[PDF] fonctions derivation 1.3.4 dérivé

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Fonction dérivée

Table des matières

1 fonction dérivée

2

1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2

1.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3

1.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 5

1.3.1 nombre dérivé defenx=x0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 équation de la droite tangente à la courbe defenx=x0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.3 lien entre le signe def?(x)et les variations def. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.4 dérivées usuelles et opérations sur les fonctions . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 9

1.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 16

2 convexité d"une fonction

39

2.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 39

2.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 40

2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 41

2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 42

3 devoir maison43

4 corrigé devoir maison44

1

1 fonction dérivée

1.1 activité

Soitfune fonction définie et dérivable sur l"intervalle[-2 ; 5], décroissante sur chacun des intervalles

[-2 ; 0]et[2 ; 5]et croissante sur l"intervalle[0 ; 2]. On notef?sa fonction dérivée sur l"intervalle[-2 ; 5].

La courbe(Γ)représentative de la fonctionfest donnée en annexe dans le plan muni d"un repère orthogonal.

Elle passe par les points A(-2 ; 9), B(0; 4), C(1; 4,5), D(2; 5) et E(4; 0). En chacun des points B et D, la tangente la courbe(Γ)est parallèle à l"axe des abscisses.

On note F le point de coordonnées (3; 6).

Les droites (CF) et (EF) sont tangentes à la courbe(Γ)respectivement aux points C et E.

1. A l"aide des informations précédentes et de l"annexe 1, préciser :

a. les valeurs def(0),f(1),f(2),f(4). b. l"ensemble des solutions de l"équationf(x) = 0sur[-2 ; 5]. c. le signe def(x)suivant les valeurs du nombre réelxde l"intervalle[-2 ; 5].

d.f?(0),f?(1),f?(2),f?(4)et les équations des tangentes à(Γ)respectivement aux points C et E.

e. l"ensemble des solutions de l"équationf?(x) = 0sur[-2 ; 5]. f. le signe def?(x)suivant les valeurs du nombre réelxde l"intervalle[-2 ; 5]. g. le tableau de variation complet defsur[-2 ; 5]. h. Laquelle des courbesC1,C2ouC3suivantes peut-être la courbe de la fonctionf?? -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -161 2 3 4-1-2 C1x y -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -161 2 3 4-1-2 C2x y -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -161 2 3 4-1-2 C3x y

2. On considère maintenant quef(x) =-1

4x3+34x2+ 4

a. Calculerf?(x)et en déduire les variations defsur[-2 ; 5]. b. Y a t-il cohérence entre les résultats graphiques et algébriques?

Annexe 1

12345678

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -91 2 3 4 5-1-2 ??A B C D EF O xy

1.2 corrigé activité

1. A l"aide des informations précédentes et de l"annexe 1, ona :

a. f(0) = 4, f(1) = 4,5 ;f(2) = 5et f(4) = 0. b. l"ensemble des solutions de l"équationf(x) = 0sur[-2 ; 5]est

S = {4}.

c. Pour le signe def(x): f(x)>0pourx?[-2 ; 4[etf(x)<0pourx?[4 ; 5[ d.f?(0) = 0car la droite tangente à la courbe est horizontale enx= 0 f ?(1)= coefficient directeur de la tangente à la courbe en x = 1. f ?(1)= coefficient directeur "a" de la droite (CF),a=yF-yC xF-xC=6-4,53-1= 0,75. f ?(2) = 0car la droite tangente à la courbe est horizontale enx= 2. f ?(4)= coefficient directeur de la tangente à la courbe en x = 4. f ?(4)= coefficient directeur "a" de la droite (EF),a=yF-yE xF-xE=6-03-4=-6. Equations de la tangente à(Γ)en C :C"est l"équation de la droite(CF), la calculatrice donney= 0,75x+ 3,75 Equations de la tangente à(Γ)en E :C"est l"équation de la droite(EF), la calculatrice donney=-6x+ 24 e. l"ensemble des solutions de l"équationf?(x) = 0sur[-2 ; 5]estS ={0;2} f. le signe def?(x)suivant les valeurs du nombre réelxde l"intervalle[-2 ; 5]. x-2 0 2 5 f?(x)- 0 + 0 - g. le tableau de variation complet defsur[-2 ; 5]. x-20 25 f?(x)- 0 + 0 - 9 5 f(x)? ? ?

