[PDF] Examen dalgèbre du 18 juin 2012 durée : 4h Questions de cours

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25????A?

S ?? ??????? ???Card(S+) =Card(S)? ?? ??? ????Card(G)? ??????f??R3???? ?? ??????? ???? ?? ????(e1;e2;e3)??? M=0 @2 1 1 1 5 4 1321
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A ?? ??????? ???Stab(d1) =F1[C1? ?? ??????? ???jF1j=jC1j? d 2? ????S3? ??? ??????? ???G=H[sH? ??? ??????? ??? ???? ????g2G?? ???? ????v2P?? ?gsg1(v) =v? ??? ?? ??????? ??? ???? ????g2G?? ?gs=sg? i=0aiXi??????? ?? i=0a iXi? ??? ???? ??? ?? ????? ??f? ??? ????P=Pd Z[X]?

P???????P(p5)?

P(ei3 ??C[X]? ??Z[X]? ??? ???? ??? ?? ????? ??g? (P(p5);P(ei3

Universite Joseph Fourier L3 - Parcours B

Annee universitaire 2011/2012

EXAMEN GGMAT35c

19 juin 2012

Documents, calculatrices et telephones portables interdits. Dans la notation, il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justications.

Duree : 4h

Exercice 1(Questions de cours) (4 points)

1. Soitk:kune norme surRn; n1. Montrer que la normek:k1est plus ne que la norme

k:k:

9C >0;8u2Rnkuk Ckuk1:

2. (a) Caracteriser une partie fermee d'un espace vectoriel norme a l'aide des suites.

(b) Montrer que dans un espace vectoriel norme toute partie compacte est bornee et fermee.

3. Enoncer le theoreme de Riesz sur la compacite de la boule unite fermee.

4. Enoncer le theoreme du point xe.

Exercice 2(3 points)

On considereR2muni de la metrique euclidienne. On denit :

A=f(x;y)2R2;jxj yx2g:

Determiner siAest ouvert, ferme, compact, connexe par arcs. Decrire l'interieur deAodeA.

Justier vos reponses.

Exercice 3(4 points)

Soitf:R!Rune fonction continue. On rappelle que le graphe defest l'ensemble f= f(x;y)2R2;y=f(x)gmuni de la topologie induite par la topologie usuelle deR2.

1. Montrer que

fest connexe par arcs.

2. Montrer quefa un point xe si et seulement si frencontre la bisectrice =f(x;x)2

R 2g.

3. Expliciter (en justiant) les composantes connexes par arcs deR2n.

4. Montrer que sifn'a pas de point xe, alors l'applicationidRf:R!Rest de signe

constant. En deduire qu'une application continue bornee deRdansRa des points xes.

T.S.V.P.

1

Exercice 4(3 points)

SoitEl'espace vectoriel des fonctions polynomiales deRdansR. Pour toutP2E, on pose kPk1= sup t2[0;1]jP(t)j;kPk2= sup t2R(ejtjjP(t)j)

1. Montrer quek:k1etk:k2sont des normes surE.

2. Montrer qu'il existeC >0 tel que pour toutP2E;kPk1CkPk2:

3. Soitn0 un entier. CalculerkPk1etkPk2pourP(t) =tn. En deduire que les deux

normesk:k1etk:k2ne sont pas equivalentes.

Exercice 5(6 points)

On munit l'espaceE=C([0;1];R) des fonctions reelles continues sur l'intervalle [0;1] de la normekfk1= supx2[0;1]jf(x)j. On noteFle sous-espace vectoriel deEdes fonctionsf2E qui sont derivables et a derivee continue sur [0;1].

1. Montrer que la forme lineaireL:F!RdeFdenie parL(f) =f0(1=2) n'est pas continue

pour la topologie de la normek:k1surF. (Indication : on pourra considerer la suite de fonctionsfn:x7!sin(2nx)).

2. On considere la suite (fn)n2Nde fonctions deEdenie parfn(x) =q(x1=2)2+1n

2. Montrer que cette suite converge dansEvers une fonction que l'on determinera.

3. Montrer queFn'est pas complet pour la normek:k1.

4. On munitFde la normekfk=kfk1+kf0k1. Montrer queFest un espace de Banach

pour cette norme.

