ; 8) et le vecteur directeur v = e 1 g) un point A(4 ; 5) et sachant qu'elle est parallèle à l'axe y.

6 CHAPITRE 1

2M stand/renf géométrie analytique § 1.5 Représentation d'une droite dans un système d'axes 1

ère

méthode: On calcule les coordonnées de deux points (x ; y) satisfaisant l'équation de la droite. 2

ème

méthode: (1) On exprime la droite sous la forme y = mx + h. (2) On pose le point H(0 ; h) qui correspond à l'ordonnée à l'origine. (3) On construit depuis H le triangle de la pente m en utilisant que m = y x (4) On relie H au point ainsi obtenu.

Exemple:

Utiliser la 1

ère

méthode pour construire la droite : (d) : 2x + 4y = 24

Exemple:

Utiliser la 2

ème

méthode pour construire la droite : (d) : 2x + 4y = 24 y x y x

EQUATIONS DE LA DROITE DANS LE PLAN 7

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Exercice 1.10:

Représenter les 3 droites sur les systèmes d'axes ci-dessous :

2x - 3y - 6 = 0 5x + 4y - 24 = 0 y = 3/4x

Cas particuliers des droites parallèles aux axes de coordonnées

Exemple:

• Donner l'équation cartésienne de la droite passant par :

A(2 ; 3) et B(4 ; 3).

• Donner l'équation cartésienne de la droite passant par

A(2 ; 3) et B(2 ; 9).

Règles:

x = c , où c est une constante est l'équation cartésienne d'une droite verticale. y = c , où c est une constante est l'équation cartésienne d'une droite horizontale. y x y x y x

8 CHAPITRE 1

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Exercice 1.11:

En observant uniquement les coordonnées des points A et B, déterminer si la droite AB est horizontale, verticale ou oblique. a) A(2 ; -3) et B(5 ; -3) b) A(2 ; -3) et B(3 ; -5) c) A(2 ; -3) et B(2 ; -8) d) A(0 ; 0) et B(0 ; 1) e) A(-5 ; -3) et B(-5 ; -3) f) A(1 ; 2) et B(3 ; 4)

Exercice 1.12:

Exprimer dans chacun des cas suivants (si cela est possible) la pente et l'ordonnée à l'origine des droites puis les représenter dans un système d'axes orthonormé Oxy: a) 2x - 3y + 6 = 0 b) 5x + 3y - 15 = 0 c) 2,1x + 4,7y - 13,8 = 0 d) -5y = 0 e) 2x + 5 = 0 f) -3x + 9 = 0 g) 2x = 0

Exercice 1.13:

Déterminer l'équation cartésienne de la droite parallèle à la droite 4x - 3y + 7 = 0 et qui passe par le point P(-7 ; 8). Même question avec P(-2 ; 3) et -3x + 5y + 15 = 0. § 1.6 Transformation entre équation paramétrique et équation cartésienne • Donner l'équation cartésienne de : x y =3 5 +k2 1 • Donner une équation paramétrique de 6x + 3y - 9 = 0.

Exemples:

Exercice 1.14:

Déterminer l'équation cartésienne de la droite donnée par le système d'équations paramétriques suivant: x=7-4k y=3+5k

EQUATIONS DE LA DROITE DANS LE PLAN 9

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Exercice 1.15:

Montrer que les équations suivantes représentent toutes la même droite. a) 3x + 2y = 11 b) x=5-2k y=2+3k c) x=3+2k y=1-3k d) y = -3/2x + 11/2 e) 6x + 4y = 22 f) 9x 2 =y+8 3

Exercice 1.16:

On donne deux points A(7 ; 2) et B(-5 ; 8).

Soit P(x ; y) un troisième point aligné avec A et B. a) Exprimer les vecteurs a =a 1 a 2 =AB et b =b 1 b 2 =AP b) Justifier pourquoi deta 1 b 1 a 2 b 2 =0 c) En déduire l'équation cartésienne de la droite AB.

Exercice 1.17:

En utilisant la même méthode qu'à l'exercice précédent, déterminer l'équation cartésienne de la droite passant par les points A(2 ; 3) et B(5 ; -6).

Exercice 1.18:

Passer en couleurs sur la figure ci-dessous l'ensemble de tous les points P(x ; y) possibles tels que : a)

BP•BA=0 b) ||AP|| = ||BP||

c) BP•AC=0 d) det c 1 b 1 xa 1 c 2 b 2 ya 2 =0

Exercice 1.19:

On considère le triangle ABC défini par:

A(-1 ; 2) , B(3 ; -2) et C(1 ; 3).

À l'aide de l'exercice qui précède, déterminer l'équation de: a) la médiatrice de AB. b) la hauteur h B issue de B. c) la parallèle au côté BC passant par A. A(a 1 ; a 2 B(b

1 ; b2)

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