[PDF] Leçon 1-4 ensembles : appartenance inclusion

View - Download Leçon 1-4

Previous PDF

Next PDF

Ministère de l'Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle

Cours en ligne Niveau 4AS Probabilités 1/4 Page 1/7 Par Horma Ould Hamoud

République Islamique de Mauritanie

Ministère de l'Enseignement Secondaire

et de la Formation Technique et Professionnelle

Cours en ligne

Chapitre PROBABILITES

Leçon 1 / 4 Ensembles et dénombrement

Niveau 4AS

Savoirs faire

1) Se familiariser avec le vocabulaire et les opérations sur les

ensembles : appartenance, inclusion, union ; intersection et complémentaire...

2) Utiliser le diagramme de Venn pour représenter un ensemble et

certaines de ses parties.

3) Dénombrer en utilisant un diagramme de Venn.

4) Dénombrer en utilisant un diagramme de Carroll.

5) Etablir un tableau à double entrée pour dénombrer.

6) Etablir un arbre pour dénombrer.

Plan du cours

1) Activité d'introduction 2) Opérations sur les ensembles 3) Outils de dénombrement

a) Diagramme de Venn b) Diagramme de Carroll. c) Tableau à double entrée d) Arbres

4) Exercices d'application

Auteur Horma Hamoud

1) Activité d'introduction

Exercice

On donne le diagramme ci-contre

qui représente un ensemble E et deux parties A et B de E.

Ce diagramme est appelé

diagramme de Venn (diagrammes d'ensembles).

1) Compléter par le symbole: Î

pas à) :

0....A; 8....B; 3....A; 5....B; 4....A B; 5....A B; 6....A B; 6....A; 3....A BÇ È È Ç.

Ministère de l'Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle

Cours en ligne Niveau 4AS Probabilités 1/4 Page 2/7 Par Horma Ould Hamoud

2) Compléter par le symbole: Ì( est inclus dans ) ou Ë (n'est pas inclus dans) :

A....E; A....B; B....E; A....A B; B....A B; E....A B; A B....B ;A B....EÇ È È Ç È.

3) On exprime en extension l'ensemble E par la donnée de la liste explicite de ses éléments :

{}E 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 =. Exprimer en extension (par liste d'éléments) chacun des ensembles suivants :

A,B,A B,A B,A,B.Ç È

Solution

2) Complétons par le symbole: Ì( est inclus dans ) ou Ë (n'est pas inclus dans) :

A E; A B; B E; A A B; B A B; E A B; A B B ;A B EÌ Ë Ì Ë Ç Ì È Ë È Ç Ì È Ì

3) Par lecture du diagramme on voit que :

{}A 1,3,7,5,0 = {}B 0,2,4,5,7,9 = {}A B 0,5,7 Ç = ; (les éléments de Equi sont dans Aet dansB). {}A B 0,1,4,5,7,9,2,3 È = ; (les éléments de Equi sont dans Aou dansB). {}A 2,4,6,8,9 = ; ( les éléments de Equi ne sont pas dansA). {}B 1,3,6,8 =; ( les éléments de Equi ne sont pas dansB).

2) Opération sur les ensembles

Définitions

On considère un ensemble E et deux sous ensembles A et B de E.

L'intersection de Aet B est notée A B Ç. C'est l'ensemble formé par les éléments de Equi

sont dans Aet dansB :

L'union de Aet B est notée A B È. C'est l'ensemble formé par les éléments de Equi sont

dans Aou dansB. Le complémentaire de Adans E est noté A. C'est l'ensemble formé par les éléments de E qui ne sont pas dansA.

Propriétés algébriques

Soit E un ensemble donné et A , B et C des parties de E. On a les propriétés suivantes : 1) A B B AÈ = È et A B B AÇ = Ç : (Commutativité). 2)

A (B C) (A B) CÈ È = È È et A (B C) (A B) CÇ Ç = Ç Ç: (Associativité).

3) A AÈ F = et AÇ F = F où F est l'ensemble vide. 4) Si A est le complémentaire de Adans E, alors A A EÈ = et A AÇ = F. Ministère de l'Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle

Cours en ligne Niveau 4AS Probabilités 1/4 Page 3/7 Par Horma Ould Hamoud

Exemples

1) Représenter par un diagramme de Venn les ensembles suivants :

{}E a,b,c,d,e,f,g,h,i,j= {}A a,b,c,i=, {}B b, c, d, e= et {}C c,d,i,j=..

2) Exprimer en extension (par liste d'éléments) chacun des ensembles suivants :

A B,A B C,A C,A,CÇ Ç Ç È.

Solution

1) Diagramme de Venn :

2) Par lecture du diagramme, ou par

comparaison des listes d'éléments des ensembles, on a : {}A B b,cÇ = {}A B C cÇ Ç = {}A C a,b,c,d,i,jÈ = {}A d,e,f,g,h,j= {}C a,b,e,f,g,h=.