5. Soiti: (F;k:k)!(F;k:k1) l'application identique denie pari(f) =f. Montrer quei

est continue et calculer sa norme triple. Montrer que l'inverse dei: (F;k:k1)!(F;k:k) n'est pas continue. 2

Universite Joseph Fourier L3 - Parcours B

Annee universitaire 2011/2012

EXAMEN GGMAT35c

4 janvier 2012

Documents, calculatrices et telephones portables interdits. Dans la notation, il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justications.

Duree : 4h

Exercice 1(Questions de cours)

1. Rappeler la denition d'un ensemble convexe d'un espace vectoriel norme. Montrer que

tout ensemble convexe est connexe par arcs.

2. Montrer que dans un espace vectoriel norme de dimension nie toute partie bornee et

fermee est compacte.

3. (a) Citer le theoreme de Stone-Weierstrass.

(b) Montrer en utilisant le theoreme de Stone-Weierstrass que toute fonctionf2C([0;1];R) est limite uniforme de fonctions polynomiales.

4. Soit (E;k:k) un espace vectoriel norme. Montrer que toute suite de Cauchy d'elements

deE, qui admet une valeur d'adherence, converge. En deduire que toute partie compacte d'un espace vectoriel norme est complete.

Exercice 2

On prendra soin de justier toute armation le plus soigneusement possible.

Soit (E;k:k) un espace vectoriel norme.

1. SoientAetBdeux parties deE. Montrer que

(A\B)o=Ao\Bo;A\BA\B: Donner un exemple d'un espace vectoriel normeEet de deux partiesAetBdeEtelles queA\B6=A\B.

2. SoitE=R2muni de la norme euclidiennek:k2. On s'interesse dans cette partie a

l'ensemble

A:=B((0;0);1)\B((1;0);1):

Dans cette partie on pourra utiliser les resultats du cours sur l'interieur de la boule fermee etc. (a) La partieAest elle ouverte, fermee ? Justier la reponse. (b) Decrire l'adherence

Aet l'interieurAodeA. Justier la reponse.

(c) Est-ce queAest convexe, connexe par arcs ? Justier la reponse.

T.S.V.P.

1

Exercice 3

SoitE=C([1;1];R) muni de la norme

kfk1= maxx2[1;1]jf(x)j: Pour une fonction continuep: [1;1]!Ron noteNp(f) =kpfk1.

1. Soitp1(x) := 1 +jxj. Montrer queNp1(:) denit une norme surEqui est equivalente a la

normek:k1.

2. Soitp2(x) =x:

(a) Montrer queNp2(:) denit une norme surE. (b) Montrer quek:k1est plus ne queNp2(:) :

9 >0;8f2E; Np2(f)kfk1:

(c) Pourn2Non denitfn2C([1;1];R) par f n(x) =1(n+ 1)jxj jxj 1n+1;

0jxj>1n+1:

Montrer queNp2(fn)1n+1.

(d) En deduire que les normesNp2etk:k1ne sont pas equivalentes.

3. On denit

p

3(x) =0x0;

x x >0:

Montrer queNp3(:) ne denit pas une norme surE.

Exercice 4

SoitR[X] l'espace vectoriel des polyn^omes a coecients reels. PourP=Pn i=0aiXi2R[X] on posekPk= maxi2f0;:::;ngjaij.

1. Montrer quek:kdenit une norme.

2. On considere l'application

L:(R[X];k:k)!(R[X];k:k)

P7!P0 ouP0designe la derivee deP. (a) Montrer queLest lineaire. (b) CalculerkL(Xn)kpour tous les mon^omesXn; n2N. En deduire queLn'est pas continue. (c) SoitR[X]nle sous-espace vectoriel de polyn^omes de degre inferieur ou egal an. Montrer queLenvoieR[X]ndans lui-m^eme. Montrer queLjR[X]nest continue et calculer sa norme triple. (d) Est-ce qu'il existe une application lineaireT:R[X]n!R[X]nqui n'est pas continue ? 2

Exercice 5

SoitEun espace vectoriel norme etXune partie compacte de E. Soitf:X!Xune application expansive :

8x;y2X;kf(x)f(y)k kxyk:(1)

On posefn=f:::f(nfois) pourn2N,f0=idX.

