[PDF] Le Calcul de Primitives — 25 oct. 2017 Pour calculer

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Le Calcul de Primitives

MPSI Prytan´ee National Militaire

Pascal Delahaye

25 octobre 2017

?(x) f(u) du=? x f(?(t)???? u)??(t) dt? du

1 R´esultats pr´eliminaires

D´efinition 1 :Primitives

Soit deux fonctionsfetFd´efinies sur un intervalleI. On dit que la fonctionFest une primitive de la fonctionfsur l"intervalleIsi et seulement si :

1. La fonctionFest d´erivable surI

2.?x?I, F?(x) =f(x).

Th´eor`eme 1 :Existence

Toute fonction continue sur un intervalleIadmet des primitives surI

Preuve 1 :Voir le cours sur l"int´egration...

Th´eor`eme 2 :Deux primitives sur un mˆeme intervalle diff`erent d"une constante

SiFest une primitive def:I?→Csur un

intervalleIalors l"ensemble des primitives defsurIest : {F+C|C?C}

Preuve 2 :

1. Premi`ere inclusion :

SoientGune autre primitive def. On consid`ere la fonctionH=F-Get on la d´erive ...

2. Deuxi`eme inclusion :

On v´erifie facilement que les fonctions de la formeF+CavecC?Csont des primitives defsurI. Th´eor`eme 3 :Calcul d"une int´egrale `a l"aide d"une primitive SiFest une primitive d"une fonctionf:I?→Ccontinue sur un intervalleIeta, b?I, alors : b a f(t) dt= [F(t)]ba=F(b)-F(a) 1 Cours MPSI-2016/2017 Calcul de primitives http://pascal.delahaye1.free.fr/

Preuve 3 :Vu plus tard...

Corollaire 4 :Existence d"une primitive qui s"annule enx0 Soitfune fonction r´eelle ou complexe, continue sur un intervalleI. Pour toutx0?I,fadmet alors une unique primitive qui s"annule enx0.

Cette primitive est la fonction :

x?→? x x

0f(t) dt

Plus g´en´eralement, l"expression d"une primitive quelconque defpourra ˆetre not´ee :? x f(t) dt

Il s"agit d"un abus de notation qui sera utile `a condition dese rappeler qu"on est `a une constante pr`es.

Preuve 4 :On prend deux primitives qui s"annulent enx0. I´etant un intervalle, elle sont donc ´egales `a une constante pr`es... Remarque1.Ainsi avec un abus de notation, on peut ´ecrire pour toutx?I: ?x x

0f(t) dt??=f(x) ou encore??x

f(t) dt??=f(x)

Proposition 5 :Lin´earit´e des primitives

Soitf1, f2? C(I,K),λ, μ?K.

On a?x?I:?x

λ.f

1(t) +μf2(t) dt=λ?

x f

1(t) dt+μ?

x f

2(t) dt

Preuve 5 :Pas de difficult´e...

Proposition 6 :Primitive d"une fonction complexe

Soitf=f1+if2une fonction complexe avecf1, f2? C(I,R). fadmet alors pour primitives surIles fonctionsFtelles que :

F(x) =F1+iF2+Cavec?F1

F

2des primitives de?f1

f

2etC?C

Preuve 6 :V´erification facile...

Ce chapitre est consacr´e `a la pr´esentation de certaines m´ethodes usuelles de calcul de primitives.

Nous noterons :

1.?xf(t) dtl"expression d"une primitive quelconque de la fonctionfde variablex

2.?fune primitive quelconque defsur un intervalleIqu"on n"oubliera pas de pr´eciser.

3.?x af(t) dtd"expression de la primitive defqui s"annule ena

Les deux premi`eres notations sont abusives (car elles ne d´esignent pas un unique objet), mais elles nous seront utiles pour la

mise en oeuvre des m´ethodes usuelles. Pour calculer une primitive d"une fonction, nous avons 3 outils principaux `a notre disposition :

1. Les primitives usuelles `a connaˆıtre par coeur!!

2. Le changement de variable.

3. L"int´egration par partie.

Toute la difficult´e consitera alors `a :