3) Outils de dénombrement

a) diagramme de Venn Un diagramme de Venn, est une figure qui utilise des cercles ou d'autres formes (courbes fermés) entrecroisées pour mettre en évidence un ensemble et certaines de ses parties. Il est utilisé aussi pour schématiser des situations de dénombrement.

Exemple

Parmi une promotion de 100 diplômés qui étaient à l'université il y a dix ans :

77 sont aujourd'hui salariés ; 35 sont pères de famille ; 27 sont salariés et pères de famille.

Quel est le nombre de diplômés qui ne sont ni salariés ni pères de famille ?

Solution :

Utilisons un diagramme de Venn pour dénombrer : Soit E l'ensemble des diplômés. On désigne par A l'ensemble des diplômés qui sont salariés et par B l'ensemble des diplômés qui sont pères de famille. Le premier nombre placé est 27 qui constitue le nombre d'éléments de

A BÇ

Ministère de l'Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle

Cours en ligne Niveau 4AS Probabilités 1/4 Page 4/7 Par Horma Ould Hamoud

On en déduit ensuite 50 = 77 - 27 et 8 = 35 -27

La somme de ces trois nombres (27 + 50 + 8 = 85)

constitue le nombre d'éléments de

A BÈ.

On en déduit enfin que le nombre de diplômés qui ne sont ni salariés ni pères de familles est 100-85 =15. b) diagramme de Carroll

Un diagramme de Carroll est un tableau à double entrée dans lequel les éléments (ou

effectifs, ou fréquences) d'un ensemble sont classés selon deux critères (l'un en ligne, l'autre

en colonne) de façon à mettre en évidence les sous-ensembles qui constituent ces critères.

A

A Total

B B Total

Exemple

On considère les données de l'exemple précédent : Parmi une promotion de 100 diplômés qui étaient à l'université il y a dix ans :

77 sont aujourd'hui salariés ; 35 sont pères de famille ; 27 sont salariés et pères de famille.

En utilisant un tableau représentant ces données, répondre aux questions suivantes :

1) Quel est le nombre de diplômés qui sont aujourd'hui des pères de famille et non salariés ?

2) Quel est le nombre de diplômés qui sont salariés et non pères de famille ?

3) Quel est le nombre de diplômés qui ne sont ni salariés ni pères de famille ?

Solution

Utilisons un diagramme de Carroll pour dénombrer : 1

ère étape :

Commençons par le tableau suivant dans lequel on place les données de l'exercice en utilisant la notation : A pour salarié et B pour père de famille.

A(salarié)

A(non salarié) Total

B (père de famille) 27 35

B (non père de famille)

Total 77 100

2ème étape :

Complétons le tableau précédent en effectuant les opérations suivantes :

A(salariée)

A(non salariée) Total

B (père de famille) 27 35-27=8 35

B (non père de famille) 77-27=50 100-35=65

Total 77 100-77=23 100

Ministère de l'Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle

Cours en ligne Niveau 4AS Probabilités 1/4 Page 5/7 Par Horma Ould Hamoud

3ème étape :

Enfin, Complétons le tableau en remplissant la dernière cellule. Deux calculs sont possibles : horizontalement : 65-50=15 ou verticalement 23-8=15 et ils donnent le même résultat 15.

A(salarié)

A(non salarié) Total

B (père de famille) 27 8 35

B (non père de famille) 50 15 65

Total 77 23 100

On peut alors, par lecture directe du tableau, dir que :

1) Le nombre de diplômés qui sont des pères de famille et non salariés est 8. (l'intersection

de B et A).

2) Le nombre de diplômés qui sont salariés et non pères de famille est 50 (l'intersection de A

et B)

3) Le nombre de diplômés qui ne sont ni salariés ni pères de famille est 15 (l'intersection de

A et B).

c) Tableau à double entrée Un tableau à double entrée permet de traiter deux grandeurs de manière simultanée : une indiquée en ligne et l'autre en colonne. Ce tableau permet de compter les cases vérifiant une certaine propriété.

Exemple :

On lance successivement deux dés à 6 faces numérotés de 1 à 6.

1) Combien y a-t-il d'issues (résultats possibles) ?

2) Combien y a-t-il de cas où la somme des nombres inscrits sur les faces supérieures est

supérieure ou égale à 10 ?

Solution

Pour dénombrer, représentons la situation par un tableau à double entrée :

1 2 3 4 5 6

1 (1 ;1) (1 ;2) (1 ;3) (1 ;4) (1 ;5) (1 ;6)

2 (2 ;1) (2 ;2) (2 ;3) (2 ;4) (2 ;5) (2 ;6)

3 (3 ;1) (3 ;2) (3 ;3) (3 ;4) (3 ;5) (3 ;6)

4 (4 ;1) (4 ;2) (4 ;3) (4 ;4) (4 ;5) (4 ;6)

5 (5 ;1) (5 ;2) (5 ;3) (5 ;4) (5 ;5) (5 ;6)

6 (6 ;1) (6 ;2) (6 ;3) (6 ;4) (6 ;5) (6 ;6)

1) On constate alors qu' il y a

6x6 = 36 résultats possibles.