4 -8,5

h.SeuleC2peut-être la courbe de la fonctionf?car c"est la seule pour laquellef?(0) = 0etf?(2) = 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -161 2 3 4-1-2 C1x y -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -161 2 3 4-1-2 C2x y -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -161 2 3 4-1-2 C3x y

2. On considère maintenant quef(x) =-1

4x3+34x2+ 4

a.• f?(x) =-34x2+64x=-0,75x2+ 1,5x •Annulation def?:-0,75x2+1,5x= 0??x(-0,75x+1,5) = 0??x= 0oux=-1,5-0,75= 2 •variations defet signe def?(x) =-0,75x2+ 1,5x:on utilise la règle du signe du trinôme x-20 25 f?(x)- 0 + 0 - 9 5 f(x)? ? ?

4 -8,5

b.On constate qu"il y a cohérence entre les résultats graphiques et algébriques.

Annexe 1

12345678

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -91 2 3 4 5-1-2 ??A B CD EF O xy

1.3 à retenir1.3.1 nombre dérivé defenx=x0

définition 1 :(nombre dérivé) Soitfune fonction de courbeCfdéfinie sur un intervalleI

Soitx0?Iun nombre

Si la courbe defadmet une droite tangente(AB)non "verticale" au point d"abscissex=x0

Alors?????le nombre dérivé defenx0noté?

???f?(x0) est ???le coefficient directeur de la droite(AB)tangente à la courbe defenx0,???? f?(x0) =yB-yAxB-xA Remarques et exemple :(admis si non démontré) i. siCfadmet une droite non verticale tangente au point d"abscissex=x0on dit quefest "dérivable enx0" ii. on peut, par abus de langage, dire quef?(x0) est le"coefficient directeur de la courbe enx0" iii. Le coefficient directeur est nul??la tan- gente est parallèle à l"axe(ox) iv. ci contre : avecA(-1;3)etB(4;5) f ?(-2) =yB-yA xB-xA=5-34-(-1)=25= 0,4 1234

0 1 2 3 4-1-2-3-4-5

A B xC fy T 2,6M

1.3.2 équation de la droite tangente à la courbe defenx=x0

propriété 1 :(équation de la tangente) Soitfune fonction de courbeCfdéfinie sur un intervalleI, soitx0?Iun nombre

Si la fonctionfest dérivable enx0

alors la courbeCfdefadmet une droite tangenteTd"équation????y=f?(x0)(x-x0) +f(x0) Exemple :pour la droite(AB)ci dessus, tangente àCfenx0=-2 0=-2 f(x0) =f(-2) = 2,6 f ?(x0) =f?(-2) = 0,4 soit :y=f?(-2)(x-(-2)) +f(-2) donc :y= 0,4(x+ 2) + 2,6 donc :y= 0,4x+ 0,8 + 2,6 conclusiony= 0,4x+ 3,4

1.3.3 lien entre le signe def?(x)et les variations def

définition 2 :(fonction dérivable et fonction dérivée )

Soitfune fonction définie sur un intervalleI

(1)fest dérivable surI??quel que soitx0?I,fadmet un nombre dérivé enx0 (2) la fonction dérivée defest notéef?, elle associe à toutx?Ile nombref?(x) propriété 2:(signe def?et sens de variation def) Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI, de dérivéef? le sens de variation defest en lien avec le signe de la dérivéef? ???f est strictement croissante surI??f?(x)>0quel que soitx?I????f?strictement positive ???f est strictement décroissante surI??f?(x)<0quel que soitx?I????f?strictement négative ???f est constante surI??f?(x) = 0quel que soitx?I????f?nulle

Remarque :

•Ceci permet de trouver graphiquement le signe def?(x)en fonction de x.