1. Penser `a utiliser au moment opportun les primitives connues

2. Faire un choix parmi l"une des deux m´ethodes pr´ec´edentes

2 Cours MPSI-2016/2017 Calcul de primitives http://pascal.delahaye1.free.fr/

3. Transformer judicieusement la fonction ´etudi´ee pour faire apparaˆıtre une primitive connue

4. Choisir le bon changement de variable

2 Primitives usuelles `a connaˆıtre par coeur

Toutes les primitives suivantes sont bien entendu donn´ees `a une constante pr`es et sont valables sur tout intervalle o`u les

fonctions sont continues. ?Les classiques(?a?R) 1.? x (t+a)αdt=(x+a)α+1α+ 1α?R\{-1}5.? x sin(at) dt=-cosaxa(a?= 0) 2.? xdt t+a= ln|x+a|6.? x cos(at) dt=sinaxa(a?= 0) 3.? x eatdt=eax a(a?C?) 7.? x sh(at) dt=chaxa(a?= 0) 4.? x lntdt=xlnx-x8.? x ch(at) dt=shax a(a?= 0)

Exemple 1.Soit (a, b)?R2\{(0,0)}. D´eterminer?

x cos(bt)eatdtet? x sin(bt)eatdtsurR. ?Les 5 autres `a connaˆıtre absolument

Soit un r´eela >0.

1.? xdta2+t2=1aarctanxasurR 2. xdt ⎷a2-t2= arcsinxasur ]-a, a[ 3. xdt a2-t2=12aln??a+xa-x?? sur ]-a, a[ ou ]- ∞,-a[ ou ]a,+∞[ 4. xdt ⎷t2+a2= ln(x+?x2+a2) surR 5. xdt ⎷t2-a2= ln(x+?x2-a2) sur ]a,+∞[ ?A connaˆıtre ´egalement : 3 Cours MPSI-2016/2017 Calcul de primitives http://pascal.delahaye1.free.fr/ 1.? xdtcos2t= tanx 2. xdt sin2t=-1tanx3. xdt ch2t= thx 4. xdt sh2t=-1thx5. x tantdt=-ln|cosx| 6. x thtdt= ln|chx|

3 Les formes `a reconnaˆıtre

D´efinition 2 :Fonction de classeC1

Soitf:I→Co`uIest un intervalle deR.

Nous dirons quefest de classeC1surIlorsque :

1.fest d´erivable surI

2.f?est continue surI

Th´eor`eme 7 :Forme `a reconnaˆıtre

Soit une fonctionf:I?→Ccontinue sur l"intervalleIde primitiveF. Soitu:J?→Iune fonction de classeC1sur l"intervalleJAlors : x f[u(t)]u?(t) dt=F◦u(x) Preuve 7 :En d´erivant, on remarque queFo?est bien une primitive defo?.??.

Corollaire 8 :Quelques formes usuelles

Soituune fonction de classeC1sur un intervalleI.

On a alors pourα?R\{1}:

1. u

αu?=uα+1

α+ 1

2.?u? u= ln|u| 3. e uu?=eu4. ?u?

1 +u2= arctanu

5. cos(u)u?= sin(u) 6. ?u?

2⎷u=⎷u7.

?u? ⎷1-u2= arcsinu 8. ?u? ⎷1 +u2= ln(u+?1 +u2) 9. ?u? a2-u2=12aln??u+au-a??

Exercice : 1

Calculer les primitives suivantes sur un intervalle `a d´eterminer. 1. xarctan3t

1 +t2dt

2. x cost.esintdt3. xsint1 + cos2tdt 4. x1

1-e-tdt5.

x tcos(t2+ 1) dt 6. xet⎷1-e2tdt

Exercice : 2

(?) Calculer les primitives sur ]-π2,π2[ des fonctions tan, tan2, tan3et tan4.

On pourra remarquer quetan?= 1 + tan2.

4 Cours MPSI-2016/2017 Calcul de primitives http://pascal.delahaye1.free.fr/

4 Le changement de variables

Th´eor`eme 9 :Changement de variables

Soit une fonctionf:I?→Rcontinue sur l"intervalleI. Soit?: [a, b]?→Iune fonction de classeC1sur le segment [a, b]. Alors : ?b a f[?(t)]??(t) dt=? ?(b) ?(a)f(x) dx Preuve 9 :On consid`ereFune primitive defet on remarque alors queFo?est une primitive defo?.??. On peut alors calculer les deux membres de l"´egalit´e et montrer qu"ilssont ´egaux.