2) Il ya 6 cas où la somme des nombres inscrits sur les faces supérieures est supérieure ou

égale à 10 : (4,6) ;(5,5) ;(5,6) ;(6,4) ; (6,5) et (6,6). Ministère de l'Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle

Cours en ligne Niveau 4AS Probabilités 1/4 Page 6/7 Par Horma Ould Hamoud

d) Arbres Un arbre est une représentation graphique qui permet de dénombrer des choix d'éléments pris dans un certain ordre : · Au premier niveau, une première série de branches indique les choix d'un premier

élément ;

· Au deuxième niveau, une autre série de branches indique les choix d'un deuxième

élément ;

· etc.

· Pour dénombrer tous les choix, il suffit de compter les branches au bout de l'arbre.

Exemple :

Combien de nombre supérieur ou égal à 10 que l'on peut former en utilisant seulement deux chiffres qui sont inférieurs ou égaux à 4 ?

Solution :

Le nombre étant supérieur ou égal à 10. Alors on a 4 choix pour le chiffre des dizaines : 1 ;2 ;3 et 4 ( le chiffre 0 est exclu). Une fois le chiffre des dizaines choisie, on peut choisir le chiffre des unités de 5 façons différentes: 0 ; 1 ;2 ;3 et 4.

On peut alors poursuivre l'arbre sous la forme :

Chacun des "chemins" choisis

correspond à un des nombres possibles.

Le chemin apparaissant en

rouge gras correspond au nombre 32.

Le premier chemin correspond

au nombre 10.

Le dernier chemin correspond

au nombre 44.

On peut alors compter le

nombre de chemins qui est

égal à 20.

Ce nombre correspond à

4 5´.

1 0 1 2 3 4 2 0 1 2 3 4 3 0 1 2 3 4 4 0 1 2 3 4 1 2 3 4 Ministère de l'Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle

Cours en ligne Niveau 4AS Probabilités 1/4 Page 7/7 Par Horma Ould Hamoud

4) Exercices d'application

Exercice 1

On considère l'ensemble

{}E 10;15;89;16;88;55;25;45;32;11;4;17;65;78;91;81=.

A et B deux parties de E tels que :

L'ensemble A est formé par tous les nombres pairs de E. L'ensemble B est formé par tous les nombres de E qui sont supérieurs à 50.

1) Représenter les ensembles E, A et B par un diagramme de Venn.

2) Etablir un diagramme de Carroll pour dénombrer toutes les possibilités des éléments de E

suivant les deux critères (A et B).

Exercice 2

Le tableau ci-dessous représente les résultats d'une classe de 20 élèves en mathématiques et

en arabe (le signe x signifie que l'élève est admis): N° de l'élève 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Admis en arabe x x x x x x x x x x x x Admis en maths x x x x x x x x x x x x x Représenter les données de ce tableau dans le diagramme de Venn puis répondre aux questions suivantes :

1) Quel est le nombre d'élèves admis en arabe et en mathématiques ?

2) Quel est le nombre d'élèves admis en arabe et pas en mathématiques ?

3) Quel est le nombre d'élèves qui ne sont admis ni en arabe ni en mathématiques ?

4) Etablir un diagramme de Carroll pour contrôler le dénombrement précédent.

Exercice 3

Etablir un tableau à double entrée pour dénombrer tous les nombres supérieurs ou égal à 10

que l'on peut former en utilisant seulement deux chiffres qui sont inférieurs ou égaux à 4.

Exercice 4

On considère le mot MATH. On forme des " mots » (ayant un sens en français ou non) de

trois lettres, à partir des lettres du mot MATH sans répétition. C'es à dire que chaque lettre

intervient au plus une fois dans un même " mot ».

1) Etablir un arbre pour dénombrer toutes les issues possibles.

2) Etablir un autre arbre pour répondre à la question :

Combien peut-on former de " mots » de trois lettres ne commençant pas par une voyelle ?quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] diagramme de venne alloprof

[PDF] diagramme de venn définition

[PDF] diagramme de venn seconde cours

[PDF] interro seconde proba

[PDF] diagramme de venn cours

[PDF] différence entre diagramme en baton et diagramme en barre

[PDF] histogramme en barre

[PDF] histogramme en baton

[PDF] diagramme intégral

[PDF] tuyaux d'orgue maths

[PDF] construire un diagramme en tuyau d'orgue

[PDF] diagramme en secteur

[PDF] diagramme en tuyaux d'orgue

[PDF] exercice statistique corrigé pdf

[PDF] dossier technique aspirateur robot