1. Soientx;y2X.

(a) Montrer qu'il existe une application':N!Nstrictement croissante telle que (f'(n)(x))n2Net (f'(n)(y))n2Nsoient convergentes. (b) En iterant (1) montrer que pour toutn;p2Non a kxfp(x)k kf'(n)(x)f'(n)+p(x)k: (c) En utilisant le fait que (f'(n)(x))n2Net (f'(n)(y))n2Nsoient de Cauchy et en choisis- santpde facon appropriee, deduire que

8" >0;9p2N;kxfp(x)k "etkyfp(y)k ":(2)

(d) Montrer quefest une isometrie deXdansX:

8x;y2X;kf(x)f(y)k=kxyk:

et en deduire quefest continue.

2. (a) Deduire de (2) que pour toutx2Xon ad(x;f(X)) = 0:

(b) Montrer quef(X) est compact. En deduire quef(X) est un ferme. Deduire ensuite de 2. (a) quefest surjective. 3

Université Joseph Fourier (Grenoble 1) UFR IM

2AG L3 de Mathématiques, Calcul Intégral B (MAT 366)

Examen du 15 mai 2012, 9h-12h(13h)

Les documents, téléphones portables, ordinateurs et calculatrices sont interdits.

Sauf pour la question de cours qui restera sur 5 points, le barème approximatif pourra être modifié

à la lecture des copies. Les poids respectifs des exercices 2, 3 et 4 seront néanmoins respectés.

On rappelle que l"application d"un théorème du cours nécessite la vérification de ses hypothèses,

ce qui sera systématiquement évalué ici. De manière générale, ce sera le cas pour toutes les étapes

des raisonnements effectués.

Exercice 1(Question de cours, 5 pts)

Soitfune fonction continue par morceaux sur un intervalle[a;b](a < b) et'la fonction définie sur[a;b]par'(x) =Z x a f(t)dt. Sous quelle(s) hypothèse(s) peut-on dire que'est continue,

respectivement dérivable, en un point donnéx02]a;b[? Donner des démonstrations soignées des

deux résultats. Exercice 2(Calcul de l"intégrale de Gauss, 7 pts)

1. Montrer queJ=Z

+1 0 et2dtetK=Z +1 0e tpt dtsont deux nombres réels bien définis et exprimer simplement l"un en fonction de l"autre. 2. a. Pourn2N, on donne la fonctionFnparFn(x) =Z n 0e xt21 +t2dt. Montrer que ces fonctions sont définies et continues sur[0;+1[.

b. En déduire,sans utiliserle théorème de continuité sous le signe somme, qu"il en est de

même pour la fonctionFdonnée parF(x) =Z +1 0e xt21 +t2dt.

3. Montrer queFest de classeC1sur]0;+1[,en utilisantle théorème de dérivabilité sous

le signe somme conséquence du théorème de convergence dominée. (On pourra considérer des

intervalles]a;+1[,a >0.)

4. Montrer quelimn!+1;n2NF(n) = 0et en déduirelimx!+1F(x).

5. Montrer que :8x >0;F0(x)F(x) =Jpx

6. À l"aide des deux questions précédentes, montrer que :8x >0;F(x) =JexR+1

xetpt dt.

7. En déduire les valeurs deJetK.

Exercice 3(9 pts) On cherche ici à calculer, pourn2N,In=Z 2 0 Z1 cos(1 +2)nd d.

1. CalculerI0.

2. On considère ici le casn2.

a. On pose, pourm1,Jm=Z 2

0d(1 + cos

2)m.

Montrer que pourn2,In=12n2

J n12 n b. En utilisant les règles de Bioche, montrer que pourm1,Jm=Z +1

0(1 +t2)m1(2 +t2)mdt.

Pourquoi ces dernières intégrales sont-elles convergentes? c. On pose, pourm1,Km=Z +1

0dt(2 +t2)m. Justifier la convergence de ces intégrales et

montrer que pourm1,Km+1=2m14mKm(on pourra intégrer par parties). d. CalculerK1et en déduire que pourm1,Km=(2m2)!8 m1((m1)!)22 p2 e. Montrer que pourm1,Jm=m1X k=0 m1 k (1)kKk+1et calculer les valeurs deI2,I3 etI4.