Corollaire 10 :Cas des primitives

Soitf:I?→Rune fonction continue et?:J?→Ide classeC1de l"intervalleJvers l"intervalleI. x f(?(t))×??(t) dt=? ?(x) f(u) du

Preuve 10 :Il suffit de prendreb=xdans la formule pr´ec´edente et de ne plus tenir compte des constantes.

Soitfune fonction continue surI.

Pour d´eterminer une primitive def, on pourra alors utiliser en pratique la d´emarche suivante :

Pour calculer?

x g(t) dtsurJ, on pourra poser :u=?(t) avect?J

On ´ecrit alors

?u=?(t) du=??(t) dtet on transforme? x g(t) dten? ?(x) f(u) du:

1. en rempla¸canttet dtpar leur expression en fonction deu

2. en rempla¸cant la bornexpar?(x)

Exemple 2.Calculer les primitives suivantes en posantu= tant

2, ouu= tht2ouu=et.

1. xdt sintsurI=]0,π[ 2. xdt costsurI=]-π2,π2[3. xdt shtsurI=]0,+∞[ 4. xdt chtsurI=R Exemple 3.Calculer `a l"aide d"un changement de variables les primitives suivantes : 1. x?

1-t2dtsur ]-1,1[ 2.?

xdt⎷1-t2sur ]-1,1[

Exemple 4.Calculer les primitives suivantes :

1. xlnt t(1 + ln2t)dtsurR+?2.? xsin3tcos5t)dtsur ]-π2,π2[ 5 Cours MPSI-2016/2017 Calcul de primitives http://pascal.delahaye1.free.fr/

5 L"int´egration par partie

Th´eor`eme 11 :Calcul d"un int´egrale par Int´egration par parties Soientu, v:I?→Rdeux fonctions de classeC1sur l"intervalleIaveca, b?I.

Alors :?b

a u?(t)v(t) dt= [u(x)v(x)]ba-? b a u(t)v?(t) dt

Preuve 11 :Soitf=uv. Les fonctionsuetv´etant d´erivables surI,fest d´erivable surIet (uv)?=u?v+uv?.

Les fonctionsu,u?,vetv?´etant continues,u?vetuv?admettent des primitives et :?b a(uv)?=?b au?v+?b auv?. Corollaire 12 :Calcul d"une primitive par Int´egration par parties Soientu, v:I?→Rdeux fonctions de classeC1sur l"intervalleI.

Alors :

?x u ?(t)v(t) dt=u(x)v(x)-? x u(t)v?(t) dt?x?I

Preuve 12 :Il suffit de prendreb=xdans la formule pr´ec´edente et de ne plus tenir compte des constantes.

Remarque2.La formule pr´ec´edente est vraie `a une constante pr`es.

Pour calculer?

x f(t) dtsurI:

1. on introduit deux fonctionsuetvde classeC1surItelles quef=u?v

2. on applique la formule d"int´egration par partie

Remarque3.On n"oubliera pas d"indiquer que les fonctionsuetvchoisies sont bien de classeC1surI!!

Exemple 5.Calculer une primitive de :

1. arctan surR. 2. arcsin sur [-1,1]. 3. arccos sur [-1,1].

Exercice : 3

(?) Calculer les primitives suivantes sur des intervalles `a pr´eciser : 1. x tln(t2+ 1) dt 2. x (t2-t+ 3)e2tdt3. x ln(1 +t2) dt 4. x tsin3tdt5. x?

16t2+ 9 dt

6. x shtsintdt

Exercice : 4

(?) Calculer les primitives suivantes sur des intervalles `a pr´eciser : 1. x sin(lnt) dt2.? x e tsintdt3.? x e arccostdt

Exercice : 5

(??) Calculer surRles primitives de? x t2etcos2tdt. 6 Cours MPSI-2016/2017 Calcul de primitives http://pascal.delahaye1.free.fr/

6 Primitives de fonctions rationnelles simples.

On a de fa¸con imm´ediate, sur des intervallesIadapt´es :

1. Poura, b?R?

xa t+bdt=aln|x+b|

2. Poura, b?Retn?N?\{1}?

xa (t+b)ndt=-a(n-1)(x+b)n-1

Exemple 6.D´eterminer une primitive des fonctions rationnelles suivantes sur un intervalle `a d´eterminer :