•Ceci permet d"étudier les variations d"une fonctions à partir de l"étude du signe de sa dérivée.

Exemples

Pour la fonctionfreprésentée ci contre

on détermine graphiquement que : x-5 3 f?(x) f(x) f?(x) = 0?? f?(x)>0?? f?(x)<0?? 1234
-1 -2 -3 -4 -51 2 3 4-1-2-3-4-5xy Cf Soitgune fonction telle queg?=foùfest la fonction ci dessus. Donner le tableau de signes deg?ainsi que le tableau de variations deg x-5 3 g?(x) =f(x) g(x) corrigé exemple :

Pour la fonction f représentée ci contre

on détermine graphiquement que : x-5-1+3 f?(x)- 0 + ?3,5?3,5 f(x)? ? ? -4,5 f?(x) = 0??x? {1} f?(x)>0??x?]-1;3] f?(x)<0??x?[-5;-1[ 1234
-1 -2 -3 -4 -51 2 3 4-1-2-3-4-5xy Cf Soitgune fonction telle queg?=foùfest la fonction ci dessus. Donner le tableau de signes deg?ainsi que le tableau de variations de g x-5-4 2 3 g?(x) =f(x)+ 0 - 0 + g(x)? ? ? ? par manque de données surg

1.3.4 dérivées usuelles et opérations sur les fonctions

propriété 3:(dérivées usuelles)propriété 4:(dérivées et opérations sur les fonctions)

f(x)f?(x)validité sur a?R0R x1R ax(a?R)aR x22xR x33x2R xn(n?N?)nxn-1R 1 x -1 x2R? 1 x2 -2 x3R? 1 x3 -3 x4R? 1 xn(n?N?) -n xn+1R? ⎷x1

2⎷xR+?

exexR lnx1 xR+? uetvsont deux fonctions de dérivées respectivesu?etv? f(x)f?(x)validité sur au(a?R)au?oùuest définie u+vu?+v?oùuetvsont définies u-vu?-v?oùuetvsont définies un(n?N?)nun-1u?oùuest définie 1 u -u? u2oùuest définie etu?= 0 1 un(n?N?) -nu? un+1oùuest définie etu?= 0 uvu?v+uv?oùuetvsont définies u v u?v-uv? v2oùuetvsont définies etv?= 0 ⎷uu?

2⎷uoùuest définie etu≥0

euu?euR lnuu? uoùuest définie etu >0 (admis)

Remarque :

on peut calculer la dérivéef?d"une fonctionfpour en étudier le signe et déduire les variations def.

Exemples :

(a)f(x) = 4x3+ 5x2-10x+ 12 +1x-3x2-4⎷x f(x) = 4x3+ 5x2-10x+ 12 +1 x-3×1x2-4⎷x f ?(x) = 4×3x2+ 5×2x-10 + 0 +-1 x2-3×-2x3-4×12⎷x f ?(x) = 12x2+ 10x-10-1 x2+6x3-2⎷x (b)f(x) =x2-3x+ 6 x-1pourx?R\{1}

On reconnaît quefest de la formef=u

vdoncf?=u?v-uv?v2 avec :?u=x2-3x+ 6 =?u?= 2x-3 v=x-1 =?v?= 1 doncf?(x) =(2x-3)(x-1)-(x2-3x+ 6)×1 (x-1)2=x2-2x-3(x-1)2

1.4 exercices

exercice 1 : Soient les fonctionsfetgreprésentées ci dessous

1. donner les tableaux de variations complet def

et deg

2. résoudre graphiquement

(a)f(x) =g(x) (c)g(x)>-2 (d)f(x)≥0 1234
-1 -2 -3 -41 2 3 4 5-1-2xy Cg Cf Cf exercice 2 :

Soit la fonctionfreprésentée ci dessous.

Les tangentes à la courbe enE,A,BetCsont aussi représentées

12345678

-1 -2quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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