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Cours de mathématiques – Seconde
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• Il y a de multiples écritures de a sous la forme bq+r: par exemple pour a=103 et b=13 on a 103=13×7+12=13×6+25=13×5+38 etc Mais seule la première égalité est la relation de division euclidienne car 0?12
Cours de mathématiques - Terminale
scientifique (enseignement de spécialité)Chapitre 0 - Raisonnements.................................................................................................................2
I - Le raisonnement par l'absurde....................................................................................................2
II - Le raisonnement par récurrence................................................................................................3
a) Multiples et diviseurs d'un nombre entier relatif....................................................................4
b) Propriétés de la division dans l'ensemble des entiers relatifs.................................................4
II - Division euclidienne..................................................................................................................5
III - Congruences dans
Chapitre 2 - Théorèmes de Bézout et de Gauss...................................................................................8
I - PGCD de deux entiers relatifs....................................................................................................8
a) Définition et propriétés de réduction......................................................................................8
b) L'algorithme d'Euclide............................................................................................................9
c) Autres propriétés du PGCD de deux entiers.........................................................................10
II - Théorème de Bézout et théorème de Gauss............................................................................11
Chapitre 3 - Nombres premiers..........................................................................................................13
I - Nombres premiers....................................................................................................................13
II - Décomposition en facteurs premiers.......................................................................................15
a) Existence et unicité d'une décomposition.............................................................................15
b) Diviseurs d'un entier naturel supérieur ou égal à 2...............................................................16
Chapitre 4 - Matrices.........................................................................................................................17
I - Nature d'une matrice et vocabulaire.........................................................................................17
a) Définitions.............................................................................................................................17
b) Écriture générale d'une matrice............................................................................................17
c) Matrices particulières............................................................................................................18
II - Opérations sur les matrices.....................................................................................................18
a) Addition et multiplication par un réel...................................................................................18
b) Multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne................................................19
c) Multiplication de deux matrices............................................................................................19
d) Puissances entières positives de matrices.............................................................................20
III - Matrices inversibles et application aux systèmes..................................................................21
a) Matrices inversibles..............................................................................................................21
b) Matrices inversibles d'ordre 2...............................................................................................21
c) Application aux systèmes linéaires.......................................................................................22
Chapitre 5 - Suites de matrices..........................................................................................................23
I - Puissances d'une matrice..........................................................................................................23
a) Cas des matrices diagonales..................................................................................................23
b) Cas des matrices triangulaires..............................................................................................23
II - Diagonalisation d'une matrice carrée d'ordre 2.......................................................................24
III - Exemple de marche aléatoire (chaine de Markov)................................................................25
IV - Suites de matrices colonnesUn+1=AUn+B.........................................................................27
a) Expression du terme général.................................................................................................27
b) Limite d'une suite de matrices..............................................................................................27
Cours de mathématiques - Terminale scientifique (enseignement de spécialité) : 1/27Chapitre 0 - Raisonnements
I - Le raisonnement par l'absurde
Principe : Le raisonnement par l'absurde consiste à démontrer qu'une proposition est vraie en
supposant qu'elle est fausse, puis, en utilisant des raisonnements corrects, à aboutir à une absurdité
logique. Comme les raisonnements sont rigoureux, la seule erreur est l'hypothèse de départ. s'écrire sous forme d'une fraction de nombres entiers.Supposons que
Il existe donc p∈ℕ* et q∈ℕ* tels que q est irréductible.On a alors 2=p2
q2⇒2q2=p2 (1)On en déduit que p est un nombre pair (s'il était impair, p2 serait impair...) donc il existe p'∈ℕ
tel que p=2p'. On a donc p2=4p'2. En remplaçant dans (1), on obtient 2q2=4p'2⇒q2=2p'2 (2) On en déduit là-encore que q est pair, il existe donc q'∈ℕ tel que q=2q'.On en déduit que
q=2p'2q'=p'
q'. Finalement on peut simplifier la fraction par 2, ce qui est absurde puisque p q est irréductible.Conclusion : L'hypothèse
Exercice 1 : Sur une île, il y a deux types d'habitants. Les menteurs qui mentent toujours et les honnêtes qui disent toujours la vérité.Un homme dit : " Je suis un menteur »
Démontrer par l'absurde que cet homme n'est pas un habitant de l'île. Exercice 2 : Démontrer par l'absurde la proposition suivante :Pour tous réels a>0 et
Chapitre 0 - Raisonnements : 2/27
II - Le raisonnement par récurrence
Principe : Le raisonnement par récurrence s'utilise pour démontrer une propriété vraie pour tout
entier n⩾n0 avec n0∈ℕ - c'est-à-dire que la propriété est vraie à partir du rang n0∈ℕ.
Il comporte deux étapes :
•Initialisation : On démontrer que la propriété est vraie au premier rang n0.•Hérédité : On démontre que si la propriété est vraie au rang n, alors elle est vraie au rang
suivant n+1. Cela permet de vérifier que la propriété est vraie pour tout n⩾n0 : •Elle est vraie pour n0 grâce à l'initialisation.•Comme elle est vraie pour n0, l'hérédité assure qu'elle est vraie au rang suivant n0+1.
•Comme elle est vraie pour n0+1, l'hérédité assure qu'elle est vraie au rang suivant n0+2.
•Et ainsi de suite...Illustration : Ce type de démonstration peut être illustré par une suite de dominos : on fait tomber un
domino - l'initialisation - et comme la chute d'un domino entraine la chute du domino suivant - l'hérédité - alors tous les dominos seront tombés à la fin. Exemple : On a vu en classe de première que pour tout n∈ℕ, 0+1+2+...+n=n(n+1)2, ce qui se
note ∑k=0n k=n(n+1)2. Démontrons cette propriété par récurrence.
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