1.f(x) =2

3x+12.g(x) =-3(2x-1)2

Lorsquef(x) =1(x-a)(x-b)aveca?=b, on effectue une d´ecomposition en ´el´ements simples. On cherche alors deux r´eelsαetβtels que : 1 (x-a)(x-b)=αx-a+βx-b

Exemple 7.D´eterminer une primitive des fonctions rationnelles suivantes sur un intervalle `a d´eterminer :

1.f(x) =1

2x2+x-3avec la m´ethode pr´ec´edente

2.g(x) =2x+1

x2-3x-10on commence par faire apparaˆıtre la d´eriv´ee du d´enominateur au num´erateur

3.h(x) =x2-3

x2-3x+2on commence par faire apparaˆıtre le d´enominateur au num´erateur

Remarque : lorsque le num´erateur est de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 3, on commence par effectuer une division euclidienne.

Lorsquef(x) =1x2+ax+baveca,b?Ret Δ<0, on effectue une d´ecomposition canonique. 1 x2+ax+b=1(x+a2)2+ (b-a24)

Puis on se ram`ene `a la forme

1 t2+c2par changement de variables.

Exemple 8.D´eterminer une primitive des fonctions rationnelles suivantes sur un intervalle `a d´eterminer :

1.f(x) =1

x2+x+12.g(x) =x+1x2+x+33.h(x) =x2+1x2-x+3

7 Entrainement au calcul de primitives

Exercice de TD : 1

(?) Calculer les primitives suivantes sur des intervalles adapt´es : 1. x sin2tcos3tdt 2. x sin5tcos2tdt3. x sin2tcos4tdt(par lin´earisation) 4. x sin2tcos42tdt(par lin´earisation) 7 Cours MPSI-2016/2017 Calcul de primitives http://pascal.delahaye1.free.fr/ On retiendra que lorsqu"une des deux puissancespouqest impaire, alors on calcule facilement? x cosp(t)sinq(t) dt`a l"aide d"un changement de variables bien choisi.

Exercice de TD : 2

(??) Un calcul un peu long... mais complet!

1. Trouver des r´eelsa,betctels queu3

1+u3= 1 +a1+u+bu+cu2-u+1

2. En d´eduire une primitive surRdef(x) =3⎷

ex-1.

On posera :u=3⎷

et-1

Exercice de TD : 3

(??) Calculer des primitives des fonctions suivantes sur des intervalles `a d´eterminer :

1.f(x) =x

⎷1+x.On poserau=⎷1 +t.

2.f(x) =⎷

x

1+x.On poserau=⎷t.

3.f(x) =?

x (1-x)3.On poserau=? t

1-t.4.f(x) =1

x? 1+x

1-x.On poserau=?

1+t 1-t.

5.f(x) =1

⎷x-1+x.On poserau=⎷t-1.

6.f(x) =1

⎷x+3⎷x.On posera :u=6⎷t.

Exercice de TD : 4

(??) Calculer des primitives des fonctions suivantes sur des intervalles `a d´eterminer :

1.f(x) =sinx

sin2x-cosx.

2.f(x) =cosx

sinxcos2x.3.f(x) =sinx sinx-cosx. 4.f(x) =sinxcos2x+tan2x.

5.f(x) =cosx

1+tanx

Exercice de TD : 5

(??) CalculerAn=? x ch((n+ 1)t)shn-1tdtetBn=? x sh((n+ 1)t)shn-1tdt.

On pourra s"int´eresser `aA+BetA-B

Exercice de TD : 6

(??) Trouver une CNS pour que les primitives des fonctions suivantes soient des fonctions rationnelles.

1. (??)x?→ax+b

x3(x-1)22. (? ? ?)x?→x3+ax(x2+1)2

Vous pourrez effectuer des DES.

Exercice de TD : 7

(??) Montrer que? sin2a 0 arcsin⎷xdx+? cos2a 0 arccos⎷xdx=π4pour tout r´eela.

Pour cela on introduiraFd"expressionF(a) =?

sin2a 0 arcsin⎷ xdx+? cos2a 0 arccos⎷xdxet :

1. On ´etudieraFsur [0, π/2]

2. On montrera queFest impaire etπ-p´eriodique

Exercice de TD : 8

1. (? ? ?) Calculer?

x?1 +⎷1-t2

1-t2dtsur un intervalle `a d´eterminer.

On posera :u= arcsinx

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