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Devoir maison: Dérivation et fonction

Terminale STMG - À rendre le avril 2015

Exercice 1On s"intéresse à la propagation d"une maladie dans une ville de 130000 habitants. La fonctionfdéfinie

sur l"intervalle [0;40]par f(x) =30t2+1260t+4000

modélise le nombre de personnes touchées par la maladie au bout detjours de suivi de la propagation.1Répondre aux questions ci-dessous par lecture graphique. Les résultats seronts justifés en commen-

tant le travail réalisé sur le graphique et en y laissant les traits de construction. a. Dét erminerle nombr ede personnes t ouchéespar la maladie au bout de 15 jours de suivi de la propagation. Solution:Au bout de 15 jours de suivi de la propagation, le nombre de personnes touchées par la maladie est d"environ16000(voir traits de constructions en rouge sur l"annexe). b.

L econseil municipal a décidé de f ermerles cr èchesde la ville lorsque plus de 12% de la popula-

tion est touchée par la maladie. Justifier qu"à partir de 15600 personnes contaminées, le conseil

municipal ferme les crèches. Solution:On calcule ce que représente 12% de la population :

13000012100

= 15600 Comme la ville ferme les crèches lorsque plus de 12% de la ville est touchée, elle ferme les

crèches quand plus de 15600 personnes sont contaminées.c.P endantcombien de jours les cr èchesont -ellesét éf ermée?

Solution:Pour répondre à cette question, il faut déterminer quels sont les jours où la po-

pulation touchée par la maladie est supérieur à 15600 (voir traits de construction en vert sur l"annexe). On peut lire sur le graphique, qu"entre le 13e jour et le 28e jour, il y a plus de

15600 personnes touchées, donc les crèches sont fermées pendant 15jours.d.C ombiende personnes, au maximum, on ét ét ouchéepar la maladie ?

Solution:D"après le graphique (traits en jaune), au maximum de l"épidémie, il y eu 17000

personnes malades.2a. Dét erminer,pourt outr éeltde l"intervalle[0;40], l"expression def0(t), oùf0désigne la fonction

dérivée de la fonctionf. Solution:f(t) =30t2+1260t+4000doncf0(t) =302t+1260=60t+1260. b.

Étudier le signe de f0(t)pourtvariant dans l"intervalle[0;40]. En déduire le tableau de variations

de la fonctionf. Solution:on étudie le signe de la dérivée : f

0(t)>0, 60t+1260>0

, 60t >1260 ,t <126060On change le sens de l"inégalité car on a divisé par -60 ,t <21Terminale STMG - 2014-20151/ 7 À rendre le avril 2015Devoir maison: Dérivation et fonction

Doncf0(t)est positif quandtest plus petit que 21.

Le tableau de variation defest donct

Signe def0(t)Variations def(t)02140 +0

400040001723017230

64006400

c. Au bout de combien de jours de suivi de la pr opagationle nombr ede personnes t ouchéespar la maladie est-il maximal?

Combien y a-t-il alors de personnes touchées?

Solution:Le nombre de personnes touchées par la maladie est maximalau bout de 20 jours.

Le nombre de personnes touchées est alors de160000510152025303540025005000750010000125001500017500

Nombre de joursNombre de personnes touchées

1600015600

281421Maximum17000Terminale STMG - 2014-20152/ 7

À rendre le avril 2015Devoir maison: Dérivation et fonction

Exercice 2Un parc d"attractions est ouvert au public de 9 h à 21 h. La courbeCdonnée ci-dessous représente

l"évolution du nombre de visiteurs attendus durant une journée8910111213141516171819202122050100150200250300350400450500

Heure de la journéeNombre de visiteur

1 a.

R ecopierle tableau suivant et le complét era vecla pr écisionpermise par le graphique ci-dessus.

Heure de la journée11 h12 h

Nombre de visiteurs attendus300350

b. Quel est le taux d" évolution,en pour centagearr ondià 0,1 %,du nombr ede visit eursa ttendus entre 11 heures et 12 heures? Solution:Le taux d"évolution du nombre de visiteurs attendus entre 11 heures et 12 heures est :

350300300

=50300 =16

16;7%2L orsquele nombr ede visit eursest supérieur ou égal à 300, un f ondmusical est di ffusé par les haut-

parleurs du parc. Un touriste aimerait faire la visite en profitant du fond musical. Quels horaires peut-on conseiller à ce touriste pour se rendre au parc d"attractions?

Solution:Le nombre de visiteurs est supérieur à 300 entre 11 h et 18 h, donc le visiteur, s"il veut

bénéficier d"un fond musical, doit venirentre 11 h et 18 h.3La courbe Cci-dessus est la représentation graphique sur l"intervalle [9; 21] de la fonctionfdéfinie

par f(x) =8x2+232x1282 a. Dét erminerles nombr esde visit eursa ttendusà 11 h et à 12 h. Solution:f(11) = 302donc le nombre de visiteurs attendus à 11 h est de302.

f(12) = 350donc le nombre de visiteurs attendus à 12 h est de350Comment peut-on expliquer les éventuels écarts avec les résultats de la question 1. a.?