3. On traite ici le casn= 1.

a. ExprimerI1en fonction deL=Z 2

0ln(1 + cos2)d.

b. Montrer que la fonctionGdéfinie parG(t) =Z 2

0ln(1 +tcos2)dest de classeC1sur

]1;+1[et exprimer sa dérivée sous forme intégrale. c. Montrer que pourt2]1;+1[,G0(t) =Z +1

0du(1 +u2)(1 +t+u2).

d. Décomposer, pourt2]1;+1[fixé, la fraction rationnelle1(1 +X)((1 +t) +X)en

éléments simples et en déduire que

8t2]1;+1[; G0(t) =(p1 +t1)2tp1 +t:

e. En déduire une formule pour G ainsi que la valeur deI1.

Exercice 4(4 pts)

DansR2muni de sa structure euclidienne usuelle, on considère l"ensembleA=f(x;y)2 R

2;jxj x2+y21g.

1. Caractériser et dessiner l"ensembleD=f(x;y)2R2;x2+y2 xg, puis donner son aire

sans calcul.

2. Caractériser et dessinerAet donner son aire sans calcul d"intégrale.

3. Exprimer, pourn2N,ZZ

Adxdy(1 +x2+y2)nen fonction des intégrales de l"exercice précédent.

Remarquer qu"on retrouve ainsi l"aire deA.

2

Calcul dierentiel

Licence 3 (parcours B) Universite Joseph Fourier, Mai 2012

Pas de document autorise

Examen, 3 heures

Exercice 1[6 points]

On considere un parametrea >0, et on posef:(

(R+)2!R (x;y)7!x2+y2+axy

1. Calculer la dierentielle defen tout point de (R+)2.

2. Determiner les points critiques defdans (R+)2.

3. Etudier les extrema locaux defsur ce domaine.

4. Etudier les extrema globaux def. Est-ce quefest majoree?

5. Determiner le maximum defsurH=f(x;y)2(R+)2; xy= 1g.

Exercice 2[10 points]

SoitU=R2n f(0;0)get':8

:U!R2 (x;y)7!yx 2+y2 ;xx 2+y2

1. Calculer la norme euclidienne de'(x;y) en fonction de celle de (x;y).

2. Determiner l'image de'.

3. Calculer la dierentielle de'en chaque point.

4. (a) Montrer qu'autour de tout point deU,'est un dieomorphisme local.

(b) Montrer que'est un dieomorphisme global sur son image. Quel est le dieomorphisme reciproque?

5. Soitf:R2!R. On poseg=f'

(a) Calculer la dierentielle degen fonction des derivees partielles def. (b) Montrer quegest constante si et seulement sifest constante.

6. On se demande s'il existeF:U!Rtelle quedF='; elucider cela est le but des

questions suivantes. (a) Justier que l'on puisse identierL(R2;R) avecR2, et qu'ainsi la question de l'exis- tence deFa un sens. 1 (b) Si une telle fonctionFexiste, montrer que

F(1;1)F(1;1) =Z

1

1('(1;t))0

1 dt (on pourra utiliser la denition de derivee partielle comme derivee d'une certaine fonction d'une seule variable). (c) Conclure, en considerant l'operation (F(1;1)F(1;1)) + (F(1;1)F(1;1)) + (F(1;1)F(1;1)) + (F(1;1)F(1;1)):

Exercice 3[6 points]

On xe une fonctionq:R!R, de classeC1, qui estpaireet (2)-periodique.

On considere l'equation dierentielle

E:y00qy= 0

1. En introduisantz=y0donner une equation dierentielle lineaire matricielle d'ordre 1

dont la resolution equivaut a celle deE.

2. Verier que siyest solution, alorsw(t) =y(t) est aussi solution.

3. En utilisant le theoreme de Cauchy-Lipschitz, montrer qu'une solutionyest une fonction

impaire si et seulement siy(0) = 0.

4. Prouver que l'espace des solutions deEne peut pas admettre une base de solutions

constituee de fonctions impaires.

5. Prouver que l'espace des solutions deEne peut pas admettre une base de solutions

constituee de fonctions paires.

6. Montrer que le Wronskien du systeme est constant.

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