[PDF] Sur une classe de problèmes de dénombrement liés au treillis des

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CAHIERS DUBUROGERMAINKREWERAS

liésautreillisdespartitionsdesentiers Cahiers du Bureau universitaire de recherche opérationnelle.

Série Recherche, tome 6 (1965), p. 9-107

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AVANT-PROPOS

L'idé

e initiale du présent travail provient d'un type de problè me s qui se rencontre assez fréquemment en économie et dans la théori e de la décision. U n ensembl e fin i E (de situations économiques, de candidats à un examen, de villes, etc. ) peut être apprécié selon plusieurs critères , et l"absence d"opposition entre ces critères définit sur E un e relatio n qui est un ordre partiel. Or il appartient souvent à l'autorité (planificatrice, universitaire, implantatrice, etc. ) de fixer su r E un ordre total qui soit compatible avec cet ordre partiel. D'o ù la question concrète de savoir de combien de manières cela es t possibl e : la réponse permet, si l'on veut, de donner un sens à la notion de "degré d'intervention" de l'autorité concernée par la fixatio n de l'ordre total. E n langag e mathématique , une forme stylisée de la question es t la suivante : étant donné le produit cartésien de n ensembles fini s totalement ordonnés, de cardinaux p , . . . , p , sur les (p . . . pn) ! ordre s totau x possible s combie n sont-il s compatible s ave c l'ordr e partie l "naturel" ? Ayan t rapidement soupçonné le problème de soulever, lorsqu"on l e pose dans sa généralité, des difficultés sérieuses, nous avons d"abor d limit notr e intérêt au cas particulier où n = 2. Ce cas, qu i fai t l"obje t de nos chapitres 1 et 2, est commun à notre pro blèm e et à un problème plus général, rencontré et résolu par A. Youn g [13] à propos de l"étude de la réduction du groupe symétrique Sn : celui du dénombrement des "tableaux standard" de forme donnée , chaqu e "forme " étant caractérisée par une partition de l'entier m. I l nou s est apparu que ce problème trouvait dans la structure de treillis (distributif) de l'ensemble T des partitions d'entiers une formulatio n et des méthodes de résolution assez naturelles ; en outre l e treillis T s'introduit en quelque sorte "de lui-même" lorsque l'on 10

étudi

e l a fonction de deux suites d'entiers que nous nommons "anti- factorielle" . Nous avons pu, par cette démarche, non seulement re trouve r le s résultats de Young, mais les étendre sur un point im portan t (introduisan t simultanémen t le s partition s d e deu x entier s m ' et m), et les situer dans un ensemble de propriétés dont quelques- une s s'appliquen t e n statistiqu e non-paramétriqu e (constructio n d e loi s de distribution finies régissant les comparaisons d'échantillons). L e chapitre 1 a donc un caractère introductif. On y établit , pa r de s procédé s

élémentaires

le s propriété s d"un e class e d e dé terminant s qui jouent un rôle d"outil de démonstration privilégié pour le s propriétés présentées ultérieurement. O n part de l"idée triviale que z~T (antifactorielle de z) est un e manièr e commode d"écrire (z 1 )-1 et qu'il est naturel d'éten dr e l'écritur e z~~ z (E Z, ensemble des entiers rationnels, par l a conventio n z 0 > z~~? = 0. (La propriété de la fonction Y d'une variabl e complexe de n'avoir pas de zéros est une justification sup plémentaire no n mentionné e dan s l e texte) O n étend ensuite la signification du symbole "antifactorielle" à Y , Y" ! , où Y et Y" appartiennent tous deux à Y, ensemble des sui te s illimitée s d'entier s d e Z don t u n nombr e fin i seulemen t son t no n nul s

Y = (yx y2... yr..)

Y " = (y; y;... y;...).

Forman

t le tableau illimit e n lign e i e t colonne j, des nom bre s y - y! - i + j 1 , on montre que la restriction de ce tableau carr au x n première s ligne s e t colonne s engendr e u n déterminan t don t la valeur se stabilise pour n assez grand : c"est cette valeur qu i défini t Y Y U n Y de Y pour lequel les entiers y - i sont tous distincts es t appel é régulier. Pour que Y, Y' ! ^ 0 il est nécessaire (mais no n suffisant) que le niveau (somme des termes non nuls) de Y' soit a u moins

éga

l 0 e t a u plu s a u nivea u d e Y e t qu e Y e t Y soien t tou s deu x réguliers Un e relation "antécédent-conséquent" est en outre définie a ) dans Y, par le fait que deux suites ne diffèrent que par ur terme e t pou r c e term e pa r un e unité 11 b ) dans la partie régulière YR de Y, par restriction à YR. O n établit ensuite deux relations fondamentales entre les quatre somme s d'antifactorielles que l'on obtient à partir de Y~, Y' ! si l'o n remplace Y ou Y', supposés dans YR, par leurs antécédents ou conséquent s dans YR. O n montre enfin que l'existence de chaînes finies d'antécédents o u conséquents "partitionne" YR en une infinité de treillis distributifs tou s isomorphe s u n mêm equotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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