Terminale STMG - 2014-20153/ 7

À rendre le avril 2015Devoir maison: Dérivation et fonction Solution:Une lecture graphique est imprécise, ce qui explique la petite erreur sur le nombre de visiteurs à 11 h.b.Calculer f0(x), oùf0désigne la fonction dérivée def.

Solution:On dérivef

f

0(x) =82x+232 =16x+232c.En déduire,parlecalcul,l"heureàlaquellelenombredevisiteursattendusestmaximal,etdonner

la valeur de ce maximum.

Solution:

f

0(x)>0, 16x+232>0

, 16x >232 ,x <23216On change le sens de l"inégalité car on a divisé par -16 ,x <14;5 Doncf0(x)est positif quandxest plus petit que 14,5.

On en déduit le tableau de variation def:t

Signe def0(t)Variations def(t)914.521 +0

158158400400

6262
Le maximum de visiteurs est atteint à 14 h 30 et est de 400 visiteurs.

Terminale STMG - 2014-20154/ 7

À rendre le avril 2015Devoir maison: Dérivation et fonction

Exercice 3Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre 6000 et

32000 pièces identiques. Le coût de fabrication, en euros, dexmilliers de pièces, pourxcompris entre6

et32, est notéC(x)oùCest la fonction définie sur l"intervalle [6; 32] par

C(x) = 2x3108x2+5060x4640:

La représentation graphique de la fonctionCest donnée en annexe. Toutes les pièces produites sont vendues au prix de 3,5el"unité.

Pour toutxappartenant à l"intervalle [6; 32], on noteR(x)le montant de la vente en euros dexmilliers

de pièces. Le bénéficeB(x), en euros, pour la production et la vente dexmilliers de pièces est

B(x) =R(x)C(x).1Montr erque, pour t outxappartenant à l"intervalle [6; 32] :R(x) = 3500x. Solution:Comme chaque pièce produites est vendue à 3,5eet quexest en miliers de pièces, on

en déduitR(x) = 3;51000x= 350x.2R eprésenterla f onctionRsur l"annexe, à remettre avec la copie.

Solution:En rouge sur l"annexe.3P arlectur egraphique, et a vecla pr écisionpermise par c elui-ci,r épondreaux questions suivant es.

On laissera apparents tous les tracés utiles aux lectures graphiques. a. Quel nombr ede pièc espr oduitescorr espondà un coût de 30000 e?

Solution:Un coût de 30000ecorrespond à 8 pièces produites.b.Quel nombr eminimal de pièc esfabriquées permet d" avoirun bénéfic epositif ou nul ?

Solution:Le bénéfice est nul quand les courbes rouges et bleu se rencontrent. Ici, elles se

rencontrent pour environ 18 pièces produites.4Montr erque, pour t outxappartenant à l"intervalle [6; 32] :

B(x) =2x3+108x21560x+4640:

Solution:Pour calculer les bénéfices on utilise la formuleBénéfices = Recettes - Coûtsdonc

B(x) =R(x)C(x) = 3500x2x3108x2+60x4640

= 3500x2x3+108x21560x+4640 =2x3+108x21560x+4640

On retrouve bien la formule proposée dans l"énnoncé.5On désigne par B0la fonction dérivée de la fonctionB.

a.

Calculer B0(x).

Solution:On dériveB

B

0(x) =23x31+1082x211560+0

=6x2+216x1560b.V érifierque B0(x) = (6x+60)(x26).

Terminale STMG - 2014-20155/ 7

À rendre le avril 2015Devoir maison: Dérivation et fonction Solution:Pour répondre à cette question, on va développer l"expression proposée dans la question. (6x+60)(x26) =6xx6x(26)+60x+60(26) =6x2+156x+60x+1560 =6x2+216x+1560 =B0(x)6a. Étudier le signe de B0(x)sur l"intervalle [6; 32]. Solution:CommeB0(x)est un polynômedu 2nd degré on utilisela méthode du discriminant : =b24ac= 21624(6)(1560) = 9216

Commeest positif, il y a deux racines

x 1=bp

2a=216p9216

2(6)= 26

x 2=b+p

2a=216+p9216

2(6)= 10

Commea=6négatif, on en déduit le tableau de signe deB0x Signe deB0(x)6102632 0+0 b. En déduir ele tableau de varia tionde la f onctionB sur l"int ervalle[6 ;32].

Solution:On déduit du tableau de signe trouvé à la question précédente le tableau de va-

riation deBx Signe deB0(x)Variations deB(x)6102632 0+0 -1264-1264 -2160-216019361936 -224-224 7

Quel est le bénéfic emaximal r éalisablepar l" entreprise?Donner le nombr ede pièc esà pr oduire

réalisant ce maximum.

Solution:D"après le tableur de variations, le bénéfice maximal est de 1936 qui est atteind pour

26 000 pièces vendues.Terminale STMG - 2014-20156/ 7

À rendre le avril 2015Devoir maison: Dérivation et fonction024681012141618202224262830320100002000030000400005000060000700008000090000100000110000

y=C(x)y=R(x)Terminale STMG - 2014-20157/ 7quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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